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1、试题库分类考题解答三. 幂级数1. 收敛半径、收敛域的计算(1). ，(2). (3). (4). (5). 解：，的收敛半径为，又当时，故的收敛域为，的收敛半径为，收敛域为(6).(7). 解：，收敛半径为，收敛区间：，即将代入原幂级数得收敛，将代入原幂级数得发散所以，收敛域为(8). 。(9). 证明：，故：，所以：偶次项为；，故：，所以：奇次项为；(10). ，。(11). 解：收敛域为，和函数。(12). 解：，当时，收敛；所以，收敛域为。解：，所以，收敛半径，所以，；当时：原级数发散，故收敛域为。(13). 解：，。(14). 。(15). 。2. 求和函数(1). 解：由逐项微分公

2、式：因为：，且的收敛半径为，故的收敛半径为，收敛域为；且的和函数为：；解：因为，令，原级数化为：而，且的收敛半径为，故的收敛半径为，收敛域为；且的和函数为：，将代入原级数，得：的和函数为；收敛域为(2). 解：，所以收敛半径，收敛区间为，当时，级数与都发散，所以，收敛域为设和函数， 在内逐项积分：；再对上式两边求导：，(3). (4). 解：令，；，故：，（）。(5). 解：，。考虑：，。(6). 解：易知：的收敛半径，收敛域为。，设，于是，从而，（）。(7). 解：设，级数收敛半径为，当时，级数发散，当时，级数收敛。所以，级数收敛域为；等式两边求导，；当时，当时，代入原幂级数，。3. 幂级数的展开(1). 解：因为，而，解：因为，(2). ，由，即；与的交集为(3).

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