等时圆模型(最全)

1、“等时圆”模型的规律及应用一、等时圆模型（如图所示）图 a图 b二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即t02d4R2 R（式中 R为圆的半径。）ggg三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为 d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 a g sin，位移为 sd sin ，所以运动时间为t02s2d sin2dag sing即沿

2、各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。四、应用等时圆模型解典型例题例 1：如图 1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定Word 文档【解析】：由“等时圆” 可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆” 上，所以 A 正确。例 2：如图 2，在斜坡上有一根旗杆长为 L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB滑至斜坡底部，又AL知 OB=L。求小环从 A 滑到 B 的时间。【解析】： 可以以 O为圆心，以 L 为半径画一个圆。

3、LO根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到 B 的时间等于从 A B点沿直径到底端 D 的时间，所以有t ABt AD2d4LLDgg2图 2g例 3 ：如图 5所示，在同一竖直线上有 A、B两点，相距为 h ， B点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点 P，使得从 A、 B两点分别向点 P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由 A和 B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、 P两点之间的距离OP 。解析 ：由“等时圆”特征可知，当A、 B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图 6所示，此时等时圆的半径为：AARO1PHhhhO12BhHBOPR22H ( H h

4、)PH所以( )OP2图 5O例 4：如图 7， AB 是一倾角为的输送带，图 6P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与 AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？PPBBOAAC图 7图 8解析： 借助“等时圆”，可以过P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示， C 为切点， O为圆心。显然，沿着 PC弦建立管道，原料从P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 “等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P 处到达输送带上所Word 文档c300、450、600。若有三个小用时间最短，需沿着 PC建立

5、管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于 / 2 。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为，小滑环分别从a、 b、 c 处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析： bd 的长为2Rcos， bd 面上物体下滑的加速度为a=gcos - gsin ，4R cos=2R。可见 t 与有关。t bd=g sing tang cosg2、如图 9，圆柱体的仓库有三块长度不同的滑板aO、 bO、 cO，其下端都固定于底部圆心 O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为孩同时从a、 b、 c 处开始下滑（忽略阻力），则（）A、

6、 a 处小孩最先到O点B、b 处小孩最先到O点C、 c 处小孩最先到O点D、a、 c 处小孩同时到O点解析： 三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、 b、 c 三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为 R，则R= 1 gsin t 2，t 2=4R，当 =450 时， t 最小，当cos2g sin 2=300 和 600 时， sin2 的值相等。baO例 3：如图 3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间图 3是多少？【解

7、析】：L= 1 gsin t 2 ， t 2=4L，当 =450 时， t 最小cos2g sin 2训练1、如图所示 ,oa 、ob、 oc 是竖直面三根固定的光滑细杆,O 、a、b、c、d 位于同一圆周上 ,d 点为圆周的最高点,c 点为最低点 . 每根杆上都套着一个小滑环( 图中未画出 ), 三个滑环都从o 点无初速释放 , 用、依次表示滑环到达 a、b、c 所用的时间 , 则 ()Word 文档A.B.C.D.答案详解 D 解 : 以 O点为最高点 , 取合适的竖直直径oe 作等时圆 , 交 ob 于 b, 如图所示 , 显然 o 到 f 、 b、 g、e 才是等时的 , 比较图示位移

8、,故推得, 选项 ABC错误 ,D 正确 .2、身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A 沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t 1、t 2、t 3，若已知 AB、AC、AD与板的夹角分别为70°、90°和 105°，则 （）A. t 1>t 2>t 3B. t 1<t 2<t 3C. t 1=t 2=t 3D. 不能确定 t 1、t 2、 t 3 之间的关系解析：若以 OA为直径画圆，如图，则 AB 交圆周与 E 点， C点正好在圆周上， D 点在圆周之

9、，AD的延长线交圆周与 F 点，设 AC与 AO的夹角为，根据牛顿第二定律得人做初速为零的匀加速直线运动的加速度为：a=gcos 由图中的直角三角形可知，人的位移为：S=AOcos则可知人从A 到 C 得时间为：Word 文档，可知与斜面的倾角无关，即人从A 带你滑到ECF的时间是相等的，则可知人从A 点滑到BCD的时间关系t 1>t 2>t 3，故 A 正确；故选： A3、竖直正方形框有三条光滑轨道OB、OC和 OD，三轨道交于 O点，且与水平方向的夹角分别为 30o、 45o 和 60o。现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从O点静止释放，分别沿 OB、 OC和 OD运动到达

10、斜面底端。则三小球到达斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同时到达，乙后到达D. 不能确定三者到达的顺序4、如图所示 , 地面上有一固定的球面, 球半径为R,球面的斜上方P 处有一质点 (P 与球心 O 在同一竖直平面). 已知 P 到球心 O的距离为 L,P 到地面的垂直距离为 H, 现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间滑到球面上,求所需的最短时间.解 :(1) 求证 : 如图所示小球从竖直平面的半径为 R' 的圆的顶点 , 沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘 ,Word 文档任取一条轨道PQ,PQ与水平面的夹角为,Word 文档由三角关系得PQ的长度为 :由牛顿第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度为 :Word 文档由位移时间公式得, 运动时间 :即运动时间与角度无关, 故对应任何轨道的时间均相同.(2) 作图 : 以 P 为顶点作一半径为 r 的球面 , 使其与所给球面相切与 Q,如图所示 :由