第十五章极值和条件极值(精)

1、第1页共3页第十五章极值和条件极值( 一 )教学目的：1 ）理解极值与条件极值的概念；2）掌握最小二乘法。(二 ) 教学重点：1）条件极值的必要条件；2）条件极值的求法.（三）教学难点1）最小二乘法；2）多元函数的最大（小）值问题。§15. 1 极值和最小二乘法一极值定义 1： 设 f x, y在 M 0 x0 , y0 的邻域内成立不等式fx, yf x0 , y0则称函数 f ( x, y) 在点 M0取到极大值， 点M 0x0 , y0称为函数的极大点， 若在 M0x , y00的邻域内成立不等式fx, yf x0 , y0则称函数 f ( x, y) 在点 M 0取到极小值，

2、 点 M 0x0 , y0 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。定义 2： 设 D 是 R2 内的一个区域，x0 , y0 是 D 的一个内点，如果f x0 , y00，f x0 , y00，xy则称x0 , y0 是 f 的一个驻点。根据费玛定理，可知龙岩学院数计院第2页共3页定理 1：二元函数的极值点必为ff0 的点或至少有一个偏导数不存在的点。xy注：定理 1 的条件是必要条件，而不是充分条件。例 1： zxy 在0,0点。例 2： zx 在0,0点。怎样进一步判断是否有极值？定理 2： 设 f 在点 (x0 , y0 ) 的某个邻域内有各个二阶连续偏

3、导数，并且点(x0 , y0 ) 是 f的一个驻点，2f ( x0 , y0 ) ， C2f2f ( x0 , y0 ) ， HABA( x0 , y0 ) ， BAC B2，x2y2x yBC则：（ 1）若（ 2）若（ 3）若H0, A0，则 f 在点 (x0 , y0 ) 有极小值；H0, A0，则 f 在点 (x0 , y0 ) 有极大值；H0 ，则 f在点 (x0 , y0 ) 没有极值；（ 4）若 H0 ，则须进一步判断。例 3：求 zxy(1xy ) (a 0, b 0) 的极值。ab例 4：求 z3axyx3y3 的极值。多元函数的最大（小）值问题设函数f ( x, y) 在某一

4、有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点 M 0 位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数f ( x, y) 的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数zf ( x, y) 在区域 D 上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点， 算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域D 上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。例 5：有一块宽24cm 的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问x 和各自为何值时，水槽的流量是最大

5、？龙岩学院数计院第3页共3页例6 ： 试 在 x 轴 ，y 轴 与 直 线 xy2围 成 的 三 角 形 区 域 上 求 函 数usin xsin ysin xy 的最大值。二最小二乘法例 7：已知 ( x1 ,T1) ， ( x2 ,T2 ) ， ( xn ,Tn ) 服从线性关系： y ax b问：如何根据这组数据来合理地确定系数a 和 b ？解： 总偏差为n2Tiaxib，i1确定系数 a, b ，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令0a0b即可解得 a, b 。nn几个疑问： 1）如果 n(xi2 )xi20 怎么办？ 2）这样求出的a、b 就是达到极i 1i 1小值的点？ 3）在选取 a、b 时，为什么不取各个偏差的代数和ni 作为总偏差？i 1例