吉林省长春市届高三第四次调研测试数学理试题

1、2022年长春市高中毕业班第四次调研测试数 学(理科)命题人：长春市教育局教研室于海洋本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两局部，总分值150分考试时间为120分钟，其 中第n卷22题-24题为选考题，其它题为必考题 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考前须知：1. 答题前，考生必须将自己的、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹 清楚3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、

2、刮纸刀1.2.第I卷选择题，共60分、选择题本大题包括 12小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上设集合A x xA. 1,2,4,8,16(1关于复数z2n,0 n 4,n Z, B xx 2n,n Z，那么 AC B 为B. 1,2,4,8C. 2, 4,8D. 2, 4i )2丄，以下说法中正确的选项是3.1 i在复平面内复数z对应的点在第一象限复数z的共轭复数z 1 i假设复数乙 z b (b R)为纯虚数，那么b 1设a,b为复数z的实部和虚部，那么点(a,b)在以原点为圆心，半径为 定是偶函数的是B. y sinxcosx

3、 C. yA.B.C.D.以下函数A. y cos(sin x)1的圆上4.等比数列an的前n项和为Sn，且满足£17，那么公比q =S41A. 一2B.5.C. 2D.执行如下列图程序框图，输出的A. 11C. 15丄22x值为B. 13D. 46.二项式(3 xA. 525=)的展开式中常数项为、xB. 10是符C. 20D. 407.设函数f(x)|si n(2x )|，那么以下关于函数f(x)的说法中正确的选项是3A. f (x)是偶函数B. f (x)最小正周期为n12.空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3,每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切

4、，那么这个小球的半径为7654A.B.C.D.111111118.C. f (x)图象关于点(：，0)对称D.6某几何体的三视图如下列图，那么这个几何体的体积为20A. 4B.326C.D. 83f (x)在区间£上是增函数9.如图，平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中OA与OB的夹角为120 ，OA与OC的夹角3为 30 ，且 |OA| 2, |OB| , |OC| 2朋，4,283A.B.J322,434C.D.32 ,3假设数列an满足规a2a3.a2n 1abn .，那么称数列10.弦数列的排法种数为假设 OC OA OB( ,R)，贝yan为余弦数列，现将1,2,

5、3,4,5排列成一个余11.A. 12B. 1422xy双曲线2 1 (aab2一象限三等分，那么双曲线笃aC. 160,b0)以及双曲线2 2yx2,2abb21的离心率为B. ,6 或 2 3C. 2 或 i 3D. 181 (a 0,b0)的渐近线将第D. 、3 或, 6第口卷非选择题，共90分本卷包括必考题和选考题两局部，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题包括4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).y > 013. 设x, y满足约束条件 萨X，假设目标函数3x y的最大值为6，那么

6、a .x+2 y a * 014. 函数y JT的图像和其在点(1,1)处的切线与X轴所围成区域的面积为 .15. 给出以下5种说法：在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；标准差越小，样本数据的波动也越小；回归分析就是研究两个相关事件的独立性；在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好其中说法正确的选项是 请将正确说法的序号写在横线上16. 函数f (x) (x R)满足f1 , f (x) 1，那么不等式f(x2)-的解集为.2 2 2三、解答题本大题包括 6小题，共70分

7、，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 本小题总分值12分数列an满足 an 2am n 2n (n N*,n > 2)，且 q 2.(1)求数列an的通项公式；a(2) 令 bn亠，当数列bnn为递增数列时，求正实数的取值范围18. 本小题总分值12分为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：咼茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650(1)现采用分层抽样的方法，从这个样本中取出10株玉米，再从这10株玉米中随机n(ad be)K2选出3株，求选到的3株之中

8、既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；P(K2> k)k2(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能50的前提下 认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考：P，其中nab (a b)(e d)(a e)(b d)19. 本小题总分值12分如图，平面四边形 ABCD的4个顶点都在球 0的外表上, AB为球0的直径，P为球面上一点，且 P0 平面ABCD , BC CD DA 2，点 M 为 PA 的中点.(1)证明：平面PBC /平面ODM ；(2)求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.20. 本小题总分值12分e -，点P为椭圆上的22 2Fi、F2是椭圆$ 占1

9、 (a b 0)的左、右焦点，且离心率a b一个动点，pf,f2的内切圆面积的最大值为3(1)求椭圆的方程；(2)假设A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点，满足向量 且Ac Bd 0,求| aC| |bd |的取值范围.21.本小题总分值12分函数FiA与FC共线，FiB与FQ共线,(1)当 a2f (x) ax In(x 1).1，时，求函数4f (x)的单调区间;(2)当 x0,)时，函数y f (x)图象上的点都在x > 0y x< 0所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.求证：(12n)口 (2n1 1)(2n 1) e，(其中n N* , e是自然对数的底). )(1

10、2 33 5请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分22.本小题总分值10分选修4 1:几何证明选讲. 如图，PA是GO的切线， 的直径，PC与00相交于(1)求证： PAD CDEPE过圆心O , AC为GOB、C两点，连结AB、CD .2PA BD;(2)求证：PC PE AD23.本小题总分值10分选修4 - 4:坐标系与参数方程选讲在极坐标系内，曲线 C1的方程为 2 2 (cos2sin方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线)40,以极点为原点，极轴C2的参数方程为5x 1 4t5y 18 3tt为参数(1) 求曲线G的直角

11、坐标方程以及曲线 C2的普通方程；(2) 设点P为曲线C2上的动点，过点 P作曲线G的两条切线，求这两条切线所成角余弦值 的取值范围24.本小题总分值10分选修4 5:不等式选讲.设函数 f(x) |x 3| |x 1| , x R .(1) 解不等式f (x)1 ;(2) 设函数g(x) |x a| 4 , g(x) < f (x)在x 2,2上恒成立，求实数a的取值范围题号123456789101112答案CCADBDDBCCAB、选择题(本大题包括12小题，每题5分，共60分)2022年长春市高中毕业班第四次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准简答与提示：1. 【命题意图】本小题

12、通过集合的性质与运算考查学生对集合问题的理解，此题属于基此题【试题解析】C 由题可知A 2,4,8 , B 偶数，因此 AP1B 2,4,8，应选C.2. 【命题意图】本小题通过复数的运算与性质考查学生的运算求解能力，此题将复数的考点考 查的比拟全面，是一道复数的综合题，属于基此题【试题解析】C 由题可知z色 1 i，假设z b (b R)为纯虚数，那么1 i 1 ib 1，应选C.3. 【命题意图】本小题通过三角函数考查复合函数的奇偶性，对学生的函数局部的根底知识加以考查，并且要求学生有一定的数形结合的想象能力.本小题是一道侧重考查数学概念的基此题.【试题解析】A由偶函数定义可知，函数y c

13、os(sinx)中，x的定义域关于原点对称且 cos(sin( x) cos(sin x)，应选 A.4. 【命题意图】本小题通过等比数列的求和考查学生的运算求解能力，要求学生全面的地把握 此题，通过设置漏洞，以让学生理解等比数列求和的易错点，本小题是一道侧重考查数学基 本公式应用的基此题.1 q8衿1 q4 17 ，得6(1 q8)【试题解析】D 由题可知q 1，那么$1 q4S46(1 q4)1 q q416，因此q 2，应选D.5. 【命题意图】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并 且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基此题【试题解析】B 由程序框图可知

14、：x02，X13，X25，x36，x47，X5 9， x6 10， X7 11， xs 13而后输出x值为13，应选B.6. 【命题意图】本小题通过二项展开式考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，本小题是一 道基此题.【试题解析】D 由题可知，展开式中的常数项为C；(仮)3(令)2 40，应选D.7. 【命题意图】本小题通过三角函数图像考查学生的运算求解能力与数形结合思想，本小题是 一道基此题.【试题解析】D 由三角函数的性质可知：f(x) |sin(2x) |的单调区间3 kkk 2x k，贝Ux(k Z)，当 k 1 时，3226212x ,-，应选 D.3 128. 【命题意图】本小题通

15、过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力，是一道中档难度 的试题.【试题解析】B 由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，11120那么 V V, V22 2 42 2 2 ，应选 B.33 239. 【命题意图】本小题通过平面向量考查学生的运算求解能力，同时也考查学生的数形结合思 想，是一道中档难度的试题.【试题解析】C 设与OA,OB同方向的单位向量分别为a, b，依题意有 亠 3 I- 4 4OC 4a 2b，又 OA 2a , OB b，那么 OC 2OA -OB，所以 2, 应选 C.2 3310. 【命题意图】本小题通过排列组合考查学生的逻辑推理能力，另外本小题还考

16、查学生建立数 学模型解决实际数学问题的思想，是一道中档难度的试题32【试题解析】C 将3,4,5排在中间和两侧，再用 1,2插两缝共AsA， 12种；将2,4,5排列，那么结果必为 21435 ； 将2,5,4排列，那么结果必为 21534 ； 将4,5,2排列，那么结果必为 43512 ； 将5,4,2排列，那么结果必为 53412.应选C.11. 【命题意图】本小题通过双曲线考查学生的推理论证能力与运算求解能力，进而考查学生化 归与转化的数学思想，是一道中档难度的试题.【试题解析】A 由题可知，双曲线渐近线的倾角为30或60，那么k - '、3或a2或写，应选A.12. 【命题意图

17、】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力，着重考 查几何体中点线面的关系问题，是一道较难的试题.【试题解析】B 由题意可知， A, A?为半径为2的球的球心，B|, B?为半径为3的球的球心，那么A|A2 4，BB2 6，取AA?的中点C，B1B2的中点D，那么DC 2 3，设小球半径为r ,那么OC , (r 2)2 4，,(r 3)2 9 、(r 3)2 9 2、3，解得 r -.11应选B.二、填空题(本大题包括4小题，每题5分，共20分)16. x (, 1)U(1,)113. 214.15.3简答与提示：13.【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解

18、能力，是一道基此题可以 域最右侧【试题解析】由题意可知，z 3x y取最大值6时，直线y 3x 6过点(2,0)，那么点(2,0)必在线性规划区域内，且 使一条斜率为3的直线经过该点时取最大值，因此点(2,0)为区的点，故直线x+2y a = 0必经过点(2,0)，14. 【命题意图】本小题通过积分问题考查学生的运算求解能力，着重考查积分在曲边图形面积 求取上的应用，是一道中档难度试题.【试题解析】由1即切线方程为y 1 (x 1)，211 2 即为y x ，将y x改写成x y ，2 211将y x 改写成x 12 y221213211因此 S 0(1 2y) ( y2)dy (-y3 y2

19、 y) |0 - 1 13 315. 【命题意图】本小题通过统计学根本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的 综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，的说法正确16. 【命题意图】本小题以导数与函数图像的根本关系为载体，考查数形结合的数学思想，是一 道较难综合试题【试题解析】利用换元法，将x2换元成t，那么原式化为f(t) 21，2 2当 t 1 时，f (t)1，可知当t 1时，f(t)t且_2丄211，又由f (t)2丄2当 t 1 时，f(t)t 1故f (t)的解集为t2 2三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选17.(本小题总分值12分)即x21，因此x1小题，共,

20、1)U(1,).70分)【命题意图】 本小题主要通过递推数列通项公式的求取， 推理能力，对考生化归与转化的数学思想提出较高要求a【试题解析】 解： 由an 2an 1 n 2n，可知 V2考查对考生的运算求解能力、逻辑 .此题属于根底试题，an 1尹难度相对较低由数列的递推可知:an2nan 1an 12* 1an 2a2尹因此a_21On2n由bna.21an(n 2)(n 1)，那么 an (n2 n)2n1(6分)假设数列1可得bn2anbnn为递增数列，那么6 1 (n 1) bnn(n 1)0，即卩2.12 分当n 1时，bn i n 1 bnn取最小值为 2 ，那么218.本小题总

21、分值12分【命题意图】 本小题通过统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望 的求法和统计案例中独立性检验等知识内容，考查学生对数据处理的能力，对考生的运算求 解能力、推理论证能力都有较高要求此题属于统计概率局部综合题，对考生的统计学的知识考查比拟全面，是一道的统计学知识应用的根底试题.【试题解析】 解：1现采用分层抽样的方法，从样本中取出的10株玉米中圆粒的有 6株,皱粒的有4株，所以从中再次选出3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为c6c2 c2c1G302根据列联表:咼茎矮茎合计圆粒pF1930皱粒13720合计242650(6分)所以 k250 (11 7 13 19)23.

22、8603.841 .30 20 24 26又pK2 > 3.8410.050，因此能50的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关12 分19.本小题总分值12分【命题意图】 本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的 平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力， 对学生的数形结合思想的考查也有涉及，此题是一道立体几何局部的综合题，属于中档难度 试题.AB为圆O直径【试题解析】1证明:bc cd daBC CD DA 2且 AB | CD ,那么CD平行且等于BO，即四边形OBCD为平行四边形，所以 BC/OD.AO BOAM P

23、MOM / PB OD / 平面 PBC十=十=十十平面ODM /平面PBCOM / 平面 PBCBC / OD2以O为原点,6分BA方向为x轴，以平面 ABCD内过O点且垂直于 AB方向为y轴OP方向为z轴，建立如下列图坐标系.那么 P(0,0, 2) , B( 2,0,0) , A(2,0,0),Cj30) , D(1,_3,0) ,_由 PB ( 2,0, 2), BC (1,3,0),可知 n C'3,1,、3)由 PA (2,0, 2), AD ( 1,、3,0),可知 n2(、,3, 1, .3)口 |亦亦1 ( 1)(亦)亦|1那么cosV3 1 3 V3 1 37z因此

24、平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为 丄.720.本小题总分值12分【命题意图】 本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识，提示考生对圆锥曲线的综 合题加以重视，此题主要考查考生的推理论证能力，运算求解能力、化归与转化以及数形结 合的数学思想【试题解析】1由几何性质可知：当1取最大值，且S prF2 max -PFi F2内切圆面积取最大值时,PF1F22c b bc.由r2厶33PF1F22a2c为疋值，S PF1 f2PRF2，综上得一2a, c又由e a经计算得c2c1故椭圆方程为,可得a 2c

25、，即b22，2x16b 2 .3，a 4，2仏1.122当直线.3c，(5分)AC与BD中有一条直线垂直于 x轴时，| AC | |BD| 6当直线AC斜率存在但不为0时，设AC的方程为：yk(x 2)，由去 y 可得(3 4k2)x2 16k2x 16k2 480,代入弦长公式得:|AC|8 14.k(x2y12J)y2x16224(k22)消13 4k2y同理由 2x161(x 2) k2y12消去y可得314)x2 16丄 xk2k216厶 48k2代入弦长公式得:所以| AC |24(k21)2 ，3k 42 2|BD|168(2k1) 2(3 4k2 )(4 3k2)|BD |由可知

26、,168 1 112 2 2 k21 (k21)2249(0,1)，那么 t t 12(12,，所以 | AC | |BD|496| AC| |BD|的取值范围是,14.谭,14，(12 分)21. 本小题总分值12分【命题意图】本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的单 调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其中重点对导数对函数的描述 进行考查，此题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型 例题，对今后此类问题的求解有很好的导向作用那么当X0,)时，不等式f (X) X恒成立，即ax2ln(x设 g(x)2 axln(x1)

27、 X(X 0),只需 g(x)max0即可.由 g (X)2ax11 x2ax (2 a 1)X 1x 11) x 0恒成立，、【试题解析】解：(1)1f(X) 2X1X 1由f(X)0解得11a 时，f (X)4(X 2)(X1)-X2 In (x 1)(X41),2(x1，由故函数f (X)的单调递增区间为(1)f (x)1,1),(X1),0解得X 1 .单调递减区间为(1,).(4分)因函数f(x)图象上的点都在0,X所表示的平面区域内,0(i) 当 a 0 时，g (x)x 1当x 0时，g (X)0 ,函数g(x)在(0,)上单调递减，故g(x) g (0)0成立.(ii) 当 a

28、 0 时，由 g(x) X2aX (2a 1)0,因 x 0,)，所以 x 11 ,x 12a11假设 10,即a 时，在区间(0,)上，g (X)0 ,2a2那么函数g(x)在(0,)上单调递增，g(x)在0,)上无最大值，当xg(x)，此时不满足条件；111 假设一 10，即0 a 时，函数g(x)在(0, 1)上单调递减，2a22a1在区间(1,)上单调递增，同样g(x)在0,)上无最大值，当x 时，2ag(x)，不满足条件.(iii) 当 a 0时，由 g (x) X2aX (2a1)，: x 0,),二 2ax (2a 1) 0,x 1 g (x)0 ,故函数g(x)在0,)上单调递减，故 g(x) g(0)0成立.综上所述，实数 a的取值范围是(,0 .(8分)(3)据(2)知当a (或另证ln(x 1)2nn 1又(2因此In(11)(2n 1)223)(1ln(122 32“12“1 (1 22爲43 51 1o) (o3312n3)(1ln(10 时，ln (x 1)x在区间(0,12(厂345)ln(18 5 911)(55(2n