理论力学第三章

1、 2. 平衡的几何条件平衡的几何条件01niiF F结论：结论：平面汇交力系平衡的必平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4F2F3F5F1AF4 已知：已知：P，a 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。 PABCD P FBFA PBACD FB FAFAxFAy3. 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程00yxFF平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：

2、各力在两个各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。坐标轴上投影的代数和等于零。平衡的必要和充分条件是：该力系的合力平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。等于零。 已知：已知：P，a 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。 PABCD PBACD FB FAFAxFAyxyBMFACFBCFBAFBCFCBFMFNC 已知：已知：F，求：求：物块物块M的压力。的压力。解：解：（1）取销钉）取销钉B为研究对象为研究对象（2）取挡板）取挡板C为研究对象为研究对象解得解得解得解得BCF CBF xyPABCD603030FBAFBC求：求：BA、BC杆的内力。杆的内力。已知：已知：图示简易起重

3、机，图示简易起重机，P20kN解：取销钉解：取销钉B为研究对象为研究对象B30PFD30yx90453060F1F2ABCD9045F2BFBAFBC3060F1CFCBFCD求：求：F1、F2的关系。的关系。已知：已知：铰接连杆机构，在图示位铰接连杆机构，在图示位置处于平衡状态，杆重不计。置处于平衡状态，杆重不计。解：解：取销钉取销钉B为研究对象为研究对象沿沿x轴投影，得轴投影，得取销钉取销钉C为研究对象为研究对象沿沿y轴投影，得轴投影，得又因为，又因为，FBC=FCB3.2 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡若物体在平面力偶系作用下处于平衡，若物体在平面力偶系作用下处于平衡，则合力偶矩等于零

4、则合力偶矩等于零0iM反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。 由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶矩的代数和等于零。矩的代数和等于零。0iM称为平面力偶称为平面力偶系的平衡方程系的平衡方程？MaaABCa求：求：A、 C 处约束反力。处约束反力。已知：已知：a, M解：解：（1）取取AB为研究对象为研究对象（2）取）取BC为研究对象为研究对象BCABMFBFCFABF 若将此力偶移至若将此力偶移至BC构件上，再求构件上，再求A、C处约束反力。在此种处约束反力。在此种情况下，力偶能否

5、在其作用面内移动，力对任意点之矩是否情况下，力偶能否在其作用面内移动，力对任意点之矩是否还等于力偶矩。还等于力偶矩。CM1M2ABD解解: (1)取取AB为研究对象为研究对象(2) 取取CD为研究对象为研究对象求：求：平衡时平衡时M1、M2之间的关系。之间的关系。已知：已知：AB=CD=a, BCD=30解得解得解得解得因为因为 FB = FCB FB FAM1AM2CD FC FD注意！注意！（1）明确研究对象）明确研究对象（2）正确作出受力图）正确作出受力图（3）列方程求解）列方程求解文字不宜过多，但也不能过少。文字不宜过多，但也不能过少。力不允许多画，但也不能少画。力不允许多画，但也不能

6、少画。1F 2F 1F2FADCBPRMoAMMBC问刚体在四个力的问刚体在四个力的作用下是否平衡作用下是否平衡?若改变若改变F1和和F1的方向，则结果的方向，则结果又如何。又如何。当当 M=PR 时，系统处时，系统处于平衡，因此力偶也于平衡，因此力偶也可以与一个力平衡，可以与一个力平衡，这种说法对吗。这种说法对吗。图示系统平衡否图示系统平衡否?若平衡若平衡A、B处约处约束反力的方向应束反力的方向应如何确定。如何确定。思考题？思考题？例例 题题 8 两个完全相同的矩形。自两个完全相同的矩形。自重不计求重不计求A、B处的约束反力。处的约束反力。AMCFAFC解：解：对于整体而言，力偶是平衡对于整

7、体而言，力偶是平衡的，即的，即A，B两处的力必为一对平两处的力必为一对平衡力，如图。衡力，如图。AMMBCabFAFBFC，FA之间的距离之间的距离2bad 然后取矩形然后取矩形AC为研究对象为研究对象力偶平衡的方程式为力偶平衡的方程式为00 Md .FMA即即baMFFBA 2baMdMFA 23.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等

8、于零。和也等于零。 几点说明：几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程平衡方程1. 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。 PABCDFBxy PABCDFB 解解 法法 2解上述方程，得解上述方程，得 解解

9、法法 3解上述方程，得解上述方程，得（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线） 平面任意力系平衡方程的三种形式平面任意力系平衡方程的三种形式FRBAx是否存在三投影式？是否存在三投影式？解：解：取三角形板取三角形板ABC为研究对象为研究对象FDECBAaaaPPACaaaB一等边三角平板重为一等边三角平板重为P，上面作用已知力偶，上面作用已知力偶M。用三根无重杆通过。用三根无重杆通过铰链连接，如图所示。铰链连接，如图所示。求：求：三杆对三角平板三杆对三角平板ABC的约束反力。的约束反力。yxo（A、B两点的连线两点的连线不得与各力平

10、行）不得与各力平行）F3F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量二个方程只能求解二个未知量2. 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程假设所有的力都平行于假设所有的力都平行于y轴，轴，则有则有分布荷载的合力及其作用线位置分布荷载的合力及其作用线位置荷载集度荷载集度q(x)AB合力大小：合力大小：由合力之矩定理：由合力之矩定理：hxdxlx 两个特例两个特例(a) 均布荷载均布荷载Ph(b) 三角形分布荷载三角形分布荷载Phlq0qlxx解：解：取取AB梁为研究对象梁为研究对象例例 题题 10 悬臂梁如图所示，上面作悬臂梁如图所示，上面作用均部荷载用均部荷载q和集中荷载和集中荷载F。求固定端

11、。求固定端的反力。的反力。PAlBFqAlBFq解：解：取梁取梁ABCD为研究对象为研究对象 图示外伸梁，受到三角形荷载图示外伸梁，受到三角形荷载q = 1kN/m，以及集中以及集中荷载荷载F = 2kN，求：求： A、B支座反力。支座反力。kN.qlP5121 其中D1m2m1mABCFqPFFq 如图所示水平梁如图所示水平梁AB，梁的，梁的跨度为跨度为4a，自重，自重G作用在梁的中点作用在梁的中点C。梁梁AC段上作用均布荷载段上作用均布荷载q，梁的，梁的BC段上作用力偶段上作用力偶M =Ga。求。求A和和B处的处的约束力。约束力。 FBFAyFAx qaGFFGaqFFAyBAyy2340

12、20，AFBF 塔式起重机如图所示。机架重塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通，作用线通过塔架的中心。最大起重量过塔架的中心。最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12 m，轨，轨道道AB的间距为的间距为4 m。平衡荷重。平衡荷重G3到机身中心线距离为到机身中心线距离为6 m。试问：试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多应为多少少? (2)当平衡荷重当平衡荷重G3=180 kN时，求满载时轨道时，求满载时轨道A，B给起重机给起重机轮子的约束力？轮子的约束力？解：解：(1) 起重机不翻到起

13、重机不翻到AFBF(2) 取取G3=180kN，求满载时轨道，求满载时轨道A ， B给起重机轮子的约束力。给起重机轮子的约束力。PADEBCrFBxFByFAPADEBCaara 构架如图，已知：构架如图，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：求：A、B处的反力。处的反力。解：解：取图示部分为研究对象取图示部分为研究对象PADEBCaar45FTEPADBrFAxFAyFB45 构架如图，构架如图，已知：已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：求：A、B处的反力。处的反力。解：解：取梁和滑轮取梁和滑轮D为研究对象为研究对象PAqaaaaBPAqBFAxFAyMAF1F2 构架如图，已知：

14、构架如图，已知：a=3m，q=4kN/m，P=12kN求：求：A处的反力。处的反力。解：解：取刚架取刚架AB为研究对象为研究对象其中其中 F112kN，F2=6kNDBMFACFNCFBA解：解：取图示部分为研究对象取图示部分为研究对象假设假设BCaBFCFM 简易压榨机如图所示，已知：简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力推杆上作用力F，A、B、C三处均为光三处均为光滑铰链，角度滑铰链，角度已知。杆重不计。已知。杆重不计。求：求：托板给物体托板给物体M的压力。的压力。另解例题另解例题3。MABDCaaaaMBCFBFCFDADCFA解：解：取弯杆取弯杆BC为研究对象为研究对象0 M取取T形杆

15、形杆ADC为研究对象为研究对象CF 求：求：A处的反力。处的反力。 图示组合构架，弯图示组合构架，弯杆杆BC上作用一力偶上作用一力偶M。3.4 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程1. 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系平衡的必要与充分条件为该力系的合力等于零空间汇交力系平衡的必要与充分条件为该力系的合力等于零空间力偶系平衡的必要与充分条件为该力偶系所有力偶矩的矢量和空间力偶系平衡的必要与充分条件为该力偶系所有力偶矩的矢量和等于零等于零0000 xyzMMMM2. 空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程平衡条件：平衡条件：FR = 0 Mo = 0 平衡方程平衡方程:空

16、间平行力系空间平行力系平面任意力系平面任意力系3. 空间任意力系的平空间任意力系的平衡方程衡方程4. 空间平行力系的空间平行力系的平衡方程平衡方程 空间铰接结构形如空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾正角锥，各棱边与底面都成倾角角。B，C处是活动球铰链支处是活动球铰链支座，座，D处是固定球铰链支座。处是固定球铰链支座。顶点顶点A的球铰链承受载荷的球铰链承受载荷F，不，不计各杆自重，试求各支座的约计各杆自重，试求各支座的约束反力和各杆的内力。束反力和各杆的内力。 建立如图坐标系建立如图坐标系Bxyz，其中，其中y轴平分轴平分CBD。由于。由于ABCD是是正角锥，所以正角锥，所以AB与与y

17、轴轴 的夹角为的夹角为。1.取球铰链取球铰链A为研究对象为研究对象,受力分受力分析如图。析如图。 为求各力在轴为求各力在轴x，y上的投上的投影，可先向坐标面影，可先向坐标面Bxy上投影，上投影，然后再向轴上投影。然后再向轴上投影。2.列平衡方程。列平衡方程。4.取球铰链取球铰链B为研究对象为研究对象,列平衡方程。列平衡方程。5.同理，再取球铰链同理，再取球铰链C 和和D为研究为研究对象，可求得：对象，可求得： 镗刀杆的刀头在镗削工镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力件时受到切向力Fz， 径向力径向力Fy，轴，轴向力向力 Fx的作用。各力的大小的作用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 5

18、00 N， Fx=750 N，而，而刀尖刀尖B 的坐标的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆的重量，。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部试求刀杆根部A 的约束反力的各个的约束反力的各个分量。分量。刀杆根部是固定端，约刀杆根部是固定端，约束反力是任意分布的空束反力是任意分布的空间力系，通常用这个力间力系，通常用这个力系向根部的系向根部的A点简化的点简化的结果表出。一般情况下结果表出。一般情况下可有作用在可有作用在A点的三个点的三个正交分力和作用在不同正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶。平面内的三个正交力偶。1.取镗刀杆为研究对象取镗刀杆为研究对象,受力分析

19、如图。受力分析如图。2.列平衡方程。列平衡方程。已知：已知： Q=100kN，P=20kN，等边等边ABC边长边长a=5m，HDl=3.5m， = 30,EDAD/3求：求：各轮的点面反力。又当各轮的点面反力。又当= 0时，时， 最大载重最大载重Pmax是多少是多少。解解: 取起重机为研究对象取起重机为研究对象FAFCFBFA=26.3kNFC=43.4kNFB=50.3kNCABEHDy xPAB,CDQHz30解解: 取起重机为研究对象取起重机为研究对象CABEHDxy PAB,CDQHzFAFCFB解得解得: FA=19.3kN， FB=53.9kN， FC=46.8kN（2）当当= 0

20、，由上面第一个方程得：，由上面第一个方程得：为确保安全，必须：为确保安全，必须：FA0如图所示匀质如图所示匀质长方板由六根长方板由六根直杆支持于水直杆支持于水平位置，直杆平位置，直杆两端各用球铰两端各用球铰链与板和地面链与板和地面连接。板重为连接。板重为G，在在A处作用一水处作用一水平力平力F，且，且F = 2G。杆重不计，。杆重不计，求各杆的内力。求各杆的内力。1、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形自行封闭。平衡方程为自行封闭。平衡方程为 2、平面力偶系的平衡方程为、平面力偶系的平衡方程为 M = 0一个独立方程，可求解一个未知量。一个独立方程，可求解一个未知量。 本章讨论了平面汇交力系、平面力偶系、平面本章讨论了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系、空间汇交力系、空间力平行力系、平面任意力系、空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系及空间任意力系的平衡。偶系、空间平行力系及空间任意力系的平衡。00yxFF应用几何条件或平衡方程都可求解两个未知量。应用几何条件或平衡方程都可求解两个未知量。3、平面平行力系平衡方程为、平面平行力系平衡方程为 0)(M0Y0F5、空间汇交力系的平衡方程是、空间汇交力系的平衡方程