华南理工大学网络教育学院：《工程数学》作业之01(答案)

1、工程数学 作业之一解答问答题作业一：线性代数1 .表达三阶行列式的定义a11答：定义1:用32个数组成的记号a2ia22 a23表示数值:a31 a32a33a11a32称为三阶行列式，即:a12a13a22a23a32a33a11a21a31a21a11a23a13a21a22a33a31a32a23a21a23a21a22a12a13a33a31a33a31a32a22a32a11定义2:用n2个数组成的记号D=丨a1 n:表示数值:a221 1(1) ana32a23a 33an3a2na21r a23a2na3n/八12a31a33a3n+(1)a12: :Enan1an3annama

2、nn1 n(1) ama21a31an1a22a32an2a2,n 1a3,n 1an ,n 1称为n阶行列式2.表达n阶行列式的余子式和代数余子式的定义,并写出二者之间的关系答：定义：在n阶行列式D中划去aj所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的n 1阶行列式，称为可的余子式，记为Mj，即a11a1,j 1a1,j 1a1nai 1,1F£3di 1,j 1-r di 1,j 1ai 1,ai 1,1ai 1,j 1ai 1,j 1ai 1,an1an,j 1an,j 1annnnMj =(1)i J Mij称为砌的代数余子式，记为Aj，即Aj = ( l)

3、i J Mj3. 表达矩阵的秩的定义。答：定义：设A为m n矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r,即存在r阶 子式不为零，而任何 叶1阶子式皆为零，那么称r为矩阵A的秩，记作秩二r 或 R A= r4. 表达对称阵、可逆矩阵的定义。答：定义1:满足条件aj aji (i, j 1,2,n)的方阵(j )n n称为对称阵。其特点 是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。定义2:对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E，其中E为n 阶单位阵，那么称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。5. 表达矩阵的加法运算、数乘运算定义。答：定义1:设两个m n矩阵bina11a1nb11A =!&#

4、39;，B =: ':am1amnbm1bmna11bna1nb1n那么称m n矩阵-. 为矩阵A与B的和，记作A + Bam1bm1 *amnbmn定义2:以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数 k与矩阵A的积,记作kA，如果A(aj )m n，那么 kA= k (aij ) m n 伙诵)m n ,即ka1ka2kamka21ka22ka2nkA= :-kam1kam2' kamm6 表达向量组的线性相关和线性无关的定义。答：定义：设有向量组1, 2,，S,如果存在一组不全为零的数ki,k2,ks,使得 ki 1 k2 2ks s 0成立，那么称向量组1, 2，s,

5、线性相关。否那么，即仅 当kik2ks0时，才有kiik22kss 0成立，那么称向量组1, 2，,S,线性无关。7 齐次线性方程组的根底解系是什么?a1 X|a2 X2aXn0答：定义：设T是T a22X2a2nXn0的所有解的集合，假设T中存在an1 X1an2X2annXn0一组非零解1, 2,，s,满足11, 2,，s,线性无关；2任意 T ,都可用1, 2,，s,线性表出那么称1, 2，s,是此方程组的一个根底解系8 试述克莱姆法那么的内容。 答：克莱姆法那么：如果线性方程组a“X1812X2 aXn bi821X1822X2 a2nXn b2an1X1an2X2annXnbn的系数

6、aj (i, j 1,2，,n)构成的行列式D 0，那么此线性方程组有唯一解：D1D2 DnX1, X2, , Xn,DDD其中，Dj(j 1,2，,n)是将系数行列式 D中第j列元素对应地换为常数项 d,b2,bn得到的行列式a11a21a1,j 1a2,j 1lb b2a1,j 1a2,j 1a1,na2,nDjr: il li* * *4 !亠 an1an,j 1bnan,j 1ann.填空题共8题，每题4分，共计32分1 1 11 .行列式D1 1 141 1 1ana12a13a11a12ai33 .设 A = a21a22a23，那么3a?13a?23a23a31a32a336a3

7、16a326a334.设A,B均为3阶矩阵，且|A| |B|3，贝U 2ABT18|A| 721 15.设行列式D那么D中元素a23的代数余子式A23 =2 假设A是对称矩阵，那么A A6. n阶行列式Dn中元素aj的代数余子式Aj与余子式Mj之间的关系是A (1)ijMjo7.设矩阵A中的r阶子式Dr 0，且所有r+1阶子式如果1008.设 A 020 ，贝U A001有的话都为0，那么r(A) r10丄 0 20 0 1an x1812X2amXn09.如果齐次线性方程组a21X1a?2 X2a2nXn0的系数行列式| D | 0，an1 x1an2X2annXn0那么它有 只有零 解.1

8、0.齐次线性方程组 AX 0总有0解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有非零 解。11用消元法解线性方程组AX b，其增广矩阵A经初等行变换后，化为阶梯阵153 1023 4A00s t000 0那么(1)当 s=0,t0时,AXb无解；当s=0,t=0时，AXb有无穷多解当s 0, t是任意实数时，AX b有唯一解.三计算题x 1331 计算行列式3 x536 6x 4x 53333 x解：原行列式可化为(x 1)3c( 3)6 x46x46 64)X-2 计算行列式1-3 12-3 3解：原行列式可化为:1213121113161052910016021431290550162

9、9152914= 2145065505252252953 计算行列式2120110212239554201121021 11 199 9812 122102001320110299 981205解：原行列式可化为:201 102 0 395=2102395201=2600+ 1400- 600= -18004设矩阵A231111 ,B0 1 10 0133955(2)201 1021 2123112，求 AB。0 1 123解：AB 111235611112=2460 110 11|AB|1166 114 61)255 行列式374659值.2解:A43( 1)4 3M43341 2112 7

10、5 27 46 2写出元素a43的代数余子式，并求A43的7 43 43 7(5)26 24 246(2)=54120111211421，求I6.设ABA)B。02010114311210 0012010201解：1A)01 0021142214一00 100201一 021100 01143114300201115 4(IA)B221421一2 5021101531430129 025321585437.求矩阵A的秩。17420411232532 11742017420的5854 32532109521解：A1742 04112302715634112 35854302715631 7420

11、0 952 10000000000所以，矩阵的秩为2x1 2x2 x3 4x402x1 3x2 4x3 5x404x2 13x3 14x40x2 7x3 5x408 解齐次线性方程组XiXi1223144510A=14131401175010521050123012000000000000002 14121230161218003 69001 42 30 00 02300解：对系数矩阵施以初等变换：与原方程组同解的方程组为:X 5x3 2x40x2 x3 3x40所以：方程组的一般解为X1X25123x4其中，X3,X4为自由未知量9.试问 取何值时，齐次线性方程组3为X2X302x2X30有

12、非零解?XX22x30解：系数行列式为:31112112021046021112021008所以，当8时，该齐次线性方程组有非零解.X1X23x310.解线性方程组 3x1 x2 3x3 1 。x1 5x2 9x3011.解线性方程组2x5x23x3 2x4o5x1 8x2 5x3 4x43解：对增广矩阵施以初等行变换:113111311131A 3131046204 621590046100 03所以，原方程组无解。解：对增广矩阵施以初等行变换: 232125 35A95585430 -222 15 3111 -2221丄c 95,1201222与原方程组同解的方程组为:147Xi-X3X4999521X2X3X4999所以：方程组的一般解为147x1x3x4999X2529X39X4X3,X4是自由未知量；01212.设矩阵A 114 ,B21 023，解矩阵方程AXbt2 1 12365由于AX Bt.那么有X A 1Bt42 1159163 11367132 222解：Abt四应用题7某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的 数量如以下矩阵所示：甲乙丙丁5974方法一A7896方法二4