2-3资金的时间价值-复利计算

1、第二章第二章 资金的时间价值与等值计算资金的时间价值与等值计算?资金的时间价值资金的时间价值?利息与利息率利息与利息率?资金等值计算资金等值计算?现金流和现金流程图现金流和现金流程图年末年末A A方案方案B B方案方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000 3000 3000 3000 方案方案D 3000 3000 30006000 1 2 3 4 5 6方案方案C 0 1 2 3 4 5 60 3000 3000 方案方案F 方案方案E 400 0 1 2 3 4 200 200 200 300 0 1 2 3 4

2、 100 200 200 300 400 货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的的大小大小有关，而且与发生的有关，而且与发生的时间时间有关。由于货币有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。得比较复杂了。 如何比较两个方案的优劣如何比较两个方案的优劣构成了本课程要构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和济

3、分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。可靠。1.1.资金的时间价值资金的时间价值 指初始货币在生产与流通中指初始货币在生产与流通中与劳动相结合与劳动相结合，即作为即作为资本资本或或资金资金参与参与再生产再生产和和流通流通，随着，随着时间时间的推移会得到的推移会得到货币增值货币增值，用于投资就会带来，用于投资就会带来；用于储蓄会得到用于储蓄会得到。 第一节第一节 资金的时间价值资金的时间价值资金的时间价值资金的时间价值n概念: 不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值。 n可从两方面理解:n随时间的推移，其数额会增加，叫资金的增值。n资金一旦用于投资，就不能用于消费。从消费

4、者角度看，资金的时间价值体现为放弃现期消费的损失所得到的必要补偿。影响资金时间价值的主要因素影响资金时间价值的主要因素n资金的使用时间资金的使用时间 资金增值率一定，时间越长，时间价值越大资金增值率一定，时间越长，时间价值越大n资金数量的大小资金数量的大小 其他条件不变，资金数量越大，时间价值越大其他条件不变，资金数量越大，时间价值越大n资金投入和回收的特点资金投入和回收的特点 总投资一定，前期投入越多，资金负效益越大；总投资一定，前期投入越多，资金负效益越大； 资金回收额一定，较早回收越多，时间价值越大资金回收额一定，较早回收越多，时间价值越大n资金的周转速度资金的周转速度 越快，一定时间内

5、等量资金的时间价值越大越快，一定时间内等量资金的时间价值越大 充分利用资金的时间价值充分利用资金的时间价值 最大限度的获得资金的时间价值最大限度的获得资金的时间价值资金时间价值原理应用的资金时间价值原理应用的基本原则：基本原则：资金的资金的时间价值时间价值通货膨胀导通货膨胀导致货币贬值致货币贬值性质不同性质不同通货膨胀：货币发行量超过通货膨胀：货币发行量超过商品流通实际需要量引起货商品流通实际需要量引起货币贬值和物价上涨现象币贬值和物价上涨现象注意注意资金与劳动相结资金与劳动相结合的产物合的产物第二节第二节 利息和利率利息和利率n资金的时间价值体现为资金运动所带来的利润（或利息），利润（或利息

6、）是衡量资金时间价值的绝对尺度n资金在单位时间内产生的增值（利润或利息）与投入的资金额（本金）之比，简称为“利率”或“收益率”，它是衡量资金时间价值的相对尺度，记作i1.1.利息（利息（In）占用资金所付出的代价（或放弃资金使用权所占用资金所付出的代价（或放弃资金使用权所获得的补偿）获得的补偿）2.2.利率（利率（i）一个记息周期内所得利息额与本金的比率一个记息周期内所得利息额与本金的比率利率利率%1001pIi一、利息计算方法一、利息计算方法1.单利法单利法：仅对本金计息，利息不在生利息。：仅对本金计息，利息不在生利息。)(niPFinPInn12.复利法复利法：对本金和利息计息：对本金和利

7、息计息一、利息计算方法一、利息计算方法nniPF1nnnniPiFFFiPiFFFiPiFFFiPiPPF111111322321121 I = P i n F=P（1+i n）P P本金本金 n n计息周期数计息周期数F F本利和本利和 i i利率利率F=P(1+i)nI=F-P=P(1+i)n-1二二、利息公式利息公式利息计算利息计算 单利法单利法 ( (利不生利利不生利) ) 复利法（利滚利）复利法（利滚利）使用期使用期年初款额年初款额单利单利年末计息年末计息年末本利和年末本利和年末偿还年末偿还12341000110012001300100010%=100100010%= 1001000

8、10%= 100100010%= 10011001200130014000001400使用期使用期年初款额年初款额复利复利年末计息年末计息年末本利和年末本利和年末偿还年末偿还12341000110012101331100010%=100110010%=110121010%=121133110%=133.11100121013311464.10001464.1单利、复利小结单利、复利小结u单利仅考虑了本金产生的时间价值，未考虑前期利息单利仅考虑了本金产生的时间价值，未考虑前期利息产生的时间价值产生的时间价值u复利完全考虑了资金的时间价值复利完全考虑了资金的时间价值u债权人债权人按按复利复利计算资

9、金时间价值有利计算资金时间价值有利 债务人债务人按按单利单利计算资金时间价值有利计算资金时间价值有利u按单利还是按复利计算，取决于债权人与债务人的地按单利还是按复利计算，取决于债权人与债务人的地位位u同一笔资金，当同一笔资金，当i i、n n相同，复利计算的利息比单利计相同，复利计算的利息比单利计算的利息大，本金越大、利率越高、计息期数越多，算的利息大，本金越大、利率越高、计息期数越多，两者差距越大两者差距越大 等值等值在某项经济活动中，如果两个方案在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的的经济效果相同，就称这两个方案是等值的 478.20 0 1 2 3 4 5

10、6 7 8 年 300 i=6% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 i=6% 同一利率下不同时间的货币等值同一利率下不同时间的货币等值 第三节第三节 等值的基本概念等值的基本概念 货币等值是考虑了货币的时间价值货币等值是考虑了货币的时间价值 即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并 不一定相等不一定相等 反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值 却可能相等却可能相等货币的等值包括货币的等值包括三个因素三个因素 金额金额金额发生的时间金额发生的时间利率利率2.2.几个概念几个概念折现（贴现）：折现（

11、贴现）：把将来某一时点上的资金金额换把将来某一时点上的资金金额换算成现在时点的等值金额的过程算成现在时点的等值金额的过程现值：现值：折现到计算基准时点的资金金额折现到计算基准时点的资金金额终值：终值：与现值相等的将来某一时点上的资金金额与现值相等的将来某一时点上的资金金额折现率：折现率：折现时的计算利率折现时的计算利率第四节第四节 现金流量的概念现金流量的概念一、基本概念一、基本概念1.1.现金流出现金流出：对一个系统而言，凡在某一时点上：对一个系统而言，凡在某一时点上流出系统的资金或货币量，如投资、费用等。流出系统的资金或货币量，如投资、费用等。2.2.现金流入现金流入：对一个系统而言，凡在

12、某一时点上：对一个系统而言，凡在某一时点上流入系统的资金或货币量，如销售收入等。流入系统的资金或货币量，如销售收入等。3.3.净现金流量净现金流量 = = 现金流入现金流入 - - 现金流出现金流出4.4.现金流量现金流量：各个时点上实际的资金流出或资金：各个时点上实际的资金流出或资金流入（现金流入、现金流出及净现金流量的统称）流入（现金流入、现金流出及净现金流量的统称）现金流量的概念现金流量的概念二、现金流量的表示方法二、现金流量的表示方法1.1.现金流量表：现金流量表：用表格的形式将不同时点上发生用表格的形式将不同时点上发生的各种形态的现金流量进行描绘。的各种形态的现金流量进行描绘。2.2

13、.现金流量图：现金流量图：描述现金流量作为时间函数的图描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。况。 大大 小小流流 向向 时间点时间点现金流量图的三大要素现金流量图的三大要素现金流量表现金流量表t t 年年 末末 123456现金流入现金流入0100700700700700现金流出现金流出600200200200200200净现金流量净现金流量-600-100500500500500现金流量表现金流量表单位：万元单位：万元7 现金流量图的说明现金流量图的说明横轴是时间轴，每个间隔表示一个时间单位，点称为时点，标注时间序

14、号的时点通常是该时间序号所表示的年份的年末。纵轴表示现金流量，箭头向上表示现金流入，向下表示现金流出，长短与现金流量绝对值的大小成比例，箭头处一般应标明金额。一般情况，时间单位为年，假设投资发生在年初，销售收入、经营成本及残值回收等均发生在年末。300400 时间时间200200200 1 2 3 4现金流入现金流入 现金流出现金流出 0 l第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初 l立脚点不同立脚点不同, ,画法刚好相反画法刚好相反 注意注意第三章第三章 复利计算复利计算n复利折算公式n几种特殊的复利折算公式n名义利率、实际利率和连续复利n复利表及其应用

15、符号定义：符号定义： i i 利率利率 n n 计息期数计息期数 P P 现在值，本金现在值，本金 F F 将来值、本利和将来值、本利和 A A n n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末 实现实现 G G 等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入 是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或 收入的差额收入的差额复利计息利息公式复利计息利息公式类型类型n一次支付类型计算公式n等额支付类型计算公式1.1.整付终值公式整付终值公式 0 1 2 3 n 1 n F=？P

16、(已知）已知） 整付终值利率系数整付终值利率系数F = P(1+i)n=P(F/P,i,n)公式的推导公式的推导 年份年份年初本金年初本金P P当年利息当年利息I I年末本利和年末本利和F F P(1+i)P(1+i)2 2P(1+i)P(1+i)n-1 n-1 P(1+i)P(1+i)n n 1 1 P PP Pi iP(1+i)P(1+i)2 2P(1+i)P(1+i)P(1+i) P(1+i) i in n1 1P(1+i)P(1+i)n-2n-2P(1+i)P(1+i)n-2n-2 i i n n P(1+i)P(1+i)n-1n-1P(1+i)P(1+i)n-1n-1 i i F=P

17、(1+i)n =1000 (1+10%)4 = 1464.1万万元元 例：在第一年年初，以年利率例：在第一年年初，以年利率10%10%投资投资10001000万元，万元，则到第则到第4 4年年末可得本利和多少？年年末可得本利和多少？可查表可查表或计算或计算0123年年F=?i=10%100041.1.整付终值计算公式总结整付终值计算公式总结已知期初投资为已知期初投资为P P，利率为，利率为i i，求第，求第n n年末年末收回本利收回本利F F。niPF1ni1niPF,/称为整付终值系数，记为称为整付终值系数，记为2.2.整付现值公式整付现值公式),/()1 (1niFPFiFPn 0 1 2

18、 3 n 1 n F (已知）已知）P =？ 1/(1+i)n 整付现值利率系数整付现值利率系数 例例1 1：若年利率为：若年利率为10%10%，如要在第，如要在第4 4年年末得到的年年末得到的本利和为本利和为1 1464.1464.1万元，则第一年年初的投资为多少？万元，则第一年年初的投资为多少？ )(10006830. 01 .1464%10111 .1464)1 (14万元niFP解：解： 例例2:2:某单位计划某单位计划5 5年后进行厂房维修，需资金年后进行厂房维修，需资金4040万元，银行年利率按万元，银行年利率按9%9%计算，问现在应一次性计算，问现在应一次性存入银行多少万元才能使

19、这一计划得以实现？存入银行多少万元才能使这一计划得以实现？解：解：)(996.256499. 040%)91 (140)5%,9 ,/(405万元FPP2.2.整付现值计算公式总结整付现值计算公式总结已知第已知第n n年末将需要或获得资金年末将需要或获得资金F F ，利率，利率为为i i，求期初所需的投资，求期初所需的投资P P 。niFP11ni1niFP,/称为整付现值系数，记为称为整付现值系数，记为3.3.等额分付终值公式等额分付终值公式),/(1)1 (niAFAiiAFn 0 1 2 3 n 1 n F=？ A ( (已知）已知）等额年值与将来值之间的换算等额年值与将来值之间的换算

20、F(1+i) F= A(1+i)n A),/(1)1 (niAFAiiAFn F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1)乘以乘以(1+(1+i)i) F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) 公式推导公式推导 v等额分付系列公式应用条件等额分付系列公式应用条件1.1.每期支付金额相同，均为每期支付金额相同，均为A A；2.2.支付间隔相同，通常为支付间隔相同，通常为1 1年；年；3.3.每次支付都在对应的期末，终值与最每次支付都在对应的期末，终值与最后一期支付同时发生。后一期支付同时发生。 例：如连续例：

21、如连续5 5年每年年末借款年每年年末借款10001000元，按年利元，按年利率率6%6%计算，第计算，第5 5年年末积累的借款为多少？年年末积累的借款为多少？ 解：解：)(1.56376371.51000%61%611000),/(1)1(5元niAFAiiAFn 思考：思考：假如借款发生在每年年初，则上述结果假如借款发生在每年年初，则上述结果又是多少？又是多少？ iiAFn113.3.等额分付终值计算公式总结等额分付终值计算公式总结已知一个技术方案或投资项目在每一个计息期期末均支付相同的数额为A ，设利率为i，求第n年末收回本利F 。F/A,i,niin11称为称为等额分付终值系数，记为等额

22、分付终值系数，记为4.4.等额分付偿债基金公式等额分付偿债基金公式),/(1)1 (niFAFiiFAn 0 1 2 3 n 1 n F( (已知）已知） A=？ 例例: :某厂计划从现在起每年等额自筹资金，在某厂计划从现在起每年等额自筹资金，在5 5年后进行扩建，扩建项目预计需要资金年后进行扩建，扩建项目预计需要资金150150万元，万元，若年利率为若年利率为10%10%，则每年应等额筹集多少资金？，则每年应等额筹集多少资金？)(57.241638.01501%)101(%10150)5%,10,/(1505万元FAA解：解：4.4.等额分付偿债基金公式总结等额分付偿债基金公式总结已知一个技

23、术方案或投资项目在第已知一个技术方案或投资项目在第n n年末年末收回本利收回本利F,F,设利率为设利率为i i，求每一个计息期，求每一个计息期期末均支付相同的数额为期末均支付相同的数额为A A 。A/F,i,n11nii称为称为等额分付偿债基金公式系数，记为等额分付偿债基金公式系数，记为11niiFA5.5.等额分付现值公式等额分付现值公式),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn 0 1 2 3 n 1 n P=？ A ( (已知）已知） 根据根据F = P(1+i)F = P(1+i)n n F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i P(1+i)P(1+i)n

24、n =A=A (1+i)(1+i)n n 1 1i i ),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn 例例1 1：1515年中每年年末应为设备支付维修费年中每年年末应为设备支付维修费800800元，若年利率为元，若年利率为6%6%，现在应存入银行多少钱，才能，现在应存入银行多少钱，才能满足每年有满足每年有800800元的维修费？元的维修费？解：解：（元）76.77697122.9800%)61%(61%)61 (800)15%,6 ,/(8001515APP例2：某人贷款买房，预计他每年能还贷2万元，打算15年还清，假设银行的按揭年利率为5%，其现在最多能贷款多少？万元76.20380.

25、10215%,5,/2111APiiiAPnnnniiiAP1115.5.等额分付现值计算公式总结等额分付现值计算公式总结已知一个技术方案或投资项目在n年内每年末均获得相同数额的收益为A ，设利率为i，求期初需要的投资额P 。P/A,i,nnniii111称为称为等额分付现值系数，记为等额分付现值系数，记为 6.6.等额分付资本回收公式等额分付资本回收公式),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnn 0 1 2 3 n 1 n P ( (已知）已知） A =？ 例例: :某投资人欲购一座游泳馆，期初投资某投资人欲购一座游泳馆，期初投资10001000万元，年利率为万元，年利率为10%10

26、%，若打算，若打算5 5年内收回全部投资，年内收回全部投资，则该游泳馆每年至少要获利多少万元？则该游泳馆每年至少要获利多少万元？5510% (1 10%)10001000 ( / ,10%,5)(1 10%)11000 0.2638 263.8AA P ( (万万元元) )解解: :111nniiiPA6.6.等额分付资本回收计算公式总结等额分付资本回收计算公式总结A/P,i,n111nniii称为称为等额分付资本回收系数，记为等额分付资本回收系数，记为已知一个技术方案或投资项目期初投资额为P，设利率为i，求在n年内每年末需回收的等额资金A 。v变化变化若等额分付的A发生在期初，则需将年初的发

27、生值折算到年末后进行计算。3AF0n12n- -1 14AiniiAiniAFiAA1111117.7.均匀梯度系列公式均匀梯度系列公式均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 nA10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n （3）（n2）GG0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n1）G（2）A2= G1n ii（A/F,i,nA/F,i,n）现金流量图现金流量图（2 2）的将来值）的将来值F F2 2为为: :F2=G（F/A,i,n1）+G（F/A,i,n2）+ + G（F/A,i,2

28、）+ G（F/A,i,1）=G （ 1+i）n1 1i（ 1+i）n2 1iGG（ 1+i）2 1i i（ 1+i）1 1Gi+（ 1+i）1 1G（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1（n1）1 =Gi （1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1+1 =iGn Gi=iG （ 1+i）n 1in GiiG （ 1+i）n 1n GiA2= F2 （ 1+i）n1 =iii （ 1+i）n1 Gn GiGn G = ii（ 1+i）n1 = ii（A/F,i,n）1n = G ii（A/F,i,nA/F,i,n）梯度系数（A/G,i,n）

29、A10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n （3）A=AA=A1 1+A+A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （4） 注：如支付系列为均匀减少，则有注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1A23.3.3 等差系列（Uniform-Gradient Series）G称为等差递增年值称为等差递增年值 0 1 2 3 G n-1 n（） 2G (n-2)G (n-1)G表表示示。，用用为为梯梯度度系系列列等等年年值值系系数数表表示示。用用为为梯梯度度系系列列现现值值系系数数，表表示示。用用为为梯梯度度系系列列终终值值系系数数，梯梯度度系系列列等等年年值值公公

30、式式梯梯度度系系列列现现值值公公式式梯梯度度系系列列终终值值公公式式),/()1(1)1(),/()1(1)1(),/(1)1()1(1)1(),/()1(1)1(),/(1)1()1 ,/()2 ,/()2,/()1,/(2222niGAiiiniiniGPiiniiniGFiniiiiiniiGniFAFAiiniiGniFPFPiniiGiAFGiAFGniAFGniAFGFnnnnnnnnnn 例：一个汽车修理部的一台钻床在将来的例：一个汽车修理部的一台钻床在将来的5年的操作费用分别为年的操作费用分别为1100元、元、1225元、元、1350元、元、1475元和元和1600元，如果使用

31、元，如果使用12的贴现的贴现率，那么这些费用的现值是多少？率，那么这些费用的现值是多少？解：解：P1 = A(P/A, i, n) = 1100(P/A, 0.12, 5) = 3966 （元元）P2 = G(P/G, i, n) = 125(P/G, 0.12, 5) = 800 （元元）P = P1 + P2 = 3966+800 = 4766 （元元） 0 1 2 3 4 5P=?（年）11001225135014751600 0 1 2 3 4 5P1=?（年）1100 0 1 2 3 4 5P2=?（年）125250375500u 方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；方案的初始

32、投资，假定发生在方案的寿命期初；u 方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；（年）末；u 本年的年末即是下一年的年初；本年的年末即是下一年的年初；u P P是在当前年度开始时发生；是在当前年度开始时发生；u F F是在当前以后的第是在当前以后的第n n年年末发生；年年末发生；u A A是在考察期间各年年末发生。当问题包括是在考察期间各年年末发生。当问题包括P P和和A A时，系时，系列的第一个列的第一个A A是在是在P P发生一年后的年末发生；当问题包括发生一年后的年末发生；当问题包括F F和和A A时，系列的最后一个时，系列的最后一个

33、A A是和是和F F同时发生；同时发生；u 均匀梯度系列中，第一个均匀梯度系列中，第一个G G发生在系列的第二年年末。发生在系列的第二年年末。运用利息公式应运用利息公式应注意的问题注意的问题 6、等值基本公式相互之间的关系：AFP(A/F,i,n)(F/A,i,n)(P/A,i,n)(A/P,i,n)(P/F,i,n)(F/P,i,n)n6543210例例: :有如下图示现金流量，解法正确的有有如下图示现金流量，解法正确的有( )( )答案答案: AC012345678AF=? A. F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8) B. F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7) C. F=A(F

34、/A,i,6)(F/P,i,2) D. F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2) E. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i i。0123n-1nA0123n-1nA=A（1+ i ）解：11111111,/nnnniiiAiiiiAniAPAP， 111111,/1iiAiiiAniAFAFnn， 例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有（确的有（ ）A（F/A,i,n）= (P/A,i,n)(F/P,i,n) B（F/P,i,n）=(F/P,i,n

35、1)(F/P,i,n2),其中其中n1+n2=nC（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)(P/F,i,n2),其中其中n1+n2=nD（P/A,i,n）=(P/F,i,n)(A/F,i,n)E 1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)答案答案: A B三、名义利率和有效利率三、名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念名义利率和有效利率的概念 当当利率的时间单位利率的时间单位与与计息期计息期不一致时，不一致时，有效利率有效利率资金在计息期发生的实际利率资金在计息期发生的实际利率 例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%3%， 则则 3%

36、3%（半年）有效利率（半年）有效利率如上例为如上例为 3% 3%2=6% 2=6% （年）名义利率（年）名义利率（年）名义利率（年）名义利率= =每一计息期每一计息期的有效利率的有效利率 一年中计息期数一年中计息期数 r r名义利率名义利率, , n n一年中计息次数，一年中计息次数， 则每计息期的利率为则每计息期的利率为r/nr/n，根据整付终值公式，根据整付终值公式， 年末本利和：年末本利和： F=P1+r/n F=P1+r/nn n 一年末的利息：一年末的利息： I=P1+r/n I=P1+r/nn n P P 111nnnrppnrPi1.1.离散式复利离散式复利按期（年、季、月和日）

37、计息按期（年、季、月和日）计息则年有效利率则年有效利率 例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为行年利率为16%16%，计息每年一次。乙银行年利率为，计息每年一次。乙银行年利率为15%15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？优惠些？ %0755.1611215.0111%1612nnrii乙甲因为因为i i乙乙 i i甲甲，所以甲银行贷款条件优惠些。，所以甲银行贷款条件优惠些。解：解： 例：现投资例：现投资10001000元，时间为元，时间为1010年，年利率为年，年利率为8%8%，每季度计

38、息一次，求每季度计息一次，求1010年末的将来值。年末的将来值。 F=？1000 0 1 2 3 40 季度季度每季度的有效利率每季度的有效利率 8% 8%4=2% 4=2% 年有效利率年有效利率i i： i=i=（ 1+ 2% 1+ 2%）4 41=8.2432%1=8.2432%用用年年实际利率求解实际利率求解: : F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）元）用用季度季度利率求解利率求解: : F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=1000=10002.2080=22082.2080=2208（

39、元）元）解：解：2.2.连续式复利连续式复利按瞬时计息的方式按瞬时计息的方式 111lim11limrrrnnnnenrnri式中：式中：e e自然对数的底，其值为自然对数的底，其值为2.718282.71828 复利在一年中按无限多次计算，年有效利率为：复利在一年中按无限多次计算，年有效利率为： r=12%12%, ,分别按不同计息期计算的实际利率分别按不同计息期计算的实际利率复利周期复利周期每年计息数期每年计息数期各期实际利率各期实际利率实际年利率实际年利率一年一年半年半年一季一季一月一月一周一周一天一天连续连续124125236512.0000%6.0000%3.0000%1.0000%

40、0.23077%0.0329%0.000012.0000 %12.3600 %12.5509 %12.6825 %12.7341 %12.7475 %12.7497 % 例：当利率为例：当利率为8%8%时，从现在起连续时，从现在起连续6 6年的年末等年的年末等额支付为多少时与第额支付为多少时与第6 6年年末的年年末的10000 10000 等值？等值？ A=F（A/F,8%,6）=10000 (0.1363) =1363 元元/ /年年 解：解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年 A=？ i=8% ( (一一) )计息期为一年的等值计算计息期为

41、一年的等值计算相同相同年有效利率年有效利率名义利率名义利率直接计算直接计算 三种情况：三种情况：l 计息期和支付期计息期和支付期相同相同l 计息期计息期短于短于支付期支付期l 计息期计息期长于长于支付期支付期 ( (二二) )计息期短于一年的等值计算计息期短于一年的等值计算1.1.计息期和支付期计息期和支付期相同相同 %62%12i n=(3 n=(3年年) )( (每年每年2 2期期)=6)=6期期 P=AP=A（P/AP/A，6%6%，6 6）=100 =100 4.9173=491.734.9173=491.73元元 例：年利率为例：年利率为12%12%，每半年计息一次，从现在，每半年计息一次，从现在起