江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

1、WORD格式*市教育学会学业水平监测高三数学试题参考公式：圆锥的体积公式： V圆锥 =1S是圆锥的底面积， h 是高.Sh ，其中3样本数据 x1， x2， xn的方差 s21n( xix) 2，其中 x1 nxi.ni 1n i 1一、选择题：本大题共14 个小题 , 每题 5 分, 共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 .1.假设集合 A 2,0,1 ，B x x21 ，那么集合A B .2 命题“x0,1 ，x210 是命题选填“真或“假.3.假设复数 z 满足z 2i z21 其中i为虚数单位，那么z .4. 假设一组样本数据2021 ，2021，x，2021，2021的平均数

2、为2021，那么该组样本数据的方差为5. 如图是一个算法的流程图，那么输出的n 的值是.1D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子6. 函数f ( x)的定义域记作集合骰子的每ln x个面上分别标有点数1，2， 6，记骰子向上的点数为 t ，那么事件“t D的概率为 .专业资料整理WORD格式7. 圆锥的高为6 ，体积为 8 ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7 ，那么该圆台的高为.8. 各项均为正数的等比数列an中，假设a2a3a4a2a3a4，那么 a3的最小值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l： x y10 与双曲线C：x2y21(a0,b 0)a2b2的两条

3、渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，那么双曲线C 的离心率e的取值X围是 .xy0,10.实数 x ，y满足2xy20, 那么 xy 的取值X围是 .x2y40,11.函数 f ( x)bxln x ，其中bR ，假设过原点且斜率为k 的直线与曲线yf (x) 相切，那么 k b 的值为 .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 ysin(x) (0,0) 的图像与 x 轴的交点 A， B，C满足OAOC2OB ，那么 .专业资料整理WORD格式13. 在ABC 中，AB5 ，AC7，BC3，P为ABC 内一点含边界 ，假设满足专业资料整理WORD格式BP14BABC (R) ，那么 BA

4、 BP 的取值X围为专业资料整理WORD格式14. ABC 中，ABAC3 ，ABC 所在平面内存在点P 使得专业资料整理WORD格式PB2PC 23PA23 ，那么ABC 面积的最大值为专业资料整理WORD格式二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分 . 请在答题卡指定区域 内作答，解容许专业资料整理WORD格式写出文字说明、证明过程或演算步骤. 专业资料整理WORD格式15. ABC 中，a ，b， c 分别为三个内角A ，B ，C的对边，3bsin Cc cos B+c，专业资料整理WORD格式 1求角B ；专业资料整理WORD格式 2假设b2ac ，求11的值 .专业资料整理WORD

5、格式tan Atan C专业资料整理WORD格式16. 如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC平面ABCD ，PBPD，专业资料整理WORD格式点Q是棱PC上异于P、C的一点. 1求证：BDAC ； 2过点Q和的AD平面截四棱锥得到截面ADQF 点F在棱PB上，求证： QF / / BC .17. 小明如图中AB 所示身高1.8米，路灯OM高3.6米， AB ，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O.点光源从 M 发出，小明在地上的影子记作AB ' . 1小明沿着圆心为O ，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求AB ' 扫过的图形面积； 2假设OA

6、 3米，小明从A出发，以1米 / 秒的速度沿线段AA1走到 A1， OAA1，且3AA1 10 米. t 秒时，小明在地面上的影子长度记为f (t) 单位:米，求 f (t) 的表达式与最小值 .18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2y21(a b 0) 的右焦点为F，点Aa2b2是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M， N 两点M在第三象限，与椭圆的右准线交于 P 点.AMMN ，且OA OM4 b2.专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式 1求椭圆C的离心率 e ； 2假设SAMNS POE10 a ，求椭圆C的标准方程.319. 各项均为正数的无穷数列

7、 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 a1 a 其中 a 为常数，nSn 1(n 1)Snn(n 1) (n N * ) .数列 bn 满足 bnan2an2 1 (nN *).an an 1 1证明数列 an是等差数列，并求出 an 的通项公式； 2假设无穷等比数列 c 满足：对任意的nN*，数列 b 中总存在两个不同的项b，nnsb*)使得bscnb，求 c 的公比q.t (s, tNtn20. 函数f ( x)ln x2，其中 a 为常数.( xa) 1假设a0 ，求函数f( x) 的极值；2f ( x) 在 (0,a) 上单调递增，*数a的取值X围；假设函数假设a1，设函数f ( x

8、) 在 (0,1) 上的极值点为x0，求证：f ( x0 ) 2 .3*市教育学会学业水平监测数学附加题21. 【选做题】在 A、B、C、 D 四小题只能选做两题 ，每题 10 分，共计 20 分. 请专业资料整理WORD格式在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.专业资料整理WORD格式A. 选修4-1 ：几何证明选讲专业资料整理WORD格式在ABC 中，N 是边AC 上一点，且CN2AN ，AB与NBC 的外接圆相切，求BC的专业资料整理WORD格式BN专业资料整理WORD格式值 .B. 选修 4-2 ：矩阵与变换4 2矩阵 A不存在逆矩阵，求：a 1（ 1实数

9、a的值； 2矩阵A的特征向量 . C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的x2cos1为参数，直线 l 的极坐标方程为sin()2 ，直线l参数方程为2siny4与曲线 C交于M， N 两点，求 MN 的长.D. 选修 4-5 ：不等式选讲33 a 0 ， b0 ，求证:a2b2ab .ab【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8 条棱中任取

10、两条，按以下方式定义随机变量的值：假设这两条棱所在的直线相交，那么的值是这两条棱所在直线的夹角大小弧度制；假设这两条棱所在的直线平行，那么0；假设这两条棱所在的直线异面，那么的值是这两条棱所在直线所成角的大小( 弧度制 ).专业资料整理WORD格式 1求P(0) 的值；专业资料整理WORD格式 2求随机变量的分布列及数学期望E( ).23. 记(x 1) ( x11n 2且*的展开式中含x 项的系数为 Sn，含2)(x)n Nx2n项的系数为 Tn. 1求Sn； 2假设Tnan2bn c ，对 n2,3,4 成立，*数 a, b, c 的值；Sn 3对 2中的实数a,b,c用数字归纳法证明：对

11、任意n 2 且nN *，Tnan2bn cSn都成立 .专业资料整理WORD格式*市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、填空题1.22.真3.14.25.76.567.38.39.(1,2)10.2,811.112.3e413.52514.523,1684二、解答题15. 解： 13bsin Ccos Bc 由正弦定理得3 sin B sin C cos B sin Csin C ，ABC 中，sin C 0 ，所以3 sin B cos B 1s，所以sin( B)1B5，6，6266B6，所以 B；63 2因为b2ac ，由正弦定理得 sin 2 Bsin Asin C ，11cos

12、AcosCcos Asin Csin A cosCsin( AC )sin(B)tan Atan Csin Asin Csin A sin Csin Asin Csin Asin Csin Bsin Asin C11sin B1123所以， tan AtanCsin2 Bsin B33.216. 1证明：PC平面ABCD，BD平面 ABCD ，所以 BDPC，记 AC，BD交于点 O ，平行四边形对角线互相平分，那么O 为BD的中点，又PBD 中， PBPD ，所以 BDOP ，又 PCOPP，PC， OP平面 PAC ，所以BD平面 PAC ，又 AC平面 PAC所以 BDAC ； 2四边形

13、ABCD是平行四边形， 所以AD / / BC，又AD平面 PBC ，BC平面 PBC ，专业资料整理WORD格式所以 AD/平面 PBC，又 AD平面 ADQF ，平面 ADQF平面 PBCQF ，所以 AD / /QF ，又AD / /BC，所以 QF /BC.17. 解： 1由题意AB / / OM，那么AB 'AB1.81， OA3，所以 OB' 6，OB 'OM3.62小明在地面上的身影AB ' 扫过的图形是圆环，其面积为623227平方米； 2经过t秒，小明走到了A0处，身影为 A0 B0' ，由(1)A0 B0'AB1知 OB0OM

14、，所以2f (t )A0B0 'OA0OA2AA022OA AA0 cosOAA0.32273化简得 f (t)t 23t9 ，0t10， f (t )t，当 t时， f (t) 的最小224值为 33 .2答： f (t)t 23t9， 0t 10 ，当t3f (t ) 的最小值为3 3米 .秒时，22x2y21c218. 解： 1由题意a2b2，消去 y 得2axb20 ，解得 x1a ，aaa2x( x2y2)2)(22ab2x2c2所以 xMab2a,0)， OAOMxM xAab2a42c233 ；c2(c2b，2，所以 e3a42222b) ，右准线方程为x43 b ，2由

15、 1M (b,333直线 MN 的方程为y2x ，所以P(43 b, 46 b) ，33S POF1 OFyP3 b436 b22b222专业资料整理WORD格式S AMN2S AOMOAyM2b22 b42 b2，33所以 22b242 b210 a， 10 2 b220 b ，所以b2 ， a2 23333椭圆 C 的标准方程为x2y21.8219. 解： 1方法一：因为nSn 1(n1)Snn( n1)，所以 ( n1)Sn 2(n2) Sn 1(n1)(n2)，由 - 得，( n+1)Sn2nSn1( n2) Sn 1(n1)Sn 2(n 1) ，即 (n 1)Sn 2(2 n2) S

16、n 1( n 1)Sn2( n 1) ，又n 10 ，那么 Sn 22Sn 1Sn2 ，即 an 2an 12 .在 nSn 1(n 1)Snn(n 1) 中令n1 得，a1a22a12 ，即 a2a12 .综上，对任意 nN*，都有 an 1an2 ，故数列 an是以2为公差的等差数列.又 a1 a ，那么 an2n 2 a .方法二：因为 nSn1(n1)Snn(n1)，所以Sn1Sn1，又 S1a1a ，n1nSn那么数列是以 a 为首项，1为公差的等差数列，n因此Snn1a ，即 Snn2(a1)n .n当 n2时， anSnSn 12n2a ，又 a1a 也符合上式，故 an2n 2

17、 a(n N * ) .故对任意nN*，都有 aan2，即数列 a 是以2为公差的等差数列 .n 1n 2令enan112，那么数列 en 是递减数列，所以 1 en 12an2 a.2na专业资料整理WORD格式考察函数 yx1( x1) ，因为 y '11x210，所以 y x1(1,) 上递增，xx2x2在x因此 2en124，从而 bnen14.ena(a2)en2, 2a(a2)因为对任意 n N*，总存在数列 bn 中的两个不同项bs， bt，使得 bscn bt，所以对任意的 nN*都有 cn2,24，明显 q0.2)a(a假设 q1，当 n 1log q12时，a(a2

18、)有 cnc1qn 12qn1242)，不符合题意，舍去；a(a假设 0q1，当 n1logqa22a时，a22a 2有 cnc1qn 124qn 12 ，不符合题意，舍去；a( a2)故 q1 .20. 解： 1当a0 时，f (x)ln x) ，x，定义域为 (0,12ln xf '( x)0 ，得 xe .x3，令 f '( x)x(0,e)e( e,)f (x)0f'(x)1极大值2e当 xe 时， f (x) 的极大值为1，无极小值 .2e 21a2ln x，由题意f '(x)0 对 x(0, a) 恒成立.f'(x)xa)3( xx(0, a

19、) ，( xa)30，专业资料整理WORD格式1a2ln x0 对 x(0,a) 恒成立，xa2x ln x x 对x(0, a) 恒成立.令 g(x)2x ln xx ， x(0,a) ，那么 g '(x)2lnx1，11假设 0ae 2，即 0ae2，那么 g '( x)2ln x1 0 对 x(0, a) 恒成立，g( x)2x ln xx 在 (0,a) 上单调递减，那么 a2( a)ln(a) (a)，0ln(a) ，a1与1ae2 矛盾，舍去；111假设ae 2，即 ae2，令 g '( x)2lnx10，得 xe 2，1当 0xe2时， g '(x

20、)2ln x1 0 ，g( x)2xln xx 单调递减，1a 时，g '( x)2ln x10 ，g( x)2 xln xx 单调递增，当 e 2x111111g (e 2 )2e 2ln( e 2 )e 22e 2当 xe 2时， g( x)min，11a2e 2 .综上a2e 2 . 3当a1时，f (x)ln x2 ，f '( x)x 12x ln x，x( x1)3( x 1)令 h(x)x1 2x ln x ， x(0,1) ，专业资料整理WORD格式则 h '( x)1当e 2f '( x)1 2(ln x 1)x 1时， h '( x)x

21、 1 2x ln xx( x1)32ln x1 ，令h '(x)01，得x e2 ，10 ，h( x)x 12x ln x 单调递减，h( x) (0, 2e21 ，0 恒成立，f ( x)ln x1( x2单调递减，且f ( x) f (e2 ).1)专业资料整理WORD格式1当 0xe2时， h '( x) 0，h( x)x12 x ln x 单调递增，11111h(e 2 )e 212e 2ln( e 2 )2e 210又2222510 ，h(e)e12eln( e)e21存在唯一 x0(0, e2)，使得h( x0 )0 ，f'(x0 ) 0 ，当 0xx0时，

22、 f '( x0 )0 ，f (x)ln x2 单调递增，( x1)专业资料整理WORD格式1'( x0 )0f (x)ln x1当x0x e2 时，f，2单调递减，且f (x)f (e2)，(x1)由和可知，f (x)ln x2在 (0, x0 ) 单调递增，在 ( x0 ,1) 上单调递减，(x1)当 xx0时， f (x)ln x2取极大值 .(x1)h(x0 ) x0 1 2x0 ln x00 ，ln x0x012x0，ln x0112x0 ( x0f (x0 )21)2( x0121 ，( x01)22又 x0(0, 2e2 )，2( x01)21( 1,0) ，f

23、( x0 )112.1 212222( x0)22*市教育学会学业水平监测高三数学附加题参考答案21.A. 解：记NBC外接圆为O，AB、AC分别是圆O 的切线和割线， 所以AB2AN AC，又 AA ，所以ABN 与ACB 相似，所以BCABAC ，所以BNANABBC2ACACBCAB，BNANAB33 .ANBN4 2B. 解：1由题意0，即 42a0 ，解得 a2 ；a 1 2420，即 (4)(1) 40，所以250，解得 10，25214x2y02x ，属于0 的一个特征向量为110 时，y， y1；2x02x2 y0， x2 y ，属于0 的一个特征向量为225 时，2x4 y1.01C. 解：曲线C：( x1)2y24 ，直线l： xy20 ，圆心 C (1,0) 到直线l的距离为d1022MN2 r 2d224114 .12122，所以弦长2专业资料整理WO