考研数学一真题及答案

1、2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。答案写在题中横线上）(1) 曲线y=x22x+1的斜渐近线方程为 。【答案】y=12x-14【解析】a=limxyx=limxx22x+1x=12b=limxy-ax=limxx22x+1-12x=limx-x2(2x+1)=-14所以斜渐近线方程为y=12x-14。综上所述，本题正确答案是y=12x-14。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2) 微分方程xy'+2y=xlnx满足y1=-19的解为 。【答案】y=13xlnx-19x【解析】原方程等价于y'+2yx=lnx所以

2、通解为y=e-2xdxlnxe2xdxdx+C=1x2x2lnx+C =13xlnx-19x+C1x2将y1=-19代入可得C=0综上所述，本题正确答案是y=13xlnx-19x。【考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(3) 设函数ux,y,z=1+x26+y212+z218,单位向量n=131,1,1，则un(1,2,3)= 。【答案】33。 【解析】因为 ux=x3,uy=y6,uz=z9所以un(1,2,3)=1313+1313+1313=33综上所述，本题正确答案是33。【考点】高等数学多元函数微分学方向导数和梯度(4) 设是由锥面z=x2+y2与半球面z=R2-x2-y2围成的空

3、间区域，是的整个边界的外侧，则 xdydz+ydzdx+zdxdy= 。【答案】2(1-22)R3。【解析】 xdydz+ydzdx+zdxdy= 3dxdydz=30R2d04sind02d=2(1-22)R3 综上所述，本题正确答案是2(1-22)R3。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(5) 设1,2,3均为三维列向量，记矩阵A=1,2,3,B=(1+2+3,1+22+43,1+32+93)如果A=1，那么B= 。【答案】2。【解析】【方法一】B=|1+2+3,1+22+43,1+32+93| =|1+2+3,2+33,2+53| =1+2+3,2+33,23

4、=21+2+3,2+33,3 =21+2+3,2,3=21,2,3=2A=2【方法二】由于B=1,2,3111123149= A111123149两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以B=A111123149=2A=2综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,X中任一个数，记为Y,则PY=2= 。【答案】1348。【解析】【方法一】先求出(X,Y)的概率分布，因为X是等可能的取1,2,3,4，故(X,Y)关于X的边缘分布必有PX=i=14,i=1,2,3,4,而Y只从1,2,X中

5、抽取，又是等可能抽取1,2,X的概率为14X所以PX=i,Y=j=0,j>i14i,ji 即：X Y1234114 00014 218 18 0014 3112 112 112 014 4116 116 116 116 14 所以PY=2=18+112+116=1348【方法二】PY=2=i=14PX=iPY=2|X=i =i=1414PY=2|X=i =14×0+12+13+14=1348综上所述，本题正确答案是1348。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。在每小题给出的

6、四个选项中，只有一项符合题目要求。）(7) 设函数fx=limnn1+|x|3n,则f(x)(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点【答案】C。【解析】由limnna1n+a2n+amn=1immaxai(ai>0)知fx=limnn1+|x|3n =max1,x3=1,|x|1x3,x>1由y=f(x)的表达式和其图像可知f(x)在x=±1处不可导，在其余点均可导。xy=-x31y=x3y综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(8) 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MN

7、"表示M的充分必要条件是N，则必有(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数(B) F(x)是奇函数 f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数(D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数【答案】A。【解析】【方法一】若F(x)是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”，反之，若f(x)为奇函数，则0xf(t)dt为偶函数，f(x)的任意一个原函数可表示为Fx=0xf(t)dt+C则Fx是偶函数，故应选A。【方法二】排除法：取fx=cosx+1,Fx=sinx+x+1，显然fx连续，F'x=f(x),且f(x)是偶函数，周期函数。但

8、Fx不是奇函数(F(0)0),也不是周期函数，排除B和C选项。若取fx=x,Fx=12x2,排除D，故应选A。综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学一元函数积分学原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数(9) 设函数ux,y=x,y+x-y+x-yx+y(t)dt,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A)2ux2=-2uy2 (B) 2ux2=2uy2(C) 2uxy=2uy2 (D) 2uxy= 2ux2【答案】B。【解析】ux='x+y+'x-y+(x+y)-(x-y), uy='x+y-'x-y+(x+y)+(x-y) 2ux2= &#

9、39;'x+y+''x-y+'(x+y)-'(x-y) 2uxy=''x+y-''x-y+'(x+y)+'(x-y) 2uy2=''x+y+''x-y+'(x+y)-'(x-y) 可见有2ux2=2uy2综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数的偏导数和全微分(10) 设有三元方程xy-zlny+ezx=1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)

10、(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)【答案】D。【解析】Fx,y,z=xy-zlny+ezx-1则 F'x=y+ezxz , F'y=x-zy,F'z=-lny+ezxx且F'x0,1,1=2, F'y0,1,1=-1,F'z0,1,1=0由此可确定的隐函数为x=x(y,z)和y=y(x,z)综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学多元函数微分学隐函数的求导法

11、(11) 设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1, A(1+2)线性无关的充分必要条件是(A) 10 (B) 20(C) 1=0 (D) 2=0【答案】B。【解析】【方法一】设k11+k2 A1+2=0即有k1+k211+k222=0 由于特征值不同特征向量线性无关，所以1,2线性无关，由可得k1+k21=0k22=01, A(1+2)线性无关k1=0k2=0(2)只有零解1102020【方法二】因为(1, A(1+2)=(1,11+22)= (1,2)1102那么1, A(1+2)线性无关r(1, A1+2=2由于1,2线性无关，则1, A(1+2)线性无关r1

12、102=220综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系(12) 设A为n(n2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换A*的第一列和第二列得B*(B) 交换A*的第一行和第二行得B*(C) 交换A*的第一列和第二列得-B*(D) 交换A*的第一行和第二行得-B*【答案】C。【解析】设A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B，所以有010100001A=B B-1=A-1010100001-1=A-1010100001从而B*|B|=A*|A|010100001又因为A=-|B|

13、,故A*010100001=B*即交换A*的第一列和第二列得-B*综上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数矩阵矩阵的初等变换(13) 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y0100.4a1b0.1已知随机事件X=0和X+Y=1相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=0.4【答案】B。【解析】由独立性可知PX=0，X+Y=1=PX=0PX+Y=1PX=0，X+Y=1=aPX=0=0.4+aPX+Y=1=a+b已知0.4+a+b+0.1=1a+b=0.5所以有0.50.4+a=aa=0.4 b=0.1综上所述

14、，本题正确答案是B。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性(14) 设X1,X2,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则(A)nX N(0,1) (B)nS22(n)(C)n-1XStn-1 (D)n-1X12i=2nXi2F1,n-1【答案】D。【解析】X1221, i=2nXi22n-1且X12与i=2nXi2相互独立，因此X12i=2nXi2/n-1=n-1X12i=2nXi2F1,n-1综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计数理统计的基本概念简单随

15、机样本，统计量，样本均值，2分布，t分布，F分布三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）(15) （本题满分11分）设D=(x,y)|x2+y22,x0,y0，1+x2+y2表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分D xy1+x2+y2dxdy【解析】令D1=x,y0x2+y21,x0,y0,D2=x,y1x2+y22,x0,y0则D xy1+x2+y2dxdy=D1 xydxdy+D2 2xydxdy =02sincosd01r3dr+202sincosd042r3dr =14+18=38【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性

16、质、计算和应用(16) （本题满分12分）求幂级数n=1-1n-1(1+1n(2n-1)x2n的收敛区间与和函数f(x)【解析】因为limnn+12n+1+1(n+1)(2n+1)n2n-1n2n-1+1=1所以当x2<1时，原级数绝对收敛，当x2>1时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1,1)记Sx=n=1-1n-112n(2n-1)x2n,x(-1,1)则S'x=n=1-1n-11(2n-1)x2n-1,x(-1,1)S''x=n=1-1n-1x2n-2=11+x2,x(-1,1) 由于S0=0,S'0=0所以S'x=

17、0xS''tdt=0x11+t2dt=arctanxSx=0xS'tdt=0xarctanxdt=xarctanx-12ln(1+x2) 又n=1-1n-1x2n=x21+x2,x(-1,1)从而fx=2Sx+x21+x2=2xarctanx-ln1+x2+x21+x2,x(-1,1)【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(17) （本题满分11分）如图曲线C的方程为y=fx,点(3,2)是它的一个拐点，直线L1与L2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点

18、(2,4)设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分03(x2+x)f'''(x)dx【解析】由点(3,2)是曲线fx的拐点知f''3=0。由于直线L1与L2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，由图易得，直线L1与L2的斜率分别为2和-2知，f'0=2,f'3=-2且由图易得f0=0,f3=2则03x2+xf'''xdx=03x2+xdf''x =(x2+x)f''(x)03-03(2x+1)f''(x)dx =-032x+1df'x=-2x+1f

19、'x03+203f'xdx =-7-2-2+2fx03=16+22-0=20【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18) （本题满分12分）已知函数f(x)在0,1连续，在(0,1)内可导，且f0=0,f1=1证明：(I) 存在(0,1)，使得f=1-；(II) 存在两个不同的点,(0,1),使得f'f'=1【解析】(I) 令Fx=fx-1+x,x0,1,由题设知，F(x)在0,1上连续，又F0=f0-1=-1<0,F1=f1=1>0由连续函数的零点定理知，存在(0,1)，使得F=0即 f=1

20、-(II) 在区间0,和,1上分别对f(x)用拉格朗日中值定理得f-f(0)=f' (0,)f1-f()1-=f' (,1)此时，f'f'=f-f(0)f1-f1-=f1-1-f=1【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(19) （本题满分12分）设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分L ydx+2xydy2x2+y4的值恒为同一常数(I) 证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C有C ydx+2xydy2x2+y4=0；(II) 求函数(y)的表达式。【解析】(I) 如图，将C分解成：C=l1+l2,另作

21、一条曲线l3围绕原点且与C相连，则C ydx+2xydy2x2+y4=l1+l3 ydx+2xydy2x2+y4-l2+l3 ydx+2xydy2x2+y4=0 (II) 设P=y2x2+y4,Q=2xy2x2+y4,P,Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数，由（I）知，曲线积分L ydx+2xydy2x2+y4在该区域内与路径无关，故当x>0时，总有Qx=Py而Qx=2y2x2+y4-4x2xy2x2+y42=-4x2y+2y52x2+y42 Py='y(2x2+y4)-4y3y2x2+y42=2x2'y+y4'y-4y3y2x2+y42 比较，式的右

22、端得：'y=-2yy4'y-4y3y=2y5可得 y=-y2【考点】高等数学多元函数积分学平面曲线积分与路径无关的条件(20) 已知二次型fx1,x2,x3=1-ax12+1-ax22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2(I) 求a的值；(II) 求正交变换x=Qy,将fx1,x2,x3化为标准形；(III) 求方程fx1,x2,x3=0的解【解析】(I) 二次型矩阵A=1-a1+a01+a1-a0002，由于二次型的秩为2，即rA=2,所以有A=21-a1+a1+a1-a=-8a=0得a=0(II) 当a=0时，由E-A=-1-10-1-1000-2=(-2)2=0得矩阵

23、A的特征值是2,2,0。对于=2，由2E-Ax=0,1-10-1100001-10000000得特征向量1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T对=0，由0E-Ax=0,-1-10-1-1000-2110001000得特征向量3=(1,-1,0)T由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有r1=12(1,1,0)T,r2=(0,0,1)T,r3=12(1,-1,0)T 令Q=r1,r2,r3=12012120-12010,那么经过正交变换x=Qy,有fx1,x2,x3=2y12+2y22，(III) 【方法一】由（II）知，在正交变换x=Qy下，fx1,x2,x3=0化为2y12+2y22

24、=0，解得y1=0，y2=0，y3=t(t为任意实数)，从而x=Q00t=r1,r2,r300t=tr3=t(1,-1,0)T即方程fx1,x2,x3=0的解是k(1,-1,0)T,k为任意常数。【方法二】由于fx1,x2,x3=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0所以x1+x2=0x3=0其通解为x=k(1,-1,0)T,其中k为任意常数。【考点】线性代数二次型用正交变换和配方法化二次型为标准形(21) （本题满分9分）已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c)不全为零，矩阵B=12324636k(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。【解析】由AB=0，知rA+rB3,又A0,B0,故1rA2,1rB2当k9时，必有rB=2，此时rA=1由于n-rA=3-1=2,又因为AB=0，B的列向量是Ax=0的解。故Ax=0的通解为：k11,2,3T+k2(3,6,k)T, k1,k2是任意常数；当k=9时，则rB=1。此时rA=1或2。若rA=2，则n-rA=1。Ax=0的通解为k1,2,3T；若rA=1，则Ax=0与ax+by+cz=0同解，由n-rA=2，设a0,那么Ax=0的通解为k1-b,a,0T+k2(-c,0,a)T, k1,k2是任意常数【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，齐次线性方程