2007年数学四考研试题和答案

1、 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：2007 年入学数学四试题一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.，只有一项符（1）当 x 0+ 时，与 x 等价的无穷小量是1+ x（A）1- ex（C） 1+x -1（D）1- cos（B） lnx1-x（2）设函数 f (x) 在 x = 0 处连续，下列命题错误的是：f (x) + f (-x)f (x)，则 f (0) = 0，则 f (0) = 0（A）若lim（B）若lim.xf (x)xf (x) - f (-x)x0x0，则 f (0) = 0，则

2、 f (0) = 0 .（B）若lim（D）若limxxx0x0f (x) 在区间-3, -2,2, 3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半（3）如图，连续函数 y = x圆周，在区间 -2, 0 , 0, 2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 F (x) =f (t)dt ，0则下列结论正确的是：35（A） F (3) = -F (-2)4（C） F (3) =F (2)4（4）设函数 f (x, y) 连续，则二次F (3) =F (2)4(B)35（D） F (3) = -F (-2)41pdxf (x, y)dy 等于psin x2pp11dyf (x, y)dxdyf (

3、x, y)dx（A）（B）p +arcsin yp -arcsin y00p +arcsin yp -arcsin y11（C） dyf (x, y)dx（D） dyf (x, y)dxpp0022（5）设某商品的需求函数为Q = 160 - 2P ，其中Q, P 分别表示需要量和价格，如果该商0 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C) 30.(D)40.（6）曲线 y = 1 + ln (1+ ex )的渐近线的条数为x（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.（7）设向量组a1 ,a2 ,a3 线性无关，则下列向量组

4、线性相关的是线性相关，则(A) a1 -a2 ,a2 -a3 ,a3 -a1(C) a1 - 2a2 ,a2 - 2a3 ,a3 - 2a1 .a1 + a2 ,a2 + a3 ,a3 + a1(B)a1 + 2a2 ,a2 + 2a3 ,a3 + 2a1 .0(D)-1 2-1-1 12010（8）设矩阵 A = -1-1, B = 00 ，则 A 与 B -12 00 (A) 合同且相似（B）合同，但不相似.(D) 既不合同也不相似(C) 不合同，但相似.重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0 p 1) ，则此人第 4（9）向同一目标次射击恰好第 2 次（A） 3 p(1- p)2 .

5、目标的概率为（B） 6 p(1- p)2 .（C）3 p2 (1- p)2 .（D）6 p2 (1- p)2量( X ,Y ) 服从二维正态分布，且 X 与Y 不相关，fX (x), fY ( y) 分别表示（10）设随X ,Y 的概率密度，则在Y = y 的条件下， X 的条件概率密度 fX |Y (x | y) 为(A) fX (x) .(B) fY ( y) .f X (x) .(C) f (x) f( y) .(D)XYf ( y)Y二、填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把填在题中横线上.+ cos x) =.lim（11）2 + xx+1. （12）设函数 y

6、=，则 y(n) (0) =.2x + 3f y , x ，则 x z - y z（13） 设 f (u, v) 是二元可微函数， z = x y .xy1 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：1 y 3dyy（14）微分方程=-x=1 = 1的特y =.满足 yx2 x 0 0100001000 0 （15）设矩阵 A = ，则 A3 的秩为. 01 00 12（ 16 ） 在区间 (0,1) 中随机地取两个数， 则这两个数之差的绝对值小于为.的概率三、解答题：1724 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分 10 分)设函数 y = y(

7、x) 由方程 y ln y - x + y = 0 确定，试凹凸性.（18） (本题满分 11 分)曲线 y = y(x) 在点(1,1) 附近的x2 ,| x | + | y | 11 | x | + | y | 2f (x, y) = 1Df (x, y)ds设二元函数,，计算二重，x2 + y2其中 D = ( x, y ) | x | + | y | 2.（19） (本题满分 11 分)f (x), g(x) 在a, b 上连续，在(a, b) 内具有设函数导数且相等的最大值，f (a) = g(a), f (b) = g(b) ，证明：x (a, b) ，使得 f (x ) = g

8、(x ) .（20） (本题满分 10 分)()x设函数 f (x) 具有连续的一阶导数，且满足 f (x) =x - tf (t)dt + x ，求 f (x)的表达式.（21） (本题满分 11 分)2220x2 + x3 = 0设线性方程组 x + 2x + ax = 0与方程2x + x = a -1 有公共解，求 a 的值及12323x+ 4x + a2 x = 0 123所有公共解.（22） (本题满分 11 分)设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 l = 1, l = 2, l = -2 ， a = (1, -1,1)T 是 A 的属于1231l 的一个特征向量，记 B = A5

9、- 4A3 + E ，其中 E 为 3 阶矩阵.12 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：（I） 验证a1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（II） 求矩阵 B .（23） (本题满分 11 分)设二维随量( X ,Y ) 的概率密度为f (x, y) = 2 - x - y,0 x 1, 0 y 2Y ；求 Z = X +Y 的概率密度.(II)3 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：1【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.1 (x )2 = 1 x ，12【详解】当 x 0+ 时，1- ex- x ， 1+x -1x ，1-

10、 cos22故用排除法可得正确选项为（B）.ln 1+ x 111+m ln(1+1-1事实上， lim 1x 2 x= 1，0+xx0+xx0+1+- ln(1-x) = x + o(x) +x + o( x ) =x + o( x )或lnx .1-x（B）所以【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见数学复习指南（类）第一篇【例 1.54】 【例 1.55】.2.【. 分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 f (x) 去进行判断，然后选择正确选项.f

11、(x) - f (-x) = 0 ，但【详解】取 f (x) =| x |，则limf (x) 在 x = 0 不可导，故选（D）.xx0事实上， 在(A),(B)两f (0) = 0 .，因为分母的极限为 0，所以的极限也必须为 0，则可推得f (x) - f (0) = lim f (x) = 0 ，f (x)f (0) = 0, f (0) = lim在（C）中，lim，则x - 0xxx0所以(C)项正确，故选(D)x0x0【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到完全类似例题见题数学二第一套（2）.强化班笔记高等数学第 2

12、讲【例 2】，07模拟试3【分析】本题实质上是求分段函数的定.【详解】利用定的几何意义，可得 1 211311F (3) =p12 -p =p ， F (2) =p 22 =p ，22 2 82211-202F (-2) =f (x)dx = -f (x)dx =f (x)dx =p1=p .222-20033F (3) =F (2) =F (-2) ，故选（C）.所以444 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：【评注】本题属基本题型. 本题利用定的几何意义比较简便.类似例题见强化班笔记高等数学第 5 讲【例 17】和【例 18】，数学复习指南（类）第一篇【例 3.38】【例 3.40

13、】.4.【分析】本题更换二次的二次.的次序，先根据二次确定区域，然后写出新p【详解】由题设可知， x p , sin x y 1，则0 y 1,p - arcsin y x p ，2故（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.强化班笔记高等数学第 10 讲【例 5】，数学复习指南完全类似例题见（类）第一篇【例 7.5】，【例 7.6】.5.【分析】本题考查需求弹性的概念.【详解】选（D）.-2PdQ P= 1 P = 40 ，商品需求弹性的绝对值等于160 - 2PdPQ故选（D）.【评注】需掌握中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见数学复习指南（类）第一篇【例 11.2】.6【分析】利

14、用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后.【详解】 lim y = lim 1 + ln (1+ ex ) = +, lim y = lim 1 + ln (1+ ex ) = 0 ，+x+ xx-x- x所以 y = 0 是曲线的水平渐近线；lim y = lim 1 + ln (1+ ex ) = ，所以 x = 0 是曲线的垂直渐近线；x0x0 xx+ ln (1 ex y= 0 + lim= lim= 1，limlimxx1+x+x+x+ ln (1+ ex ) - x = 0 ，所以 y = x 是曲线的斜渐近线.b = l故选（D）.【评注】本题为基本题型

15、，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法. 本题要注意 ex 当注意当曲线水平渐近线时， 斜渐近线不x +, x - 时的极限不同.5 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：类似例题见强化班笔记高等数学第 6 讲第 4 节【例 12】，数学复习指南类）第一篇【例 5.30】，【例 5.31】.（7【分析】本题考查由线性无关的向量组a1 ,a2 ,a3 构造的另一向量组 b1 , b2 , b3 的线一般令(b1, b2 , b3 ) = (a1,a2 ,a3 ) A ，若= 0 ，则 b1 , b2 , b3 线性相关；A性相关性.A 0 ，则 b1 , b2 , b3

16、线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性若运算得到正确选项.【详解】由(a1 -a2 ) + (a2 -a3 ) + (a3 - a1 ) = 0 可知或者因为 1（A）.-1-101-1101-1-a ) = (a ,a)-10 ，而 -1(a-a ,a -a ,a,a= 0 ，01122331123 01 0所以a1 -a2 ,a2 -a3 ,a3 -a1 线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取a1 = (1, 0, 0) ,a2 = (0,1, 0) ,a3 = (0, 0,1) ，以此TTT求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然

17、后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见强化班笔记线性代数第 3 讲【例 3】，数学复习指南（经济类）线性代数【例 3.3】.8【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的，只要求得 A 的特征值， 并考虑到实对称矩阵 A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到.l - 2111l - 2111l - 2【详解】 由 lE - A = l(l - 3) 可得l = l = 3, l = 0 ，2123所以 A 的特征值为 3,3,0；而 B 的特征值为 1,1,0.所以 A 与 B 不相似，但是 A 与 B 的秩均为 2，且正惯性指数都为 2，所以 A 与 B

18、合同，故选（B）.【评注】若矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算 A 与 B 的特征值可立即排除（A）（C）.完全类似例题见数学复习指南（类）第二篇【例 5.17】.9【分析】本题计算贝数.【详解】p前三次仅有一次概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求中的次目标，第 4 次目标= C1 p(1- p)2 p = 3p2 (1- p)2 ，36 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：故选（C）.【评注】本题属基本题型.类似例题见数学复习指南（类）第三篇【例 1.29】【例 1.30】10.【分析】本题求随量的条件概率密度，利用

19、X 与Y 的性和公式f (x, y)可求解.f(x | y) =X |Y f ( y)Y【详解】因为( X ,Y ) 服从二维正态分布， 且 Xf (x, y) = fX (x) fY ( y) .与 Y 不相关，所以 X 与 Y，所以f (x, y) = f X (x) fY ( y) =故 f(x | y) =f (x) ，（A）.X |YXf ( y)f ( y)YY【评注】若( X ,Y ) 服从二维正态分布，则 X 与Y 不相关与 X 与Y是等价的.完全类似例题和求法见强化班笔记概率论与数理统计第 3 讲【例 3】，数学复习指南（类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例

20、 2.38】11【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.x3x21【详解】因为2x+ cos x) = 0 .所以 lim2 + xx+【评注】无穷小的相关性质：（1）（2）（3）有限个无穷小的代数和为无穷小； 有限个无穷小的乘积为无穷小；无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见强化班笔记高等数学第 1 讲【例 1】，数学复习指类）第一篇【例 1.43】南（12.【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的老林展开式.(-1)n 2n n!(-1)n 2n n!3n+112【详解】 y =, y2x + 3= - (2x + 3)2，则 y

21、(x) =，故 y(0) =(n) (n) .n+1(2x + 3)【评注】本题为基础题型.完全类似例题见强化班笔记高等数学第 2 讲【例 21】，数学复习指南（类）第一篇【2.20】，【例 2.21】.7 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：13【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得z = - yf + 1 f ，x12x2yz = 1xf -f ，yx1y22x z - y zy x = -2 f1 x - f2 y .所以xy【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见强化班笔记高等数学第 9 讲【例 8】

22、, 【例 9】，数学复习指南（类）第一篇【例 6.16】,【例 6.17】,【例 6.18】.y14.【分析】本题为齐次方程的求解，可令u =.x【详解】令u =，则原方程变为xyu + x du = u - 1 u3 du = - dx .u3dx22x两边得111- = -ln x -ln C ，2u222y211代入左式得 C = e ，即CCx2ex = e y2 ，即 y =x， x e-1 .故满足条件的方程的特ln x +1【评注】本题为基础题型.完全类似例题见强化班笔记高等数学第 7 讲【例 2】, 【例 3】，数学复习指南（类）第一篇【例 9.3】.15【分析】先将 A3 求

23、出，然后利用定义其秩. 0 0100001000 0000000001 0 0 0【详解】 A = A3 = r( A) = 1. 01 00 00 00 【评注】本题为基础题型.8 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：矩阵相关运算公式见数学复习指南（类）第二篇第二章第 1 节中的知识点精讲.量服从区间(0,1) 上的均匀分布，利用几何概型16【分析】根据题意可得两个随计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：y1AO1/21x 1 21- 2 S3 所求概率=.4量的概率密度，然后利用它们的 A SD1【评注】本题也可先写出两个随完全类似例题见性求得所求概率.强化班笔记概率论

24、与数理统计第 3 讲【例 11】，数学复习指南（类）第三篇【例 2.29】，【例 2.47】17【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 y ln y - x + y = 0 两边对 x 求导得yln y + y y -1+ y = 0 ，y即 y(2 + ln y) = 1，则 y(1) = 1 .2上式两边再对 x 求导得( y)2y(2 + ln y) += 0y则 y(1) =- 1 ，所以曲线 y = y(x) 在点(1,1) 附近是凸的.8【评注】本题为基础题型.类似例题见强化班笔记高等数学第 6 讲【例 10】，数学复习指南（9 学 子 网 倾 情 提 供 ，资

25、 料 在 ：类）第一篇【例 5.29】.18.【分析】由于区域关于 x, y 轴均对称，所以利用二重的对称性结论简化所求.【详解】因为被积函数关于 x, y 均为偶函数，且区域关于 x, y 轴均对称，所以 f (x, y)ds = f (x, y)ds ，其中 D1 为 D 在第一象限内的部分.DD1 1ds而 f (x, y)ds =Dx+ y1,x0, y01 x+ y2, x0, y0x2ds +x2 + y211210dy +dx=dxx dy + dxdy 1-xx + y+ y000222x+2 ln (1+2 ) .= 112f (x, y)ds = 1 + 4 2 ln (1

26、+2 ).D所以3x 2 + y 2时, 可考虑用极坐标，解答如下：【评注】被积函数包含 1ds1 x+ y2 x0, y01 x+ y2 x0, y0f (x, y)ds =x 2 + y 2p2=2 dqsinq +cosq dr 1 sinq +cosq0=2 ln(1+ 2) .强化班笔记高等数学第 10 讲【例完全类似例题见1】，数学复习指南（类）第一篇【例 7.3例 7.4】.19【分析】由所证结论 f (x ) = g (x ) 可联想到构造辅助函数 F (x) = f (x) - g(x) ，然后根据题设条件利用明.f (x) - g(x) ，则 F (x) 在a, b 上连续

27、，在(a, b) 内具有【详解】令 F (x) =导数且F (a) = F (b) = 0 .（1）若 f (x), g(x) 在(a, b) 内同一点c 取得最大值，则 f (c) = g(c) F (c) = 0 ，定理可得，x1 (a, c),x2 (c, b) ，使得F (x1 ) = F (x2 ) = 0 .于是由10 学 子 网 倾 情 提 供 ，资 料 在 ：x (x1,x2 ) ，使得 F (x ) = 0 ，即 f (x ) = g (x ) .再利用定理，可得（2）若 f (x), g(x) 在(a, b) 内不同点c1 , c2 取得最大值，则 f (c1 ) = g(c2 ) = M ，于是F (c1 ) = f (c1 ) - g(c1 ) 0, F (c2 ) = f (c2 ) - g(c2 ) 2Y = (2 - x - y )dxdy = ()dx2 - x -y dy