经济数学基础线性代数部分重难点解析

1、第三部 线性代数第1章 行列式1了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解n 阶行列式性质，尤其是：性质1 行列式D与其转置行列式相等；性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号；性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变例1 设行列式，则中元素的代数余子式= 。 解 由代数余子式的定义，其中为的余子式，可知=。应该填写 。 例2 下列等式成立的是（ ） ，其中为常数。 A B C D解 因为 ，所以选项A是错误的。由行列式性

2、质4可知，所以选项B是正确的。 因为，所以选项C是错误的。因为=，所以选项D是错误的。例3 行列式= 。 解 按第1列展开行列式，得故应该填写 6。2掌握行列式的计算方法化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。例4 计算行列式 。解 此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，再化为三角形行列式求值。=例5 计算行列式解 用降阶法求之

3、。例6 计算行列式 解 用降阶法求之。 =。3知道克拉默法则第2章 矩阵1了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）了解矩阵秩的概念；（5）理解矩阵初等行变换的概念。例1 若A，B是两个阶方阵，则下列说法正确是（）。ABC.若秩秩则秩D.若秩秩则秩 解 A： 只是的充分条件，而不是必要条件，故A错误；B：，矩阵乘法一般不满足交换律，即，故B错误；C：由秩秩说明A，B两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能是0矩阵，故秩不一定成立，即C错误；D：两个满秩

4、矩阵的乘积还是满秩的，故D正确。例2 矩阵的秩是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 化成阶梯形矩阵后，可知有3个非0行，故该矩阵的秩为3。例3 设矩阵 A=，则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是 。解 根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是3×2（1）×99×03应该填写-3例4 设A是m´n矩阵,B是s´n矩阵, 则运算有意义的是 。A BAB CATB DATBT 解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，它们的乘积才有意义，故矩阵有意义。正确的选项是A。例5

5、设方程XAB=X，如果AI可逆，则X= 。解 由XAB=X，得XAX=B，X(AI)=B，故X= B(AI)1。应该填写B(AI)12 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。例6 设矩阵 ，计算 解：因为 = 所以 例7 已知矩阵，求常数a，b 。解 因为 由 ，得a = 3，b = 2 例8 设矩阵，求解矩阵方程 解 因为 所以 且 例9 设矩阵，计算. 解 因为 = 且 所以 = 例10 设矩阵，求逆矩阵 解：因为=，且 所以 例11 设A，B均

6、为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵 证 因为 ，且 所以 ABBA是对称矩阵 例12 设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵 证 因为 ，即。所以 A为可逆矩阵 第3章 线性方程组 1了解线性方程组的有关概念：n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。2理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。例1 线性方程组的系数矩阵是( )。A2×3矩阵 B 3×2矩阵 C3阶矩阵 D2阶矩阵解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵。正确的选项是A。例2 线性方程组AX = B有唯一解，那么

7、AX = 0 ( )。A可能有非零解 B有无穷多解 C无解 D有唯一解解 线性方程组AX=B有唯一解，说明秩(A) = n，故AX = 0只有唯一解（零解）。正确的选项是D。例3 若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解。 A1B4C2D解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从而，即正确的选项是D。例4 若非齐次线性方程组Am×nX = B有唯一解，那么有 ( )。 A秩(A，B)n B秩(A)n C秩(A)秩（A，B） D秩(A）秩(A，B)n解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知D正确。例5 设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 解 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) ¹ r()，所以方程组无解. 例6 求线性方程组 的一般解 解： 因为系数矩阵 所以，一般解为：， 其中，是自由未知量 例7 求解线性方程组 解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵因为 秩