一个极限定理的证明及应用

1、一个极限定理的证明及应用燕7卷第2期川东学刊(自然科学版)EastSichuauJournal(NaturalSdenceEdition)1997年4月一一个极限定理的证明及应用袁南桥n【摘要1本文证明一个极限定理,同时介绍它在求一类特殊和武或积武中的应用.【关键调1等价无穷小量极限!坚敢苗6笏薯我们知道,在截积分学里曾提到等价无穷小量的概念,并指出着当z一时,有口),(z)岛),且爰存在,那么爱碧一.刺用这一蛄墨,印用等价无穷小量来代替以计算辊限的方法,称为代替法伽?基于这一思想观念,本文指出,利用等价无穷小量,还可用来求一茭特殊和式的极限同意.同时t利用对敷函数的性质,又能够用来解决一些积

2、式的辊限问题.于是有下面的定理.定理设,),g()>0是当z(=l,2,3.,)当n一时,一0,且F()存在t那么,()=timg()?证明Ve>0,存在a>o,使当o<ixi<对,恒有i骞一11<E,即(1一c)g()<,()<(1-+-Og(z)?又z.0.且一O(n一.,=1.2.?.n).于是存在正整数N(O.使当>N对,恒有0<ll<(=l.2,).于是一(1一e)g()一<,(<(1-4-e)g(再?)>Ntl,2.,).将此个不等式相加,得(1一)g()<f(zs)<(1-+-e)g(

3、)>)坪.?于是1一c<,(以.)g(zh)<1-+-c(n>N)._,()lim!一=Ig(zh).l由条件蚤F()存在t故故,()=一lim.I,(.)(而.);一|iA-I一llrag.g().证毕.(1)limx.=一limllimx.南+南南(1)一+l(2)!imx.=si1+si2+/-sinj(3)limx?(1一cos,_(4)毛苫(1+-1)?-.,客南jJ壹-I南寺?E(x)(.x-o)?聋南=者毒=坚.:了1lim型-_善曼苎j_.:o.D-,n(2)令,()=sinx,取()=.脚当0时.,)譬).h=llmh=一丢.(3)令,()=1一cos

4、z.那么,(z)萼(o)于毫一lira._a.(1一c.sh)吉苫()o?,(4)令,)=/币一1,11.1f(x)号(当X-0>子是.客c?+=吉客嘉一,.侧2试证明,苫t等善(一1)=一lira.In(1+争.一.tg(?1)In(1+z).ka口?备一_倒3设,)在0,1-1上有界,可积-证明.荟J-1r-l-f(k)11f(z)dx.(北京大学1983年硕士研究生入学试题)?.证因当z一0时tIn(1+z)z,令z,(詈)寺故由定理知m-1In(+,(告)一荟J-1,(告)音一,)如证毕.倒t求以下极限(一lira(1+)(1).?(1+),(北京大学林源槊等编数学扮析习题集33

5、)Ic.,嚣;(张莫宙等译渡利亚等着分析中的问题与定理P61),一llmeo一号sHH飒H(游兆永编高等数学的解题方法和技巧(1)尸102)I+l.T(4)t曼-m寺c,?(王英新等译大学生奥林匹克数学竞赛试题解答集)P6).解(1)令=(1革器)(1+善).?(1+景).1n,y=客n(1+).由于一lira.1n(1+k)蟠嘉百1所以llm,一【即一lira(1+)(1+)(1+)=/.c.,直=量PJIn,h(1+)ll+kk于是1im+_ln(1+k嘉=吉?c-一嘉,一客c一嘉,一号所以一吉二(一号)=l,即()=c.3.旦争n立鹫l,一1一(3)设y一声c0s:.当n足够大时,oc=!>0.这时.Iny=Incos下ha=一告In(1+=)注意到!jm掣=l,于是-.limln一号善c考虑d2cos一1(4)Cll2345j翱(J-i=一等口一一一土一l=+南+z+薹ci十干1十十i一1)一的洼蒯杰41+誊x一百ID一一扣llm妻嘉=一墨4.参考文献王寿生等编艰积分解题方法与技巧,西北工太出版社tP24.林源渠等缩数学分折习题集,北京大学出版社,P33.张莫宙等译波