函数、导数习题

1、函数与导数的核心知识点一、考查内容主要为以下几个方面：函数的定义域、值域极值、 最值函数的性质奇偶性、单调性、周期性、函数的图象、零 点问题函数与方程、恒成立问题函数与不等式、函数最值、 函数与方程不等式间的转化问题、导数的几何意义以及函数的 应用.二、研究函数问题的思想方法数形结合画函数图象需掌握的三种类型：1. 根本初等函数及由根本初等函数经过平移、对称等变换得到的 函数的图象；2. 可利用导数研究函数的单调性，勾画出草图的函数图象；3. 对于某些抽象函数，可根据所给函数的性质，勾画出反映该函 数性质的草图或示意图的函数图象.练习：11直线y=2x + b是曲线y= In xx>0的

2、一条切线，那么实数 b解: y'=1 nx 丨111 /曰门=一,=一得 x=2,xx 2切点为2, In2，代入直线方程y=11x+b,. 1 n2= x 2+b,. b=ln2-1 .22故答案为：In2-12. f (x) = ax3 3x+ 1 对于 x 1, 1总有 f (x) >0 成立，那么 a解：假设x=0,那么不管a取何值，f x?0都成立;当 x > 0 即 x 0, 1时，f x=ax3-3x+1 > 0 可化为：a >gx在区间0，1上单调递增，在区间1，1上单调递减，22所以设 gX=3-13x x，那么 g，x=3(1 42x),x1

3、因此 gxmax=g 一=4,从而 a?4 ；2当 x v 0 即 x -1 , 0时，f x=ax3-3x+1 > 0 可化为：a<31gx=3-有在区间卜1 , 0上单调递增,x x答案为:因此 g xmin=g -1=4，从而 a < 4，综上 a=4.3.设函数f (x)=x( ex + ae-x)( x R)是偶函数，那么实数a=解：gx=ex+ae-x为奇函数由g0=0，得a=-1 .故答案是-14. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,(梯形的周长)2 梯形的面积，那么S的最小值是先设剪成的小正三角形的边长为 x表示出S的解

4、析式，然后求S的最小值，方法一：对函数S进行求导，令导函数等于 0求岀x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确 定最小值；方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值.解答：解：设剪成的小正三角形的边长为x，那么：2 2c(3 x)4(3 x),八S=x吕= L .2(0 v x v 1)1331 x尹 1)y(1 x)方法一利用导数求函数最小值.S(x)=4 . (3 x)V31 xs' (x)=2 24 (2x 6) (1 x )(3 x) ( 2x) = 42(3x 1)(x 3)i3(1 x2)23(1 x2)22 2(1 x )S' (x)=0

5、，0v xv 1, x=1，3当 x (0 ,1 时，S， xv 0,3递减；当x 1，1)时，s'x 0,递增;3故当x= 1时,3S的最小值是3233方法二利用函数的方法求最小值令3-x=t , t (2 ,3)，- (-，-)， t 32那么:s= 4 ?t2= 4t2 6t 83161t8t21 3故当=，t 8x= 1时，s的最小值是 B23335.实数az0,函数f (x)=2x + a, xv 1x 2a, x> 1，假设f (1 a) = f (1 + a)，那么a的值为6.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1, 1 上,f(x)=ax +1, 1&l

6、t; XV0,13bx + 2 0wxw 1其中 a，b R.假设 fq = fq，贝y a+ 3b的值为,例题 例1.偶函数f(x)在区间0 , +X)单调递增，那么满足1f(2x-1) <f(3)的x取值范围是.例2.设函数f (x)=-x,r帀(X R),区间M= a,b(a<b)，集合N=y| y=f(x), xM，那么使 M N 成立的实数对(a, b)有A. 0 个 B . 1 个 C().2个 D .无数个=-fX解：t x R, f-x=1 + |x|f x为奇函数,x/ x>0 时，fx=1 x-x1+x11+x-1 ,当 x< 0 时，fx=-x1-

7、x=1-1 1-x/ fx丨在R上单调递减t函数在区间a , b上的值域也为a , b，贝U fa=b, f b=a即a1+|a|=b，b=a解得 a=0，b=0/ a< b使M=N成立的实数对a, b有0对应选A例 3. a, b 是实数，函数 f (x) = x3+ ax, g(x) = x2+ bx, f ' (x)和 g ' (x)是 f (x), g(x)的导函数，假设 f ' (x)g ' (x) >0在区间I上恒成立，那么称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.1设a>0,假设函数f (x)和g( x)在区间1,+x)上单调性

8、一致,求实数b的取值范围；2设a< 0,且b,假设函数f (x)和g(x)在以a, b为端点的 开区间上单调性一致，求|a b|的最大值.因为f x=0 有唯一解，因此这个解一定是x=0，即卩f 0=0，即a-1 a+3=0.解得a=1或a=-3 .当 a=1 时，fx=x2+2log 2x 2+2-2 > 0+2log 22-2=0，当且仅当 x=0 时取等号，因此关 于 x 的方程 x +2alog 2x +2+a -3=0 有唯一解 x=0 .当 a=-3 时，f x=x2-6log 2x 2+2+6 ,因为 f . 30=30-6 X 5+6=6> 0, f14=14

9、-6 X 4+6=-4 V 0,因此f x=0至少有三个根，不满足题意，故把a=-3舍去.所以，假设方程有唯一解，那么a=1 .故答案为1 .例5.假设不等式I ax3 ln x l> 1对任意x 0 , 1都成立，那么实数a的取值范围是解：显然 x=1 时，有 |a| > 1, a <-1 或 a > 1.令 g x=ax3-lnx , g' (x)=3ax1 3ax'1x当 a< -1 时，对任意 x 0, 1 , g' (x)=3ax3V 0, gx在0, 1上递减,当a> 1时，对任意x 0, 1,g' (x)=3ax

10、3 1g (x)=u,xx=3；gxmin=g 1=a<-1，此时 gx a ,+®，|g x|的最小值为0,不适合题意.2 e3例6、设f(x)In xx 1 ,证明：(I )当x> 1时，f(x)V 3 x 12(n)当1x 3时，f(x)9(x 1)x 5例六*(21 j 11)(证建一记gU) - blHd石一 1 -£( 一 f) * 那么加 A 1 时113M = v+<(KX(l)-讥右卫匕)v也R IfM <2( !)(证 H-)由均值产等式 空A1吋，2衣。+ 11)= lnx-z + 1,那么 k(Z) - G,心小二 了 1&l

11、t;A< oT 即Inx < 1 - 1 .5)m衛 x> 1 时，g +H工丿V 3U I耳式=> M 逅=H 0富 X 谨購事昭-sa二假设宀八s:;a 13>g 十 MT E.f Hs士i二二于一一曲 VMVLrsH Ii6 ><?+ 3 L严H以恒】Ldr+ic¥ EJ ;一一 ： X > 一汽二芒6 - d/L esv ffichpvr 豊s V 3!/dV9汇| 二5 十ArnJTw VHV一 还昙 5S I.5?+An s L-t-Hr 耳洛"二S +二 二 s+i羊寸5 S十XB +IA雋 h芷 号十|±22貨戏-壬一“ §丄言0u Rf