吉林大学考研数学分析高等代数

1、吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷、共30分判断题21假设函数f x在a, b上Riemann可积，贝U f x 在a,b也Riemann可积;2、 假设级数an收敛，那么级数 an也收敛；n 1n 13、任何单调数列必有极限；n4、 数列 1的上、下极限都存在；5、区间a,b上的连续函数必能到达最小值；6、sin x在整个实轴上是一致连续的；7、 假设函数f x, y沿着任何过原点的直线连续，那么f x,y在0,0连续；假设函数f x在点x取极小值，那么f冷9、假设 f x00 , fxd0 ,那么f X在点x取极大值;210、向量场 x2 2y ,y2 2z ,z2

2、x是无源场。二、共20分填空题1、设sin x y，贝U grad u2、设x y, y3、设x yz,yzx, zxy ,贝 y rot F4、设s表示单位球面2 2 2x y z 1，那么第一型曲面积分x2dssn2 15、数列 1 n厂 的下极限为；n三、共20分计算以下极限1n1、nim2006 ；k 1 k2、1 3x ；3、1lim n n 20061n 20074、1n.1 xlim2n 01 x xdx。四、共20分判断以下级数的敛散性1、n2006n；1 2007n 2005n ；2、nUn，其中U 0罟k,n1,2,L五、10分设函数f x在0,1两次连续可微，满足 f 0

3、x dx 0 。证明：存在 0,1使得f0。六、10分计算第二型曲线积分3x3x2 4y2dx4y3x2 4y2dy其中C为单位圆周x2 y21,方向为顺时针方向。七、10分证明，对任意x 0,都有3x sin x x6八、10分设，,a,b均为常数，且对任意 x都有x sin x ax b证明：a b 0九、10分证明，不存在 0,上的正的可微函数 f x，满足f x f x 0十、10分试构造区间 0,1上的函数序列 fn x ，具有如下性质:1对每个n， fn x是0,1上的正的连续函数;2对每个固定的x 0,1 , lim fn x 0 ；3 limfn x dxn 0 n高等代数与空

4、间解析几何卷-、共32分填空1、平面上的四个点,yi i 1,2,3,4在同一个圆上的充要条件为。要求用含有x，yi的等式表示；2、设方阵A只与自己相似，贝y A必为a1biC13、设Aa2b2c2为可逆矩阵，那么直线Xyz与直线a?b 1b?c?a3bsC3xyz的位置关系为。要求填写相交、平行、重合、异面四者a2a3b2b3C2C3之一；4、设A1 ,2 ,3,4为四阶正方矩阵，其中1,2,3,4均为四维列向量；12 24，123 3，且 2 ,3,4线性无关。求线性方程组 AX的通解 ? ， 2 2 2二、16分求二次曲面 2x y z 4xz 2x 4y 6z 120的主方向;三、17

5、分设V为n维欧式空间，5,氏丄,Un与V1,V2丄,Vn为V中向量，5,上丄，山线 性无关，且对任意的i,j i, j 1,2,L ,n均有55 vy。证明，必有V上的正交变换 使得UiVi i 1,2,L ,n四、17分设V为数域 上的n维向量空间， ，均为V上的线性变换，且满足0。证明：五、17分设A为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B，使得A B为正定矩阵。六、17分设V为数域 上的2n维向量空间，为V上的线性变换，且Ker证明，存在V的一个适当基底及 Jordan形矩阵A，使得在该基底下恰好对应矩阵A。七、17分设V为实数域上的全体 n阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间， 的线性变换，且对任意的 A， A At。1、求的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明V恰为 的所有特征子空间的直接和。