2011年高考数学真题理科(湖南卷)word解析版

1、WORD格式2021年普通高等学校招生全国统一考试*卷数学理工农医类本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，共6 页，时量120 分钟，总分值150 分。参考公式：1P (B A)P( AB )，其中 A, B 为两个事件，且 P( A)0 ，P( A)专业资料整理WORD格式（ 2柱体体积公式（ 3球的体积公式V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高。V 4 R 3，其中 R 为求的半径。3专业资料整理WORD格式一选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。【2021* * 理科 *1 】 假设a , bR ， i 为虚数单

2、位，且 ( ai )ibi ，那么A a 1, b 1Ba1, b 1Ca1, b1D a 1, b1答案： D解析：因 ( a i )i1 aibi ，根据复数相等的条件可知a1, b1。【2021* * 理科 *2】设M1, 2 ，N a 2 ，那么“ a1 3是“ NM 那么A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必2要条件D 既不充分又不必要条件答案： A3解析：因“ a1，即 N1，满足“ NM ，反之正视图侧视图“ NM，那么N a 2 =1，或 N a 2 =2，不一定有“ a1 。【2021* *理科 *3】 设图一是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为俯视图A 912B

3、918图 122C942D3618答案： B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积4339。18V+332=322专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 1 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式【 2021* *理科 *4】 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110n( ad2110(40302022bc )220)由 K(ab )( c d )( ac )(bd )算得 K60507.860 50附表：2k )0.0500.0100.001P ( Kk

4、3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关B 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关D 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关答案： C解析：由22K7.86.635 ，而，故由独立性检验的意义可知选P ( K6.6 35)0.0 10C.22【2021* * 理科 *5 】设双曲线x2y1( a0)的渐近线方程为3 x 2 y 0 ，那么a的值a9为A 4B 3C 2D 1答案： C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y3x

5、，故可知 a2 。a【2021* * 理科 *6 】由直线x3, x, y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面3积为1B 1C 3D 3A 22答案： D333解析：由定积分知识可得Scos xdxsin x | 3(3，应选 D。)3223专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 2 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式yx【2021* * 理科 *7 】 设m1 ，在约束条件ymx下，目标函数 zxm y 的最大值xy1小于 2 ，那么 m 的取值X围为A (1,12 )B(12 ,)C(1, 3)D(3,)答案： A解析：画出可行域，可知zx5 y 在点

6、1m) 取最大值，由1m2(,1mm12 解1m1m得 1 m2 1 。【2021* * 理科 *8 】设直线xt与函数f ( x )2ln x 的图像分别交于点M,N，x , g ( x )那么当|MN|到达最小时 t 的值为A 11C5D2B 222答案： D解析：由题 |MN |x 2ln x ， ( x0)不妨令 h ( x )x2lnx ，那么 h'( x )2x1，令xh'( x ) 0解得 x2，因 x(0,2)时， h '( x )0，当 x(2,) 时， h '( x ) 0 ，222所以当 x2时， | M N | 到达最小。即 t2 。22

7、二填空题：本大题共8 小题，考生作答7小题，每题5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题请考生在第9 、10 、11 三题中任选两题作答，如果全做，那么按前两题记分在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为xcos,【2021* *理科 *9】xo y1y1 sin为参数在极坐标系与直角坐标系 xoy取一样的长度单位， 且以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴中，曲线C2的方程为cossin10，那么C1与C2的交点个数为。答案： 2解析：曲线 C 1 : x 2( y1) 21， C 2 : xy10 ，由圆心到直线的距离专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第

8、 3 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式| 01 1 |，故 C1与 C 2的交点个数为2.d0 12【2021* * 理科 *10 】设x, y2112R ,那么( x2 )(24 y ) 的最小值为。yx专业资料整理WORD格式答案： 9解析：由柯西不等式可知( x2114 y2)(1 2)292)(2。yx专业资料整理WORD格式【 2021* * 理科 *11】如图2，A , E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4 ，ADBC ,垂足为D,BE 与 AD 相交与点F，那么 AF 的长为。答案： 233解析：由题可知，AO BEO C60， O AO B2,得ODB

9、 D1,DF3 ，3又AD2BD CD3 ，所以 AFADD F2 3.3二、必做题 1216题【2021* * 理科 *12 】设Sn是等差数列 an( nN *) 的前n项和，且 a11, a 47 ，那么S5_答案： 25解析：由 a1 1, a 47 可得 a12, an(19)51, d2 n1 ，所以 S5225 。【2021* *理科 *13】假设执行如图3所示的框图，输入x11, x22 , x33 ,x，那么输出的数等于。2答案： 23解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，222那么 S(1 2)(22)(3 2)2。33【2021* * 理科*14 】 在边长

10、为1的正三角形ABC 中，设专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第4页共13页专业资料整理WORD格式BC2BD , CA3CE ，那么 ADB E_。答案：14解析：由题 A DC D1CB CA，BEC EC B1C B ，C AC A23所以 AD BE (1 CB CA) (1 CA CB)1 1 7CBCA1 。232364【2021* *理科 *15】如图4，EFGH是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形， 将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 E F G H 内，B表示事件“豆子落在扇形O H E 阴影局部内 ，那么1 PA=_； 2 PB| A=

11、_答案： 1 21；2PB| A=4解析： 1 由几何概型概率计算公式可得S 正2PA =；S圆212 由条件概率的计算公式可得41 。 B|PAB=PA =24P A【2021湖南*理科*16】对于 n*， 将n 表示为Nn a02k1 k2ka k1，当 i20 时， a i1 ，当 1 ika1 2 a221a k 2时 ， a i为 0或 1. 记I ( n)为 上 述 表 示 中ai为 0的个数，例如1 1 20，4122021020：故 I (1)0, I (4)2 那么127I ( n )1 I (12)_ 2 _2n1答案：12；21093解析： 1 因12123+1 2202

12、1020，故 I (12)2 ；2在 2进制的 k ( k2) 位数中，没有0的有1个，有 1个 0的有 C k11个，有 2个 0的2m个，, 有k1 个0k12 进制有 C k 1个，,有m 个 0 的有Ck1的有 C k1 1 个。故对所有为 k 位数的数n，在所求式中的2I ( n ) 的和为：专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 5 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式1 20C k11 21C k21 2 2C kk11 2 k 13k 1。1277又 127271恰为 2 进制的最大 7 位数，所以2 I ( n )2 03 k 11093 。n 1k

13、 2三解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。【2021* * 理科 *17 】本小题总分值12分在 A B C 中，角 A, B , C 所对的边分别为a , b , c ，且满足 c sinAa cos C.I 求角C的大小；II 求3 sin A cos( B4) 的最大值，并求取得最大值时角A, B 的大小解析： I由正弦定理得sin C sin Asin A cos C .因为0 A, 所以 sinA0.从 而sinCcosC.cosC0,所 以tanC1,那么 C又43A.于是II 由 I 知B43s i nAc oBs (4)3 As i

14、nc oAs ()3 s i nAc oAs2 sAi n () .63,A1 1即,A时 ,0 A66从,而当A641 2232 sin( A)取最大值 26综上所述，3 sin A cos(B) 的最大值为2，此时 A5.4, B312【 2021* * 理科 *18 】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量件 0123频数1595试销完毕后假设该商品的日销售量的分布规律不变，设某天开场营业时有该商品 3 件，当天营业完毕后检查存货， 假设发现存货少于2 件，那么当天进货补充 至3 件，否那么不进货 ，将频率视为概率。( 求当天商品不进货的概率；记 X 为第二天开场营业时该商品的

15、件数，求X的分布列和数学期望。解析：I P“当天商店不进货=P“当天商品销售量为0 件+P“当天商153品销售量 1 件=20。2010专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 6 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式II 由题意知，X 的可能取值为2， 3.P ( x2)51P("当天商品销售量为1件")；204P ( x3)P("当天商品销售量为0件")+ P("当天商品销售量为2件")+ P("当天商品销售量为3件")195320+42020故 X 的分布列为X23P1344X 的数学

16、期望为 E X13112+3=。444【2021* *理科 *19】此题总分值12 分如图 5，在圆锥P O中，P O2 ,O 的直径 AB2,C是 AB的中点 ,D为 AC的中点I证明： 平 面 POD平面PAC;II 求二面角BP AC 的余弦值解：I连接O C，因为OAOC ,D 为的 AC 中点，所以 ACO D .又 PO底面 O,AC底面 O,所以ACPO.因为 OD , PO 是 平 面 P O D 内的两条相交直线，所以AC而AC平面PAC，所以平面POD 。平面POD平面PAC。II 在平面POD中，过O作OHPD 于 H ，由I知，平面 POD平面 PAC ,所以 OH平面

17、PAC ,又PA平面 PAC ,所以PAO H .在平面 PAO中，过 O 作OGPA 于 G,连接 H G ,那么有 PA平面OGH，从而 PAHG ，所以OGH 是二面角 B PAC 的平面角在 RtODA中,ODO A sin 4522专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 7 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式2P OO D210在 R tPOD中,OH2PO2+OD2152+2在 RtPO A中,OGPOO A2 16222+13PO+ OA10在 RtO H G中 , sinO G HO H51510,所以cos O G H。O G6553故二面角 B

18、PAC 的余弦值为10 。5【 2021* * 理科 *20 】如图6，长方形物体E在雨中沿面P面积为S的垂直方向作匀速移动， 速度为 v ( v0) ，雨速沿E移动方向的分速度为c (cR ) 。E移动时单位时间 内的淋雨量包括两局部：1P 或 P 的平行面只有一个面淋雨的淋雨量，假设其值与vc ×S成正比，比例系数为1 ；2其它面的淋雨量之10和，其值为1，记 y 为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S=322时。写出y 的表达式设 0v 10,0c5，试根据 c 的不同取值X围，确定移动速度v ，使总淋雨量 y 最少。31解析：I由题意知， E 移动时单位时

19、间内的淋雨量为| v c |，202专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 8 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式1003| v1)510).故 y(c |(3 | v c |v202v II由 (I) 知，当0 v5(3 c5(3 c 10)15；c 时，y3v 10)vv当 c v10时， y53c10)5(103c )15 .(3 vvv5(3 c10)15, 0vcv故 y。5(103c)15, cv10v(1)当0c10时， y 是关于 v 的减函数.故当v10 时，ym in203c 。32(2) 当10c5时，在 (0, c 上， y 是关于 v 的减

20、函数；在 ( c,10上， y 是关于 v 的3增函数；故当 vc 时， ym in50 。cA. 【2021*理科*21】 (本小题总分值 13 分x22如图y1( ab0) 的离心7，椭圆 C1 :2b 2a率为3， x 轴被曲线C2: y x 2b截得的线段2长等于 C 1的长半轴长。求 C1， C 2的方程；设 C 2与y轴的交点为M，过坐标原点O 的直专业资料整理WORD格式数学教师网收集整理第 9 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式线 l 与 C2相交于点A,B, 直线 MA,MB分别与 C1相交与 D,E.i 证明：M DM E ；(ii) 记 MAB, M

21、DE 的面积分别是S1 , S2.问：是否存在直线S117"l ,使得=S232请说明理由。解析：I由题意知ec3，从而 a2b ，又 2 ba ，解得a2, b1 。a22故C1 ，C 2 的方程分别为x224y1, y x 1 。II i由题意知，直线l的斜率存在，设为k ，那么直线l的方程为 ykx .ykx得 x 2由x 2kx10，y1设 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，那么 x1 , x 2是上述方程的两个实根，于是x1x 2k , x1 x21 。又点 M的坐标为 (0,1)，所以kM A k M By1 1 y 21( kx 11)( kx

22、 2 1)k 2 x1 x 2k ( x1x2 ) 1k 2k 211x1x2x1 x 2x1 x 21故 M AMB，即 MDME。 ii设直线的斜率为k1，那么直线的方程为 y k1 x1 ，由yk 1x1x0y21解得1xyxk1，那么点的坐标为2或2(k1 , k1 1)yk11又直线M B 的斜率为1，同理可得点 B 的坐标为(111) .,k1k1k12于是 S11|MA| |MB |11 k12111 k1222| k1 | 12 |.k1k12 | k1 |yk1 x1得 (14 k12 ) x 28 k1 x 0 ，由 24 y2x40专业资料整理WORD格式数学教师网收集整

23、理第 10 页 共 13 页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式x8k11 4 k124 k12x 08 k11解得1，那么点 D 的坐标为 (2,)；y14k1214k114 k12或y14 k12又直线的斜率为1，同理可得点 E 的坐标 (8 k1,4k12)k14k124k12专业资料整理WORD格式于是因此S 21|ME |32(1k12 )| k1|MD |(1 4k12 )(4k 12 )2S112117)S 264(4 k1k 12专业资料整理WORD格式由题意知， 12117解得 k124或 k121(4 k12 17)。64k1324k12123又由点 A , B 的坐标

24、可知，kk1k11，所以 k.1k12k1k1故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为y3x 和y3x 。22【 2021* * 理科 *22 】本小题总分值13分函数f (x) = x 3，g (x)=x+x 。求函数 h ( x )= f ( x )-g ( x )的零点个数，并说明理由；设数列 an (n N * ) 满足 a1a ( a0) ， f (a n 1 )g (a n ) ，证明：存在常数M, 使得对于任意的nN *，都有 a nM.解 析 ： I 由h ( x )x 3xx知 ， x 0,，而 h (0)0， 且那么x0为 h( x)一个零点，且 h ( x )

25、在内有零h( 1 )1 h 0 ,( 2 )，620的1，2点，因此 h( x ) 至少有两个零点113解法 1：h '( x) 3 x211x 2，记 ( x) 3 x211 x 2，那么 '( x)6 x1x 2。224数学教师网收集整理第11页共13页欢迎下载教学资料专业资料整理WORD格式当 x(0,) 时， '( x )0，因此( x )在 (0,) 上单调递增，那么( x ) 在 (0,) 内至多只有一个零点。又因为(1)0,3)0 ，那么 ( x) 在 (3内有零点，所(,1)33以 ( x ) 在 (0,) 内有且 只有 一个 零点。记此零 点为 x1，那么 当 x (0, x1 ) 时，( x )'( x1 )0；当 x( x1 ,) 时， ( x )'( x1 )0 ；所以，当 x(0,x1 ) 时， h( x ) 单调递减，而 h (0)0，那么 h( x ) 在 (0, x1 内无零点；当 x( x1 ,)时， h ( x ) 单调递增