DSP_20IIR数字滤波器的设计方法-频率变换

1、1第五节第五节 IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换 Frequency Transformation of IIR Digital Filters2IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters主要知识点：主要知识点：l数字高通、带通、带阻滤波器的设计方法数字高通、带通、带阻滤波器的设计方法l由数字原型低通滤波器到数字高通、带通、带阻滤波的由数字原型低通滤波器到数字高通、带通、带阻滤波的频率变换公式频率变换公式3IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transf

2、ormation of IIR Digital Filters前面几节介绍的是低通前面几节介绍的是低通IIR数字滤波器的设计方法，本节讨论高通、带数字滤波器的设计方法，本节讨论高通、带通和带阻等通和带阻等IIR数字滤波器的设计问题。如下图所示，一般有两种设计数字滤波器的设计问题。如下图所示，一般有两种设计方法。方法。模拟原模拟原型低通型低通模拟高通、模拟高通、带通和带阻带通和带阻数字高通、数字高通、带通和带阻带通和带阻频率变换冲激不变法双线性变换 sHa zH pHa模拟原模拟原型低通型低通数字原数字原型低通型低通数字高通、数字高通、带通和带阻带通和带阻频率变换冲激不变法双线性变换 zHd v

3、H1 sHa4IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filtersl方法一步骤是：模拟低通到模拟高通、带通和带阻再到方法一步骤是：模拟低通到模拟高通、带通和带阻再到数字高通、带通和带阻，这种方法的缺点是由于频率混叠数字高通、带通和带阻，这种方法的缺点是由于频率混叠失真，不能用该方法通过冲激不变法来设计高通和带阻滤失真，不能用该方法通过冲激不变法来设计高通和带阻滤波器；波器；l方法二步骤是：模拟低通到数字低通再到数字高通、带方法二步骤是：模拟低通到数字低通再到数字高通、带通和带阻。通和带阻。本节只讨论方法二，

4、也就是本节只讨论方法二，也就是讨论由数字原型低通到高通、讨论由数字原型低通到高通、带通和带阻的转换问题带通和带阻的转换问题。5IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters设设 是数字原型低通滤波器的系统函数，是数字原型低通滤波器的系统函数， 是所是所要求的滤波器的系统函数，从要求的滤波器的系统函数，从 v 平面平面到到 z 平面平面的映射定义的映射定义为为式中，式中， 为变换函数。为变换函数。所要求的系统函数为：所要求的系统函数为： zHd vH111zFv F 111zFvdvHzH6IIR数字滤

5、波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters如果如果 是稳定和因果的低通数字滤波器的有理系统是稳定和因果的低通数字滤波器的有理系统函数，那么经变换后得到的函数，那么经变换后得到的 仍然是稳定和因果的仍然是稳定和因果的低通数字滤波器的有理系统函数。为此必须满足两个条件低通数字滤波器的有理系统函数。为此必须满足两个条件 必须是必须是 的有理函数；的有理函数； v 平面的单位圆内部映射到平面的单位圆内部映射到 z 平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。 zHd vH11z1zF 111zFvdvHzH7IIR数字滤波器

6、的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters设设 和和 分别表示分别表示 v 平面和平面和 z 平面的频率变量，平面的频率变量，即即则则因而要求因而要求 和和上式表明函数上式表明函数 在单位圆上的幅度必须恒等于在单位圆上的幅度必须恒等于 1，这样的函数就是全通函数。这样的函数就是全通函数。jjezev,jeFjjjjeeFeFearg1jeFjeFarg1zF8IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters任何全通函数都可

7、以表示为：任何全通函数都可以表示为：其中其中 是是 的极点。为了满足稳定性的要求，必须的极点。为了满足稳定性的要求，必须有有 。这样，通过选择适当的。这样，通过选择适当的 值和值和 值，值，就可以得出各种各样的映射。就可以得出各种各样的映射。NkkkzzzF11111k1zF1kkN9IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters最简单的映射就是把一个低通滤波器变换成另一个低通滤最简单的映射就是把一个低通滤波器变换成另一个低通滤波器的映射，对于这种情况，有波器的映射，对于这种情况，有将将 和和 代入上

8、式得代入上式得11111zzzFvjez jev jjjeee1cos12sin1tan22arc所以：所以：10pIIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filterscos12sin1tan22arc 与与 之间的关系如图所示之间的关系如图所示p11IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters由图可见，除由图可见，除 外，频率标度有明显的扭曲。但对于外，频率标度有明显的扭曲。但对于低通滤波器来说，只利用曲线的下

9、部，因此，如果原始系低通滤波器来说，只利用曲线的下部，因此，如果原始系统的低通频率特性是分段恒定的，且截止频率为统的低通频率特性是分段恒定的，且截止频率为 ，那，那么变换后的系统将具有类似的低通特性，其截止频率么变换后的系统将具有类似的低通特性，其截止频率 可以通过选择可以通过选择 来确定。来确定。0pp12IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters根据前面式子解得根据前面式子解得 为为由此得到所需求的低通滤波器的系统函数为由此得到所需求的低通滤波器的系统函数为用类似的方法可导出从低通滤波器到高通

10、、带通和带阻滤用类似的方法可导出从低通滤波器到高通、带通和带阻滤波器的其它变换公式，见下表所示。波器的其它变换公式，见下表所示。2/sin2/sinpppp 11111zzvdvHzH13IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters表表 4.1 根据截止频率为根据截止频率为 的数字低通滤波器原型作变换的公式的数字低通滤波器原型作变换的公式滤波器类型滤波器类型变换公式变换公式有关设计公式有关设计公式低通低通1111zzv要求的截止频率ppppp2sin2sinp14IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器

11、的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters表表 4.1 根据截止频率为根据截止频率为 的数字低通滤波器原型作变换的公式的数字低通滤波器原型作变换的公式滤波器类型滤波器类型变换公式变换公式有关设计公式有关设计公式高通高通1111zzv要求的截止频率ppppp2cos2cosp15IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters表表 4.1 根据截止频率为根据截止频率为 的数字低通滤波器原型作变换的公式的数字低通滤波器原型作变换的公式滤波器滤波器

12、类型类型变换公式变换公式有关设计公式有关设计公式带通带通要求的上、下截止频率12121212,2tan2cot2cos2cospk1121111121212zkkzkkkkzkkzp16IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters表表 4.1 根据截止频率为根据截止频率为 的数字低通滤波器原型作变换的公式的数字低通滤波器原型作变换的公式滤波器滤波器类型类型变换公式变换公式有关设计公式有关设计公式带阻带阻要求的上、下截止频率12121212,2tan2tan2cos2cospk112111112121

13、2zkzkkkkzkzp17IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters例例 4.6 用频率变换方法从前面例用频率变换方法从前面例4.5 中的中的 Chebyshev 低低通数字滤波器求一个截止频率为通数字滤波器求一个截止频率为 的高通滤波的高通滤波器。器。解：由前面例子得到的截止频率为解：由前面例子得到的截止频率为 的低通滤波的低通滤波器的系统函数为器的系统函数为6 . 0p2 . 0p 2121418482. 04996. 116493. 05548. 111001836. 0vvvvvzH18

14、IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters从上表得出从上表得出所以所以38197.02/2 .06 .0cos2/2 .06 .0cos 1110.3819711 0.381974112120.02426 11 1.04160.40191 0.55610.7647zdvzHzH vzzzzz将将 代入得到系统的频率响应代入得到系统的频率响应jez 19IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换Frequency Transformation of IIR Digital Filters实现上述步骤的实现上述步骤的MATLAB程序如下程序如下用用MATLAB函数求频率响应曲线的函数为函数求频率响应曲线的函数为 freqz(bbb,aaa)thetap=0.2*pi; wp=0.6*pi;alpha=-cos(wp/2+thetap/2)/cos(wp/2-thetap/2)A=1 2*alpha alpha2