第六部分量子物理基础习题

1、第六部分 量子物理基础习题：1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。（提示：）解：令，则，所以证毕。2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长，试估算太阳的表面温度。解：由维恩位移定律得到3.波长为450nm的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A2.29eV），求：（1）这种光的光子能量和动量；（2）光电子逸出钠表面时的动能。解：（1）（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为4.铝的逸出功是4.2eV，现用波长的紫外光照射铝表面。试求：（1）发射的光电子的最大动能；（2）截止电压；（3）铝的红限频率。解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为（2）截止电压（3）红限频率5.在一次康普顿散射中

2、，传递给电子的最大能量为，试求入射光子的波长。已知电子的静能量，。解：要使一个电子的反冲能量具有最大值，入射光子必定是反向散射。设入射光子的能量为，散射光子得能量为，电子的初能量为，反冲能量为0.045MeV。由能量守恒定律有整理后得.由动量守恒定律，有 考虑到电子能量与动量的相对论关系，有所以.于是这样可以求得根据可以得到入射光的波长6.有一功率1W的光源，发射波长为589nm的单色光。试求单位时间内落在半径为1mm、距光源1m的薄圆片上的光子数。假设光源向各个方向发射的能量是相同的。解：圆片的面积为。由于光源发射出来的能量在各个方向是相同的，故单位时间落在圆片上的能量为其中，r为光源到圆片

3、的距离，P为光源的功率，于是单位时间落在圆片上的光子数为第二章 原子光谱与原子结构1.根据氢原子光谱实验规律求巴耳末系的最长波长和最短波长。解：巴耳末系的波长由里德堡线系公式确定，即所以，n3时对应的频率最小，波长最长，此时而n时对应的波长最短，此时2.根据玻尔理论计算氢原子基态下列各物理量：量子数、轨道半径、角动量。解： 玻尔理论主要有三个方面的内容；即定态En，n=1,2,3的提出，量子化条件和跃迁假设。根据角动量的定义：牛顿第二定律得到电子轨道运动速度： （n=1,2,3）和 （n=1,2,3）这样得到的量子化轨道为： （n=1,2,3）就此得到有关氢原子基态的上述参数值：量子数 n=1

4、轨道半径m角动量 J/s3.根据玻尔理论计算：氢原子从n4跃迁到n1态的相关物理量（1）求解初态和末态的能量；（2）求解辐射能量和4-1能级的辐射频率。解：（1）根据玻尔理论量子化能级的公式： （n=1,2,3）（2）Hz4.一个原子体系吸收一个375nm的光子后辐射出来一个580nm的光子，求在这个过程中原子体系的能量变化。解：设第一个光子能量为E1第二个光子的能量为E2可见原子体系的能量增加1.17eV5.指出玻尔理论的不足答：玻尔理论的不足表现在：（1）只能计算氢原子及类氢原子的光谱。（2）即使氢原子也只能计算频率而不能计算强度。（3）理论结构本身的不合逻辑性。它的理论仍未从根本上突破牛

5、顿力学的框架，只是人为地将量子化条件强加与原子的一种半经典，半量子化理论，特别是有关电子轨道的概念，显然与后来的量子力学中的电子轨道不相容。第三章 量子力学初步习题1.指出波函数的标准条件，以及波恩对波函数的概率解释。根据波函数的统计解释，必须要求波函数是单值、有限、连续而且是归一化的函数。这些条件称为波函数的标准条件。玻恩提出的波函数的统计解释：波函数是描写微观粒子波动性的函数，是时间和空间的复函数y(r, t。描写沿x方向以恒定动量p运动（能量为E）的自由粒子的波函数为以下形式 在某一时刻，在空间某处波函数模的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的概率，称为概率密度。因此，物质波是一种概率波

6、，它反映了微观粒子运动的统计规律。2.试求：（1）动能为0.5eV的中子的德布罗意波波长（中子质量1.67510-27 kg）；（2）质量m0.01kg，速率v300m/s的子弹的德布罗意波波长。解：（1）由于中子的能量较小，可以采用经典理论计算。（2）由德布罗意公式可见宏观物体的德布罗意波波长是非常小的，实验无法测量。3.静止在光滑水平面上的一颗沙粒的质量为1.0010-3g，其位置测量的误差不大于0.01mm，求沙粒速度的最小测量误差。解：由不确定关系式可得到进一步可以计算得到：所以可见沙粒速度不确定性很小，因而经典理解速度的确定性还是被认为成立的。4.原子的线度为1010m，求原子中电子

7、速度的不确定量（电子质量me9.111031kg）。解：电子在原子中，意味着电子位置的不确定量，由不确定关系可得5.求证：如果电子位置的不确定量等于它的德布罗意波长，那么它的速度的不确定量等于该粒子的速度。（不确定关系选）证明：由不确定关系有，而由题设可得，所以所以 6.某粒子运动时的波函数为试求：（1）概率密度的表达式；（2）粒子出现概率最大的各个位置。解：（1）概率密度的表达式为（2）概率密度最大的位置，粒子出现的位置也最大。由（1）可知，时概率密度最大。此时 （k为整数）所以.又由可以知道，k-1，0，1。由此可得在区间，概率密度最大的可能位置为.7.三维无限深势阱：假设粒子限制在矩形盒

8、子中运动，也就是说它的势函数形式为： 讨论能量的允许值和相应的波函数形式解：由定态薛定谔方程得到本题中的波函数满足 由势阱的特殊形式决定可以把波函数分离变量来解本题，并且参照一维无限深势阱的解题方法，得到在x方向上的波函数 同理，其他方向上的 这样得到我们需要的解：粒子能量允许值是：，.8.简述隧道效应的量子物理机制，并说明扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling Microscopy）的原理。答：隧道效应指的是粒子能穿过比它动能更高的势垒。海森堡的测不准原理表明，在一个系统中，总有某些属性在这一情况中是能量的值是不能确定的，因此量子物理学原理允许系统利用这种不确定性，短时间借到一

9、些额外的能量。在隧穿的情况中，粒子从障碍物的一面消失又从另一面重现需要的能量几乎可以忽略不计，障碍物可以任意的厚不过随着厚度增加，粒子隧穿的几率也就迅速向零递减。扫描隧道显微镜是根据量子力学中的隧道效应原理，通过探测固体表面原子中电子的隧道电流来分辨固体表面形貌的新型显微装置。根据量子力学原理，由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于金属表面之内，电子云密度并不是在表面边界处突变为零。在金属表面以外，电子云密度呈指数衰减，衰减长度约为1nm。用一个极细的、只有原子线度的金属针尖作为探针，将它与被研究物质的表面作为两个电极，当样品表面与针尖非常靠近(距离1nm时，两者的电子云略有重叠。若在

10、两极间加上电压U，在电场作用下，电子就会穿过两个电极之间的势垒，通过电子云的狭窄通道流动，从一极流向另一极，形成隧道电流I。隧道电流I的大小与针尖和样品间的距离s以及样品表面平均势垒的高度有关。隧道电流 I 对针尖与样品表面之间的距离s极为敏感，如果s减小0.1nm，隧道电流就会增加一个数量级。当针尖在样品表面上方扫描时，即使其表面只有原子尺度的起伏，也将通过其隧道电流显示出来。借助于电子仪器和计算机，在屏幕上即可显示出样品的表面形貌。9.已知氢原子基态能量为E113.6eV，试求从第二激发态跃迁到基态所能发出的光子频率。解：由得第一激发态（n2）的能量E2-3.4eV；第二激发态（n3）的能

11、量E3-1.51eV。跃迁方式可以有三种：从第二激发态跃迁到第一激发态：从第一激发态跃迁到基态：从第二激发态直接跃迁到基态：10.试写出原子在强磁场和极强磁场中的L-S耦合下的产生的不同效应，并描述它光谱分裂。答：原子处于强磁场下，磁场强度增加到比原子内部的LS相互作用还要强的时候，此时光谱分裂是帕邢巴克效应，用矢量模型可以容易得到强磁场中的能级分裂结果；原子的LS耦合破坏，并分别在磁场中呈现量子化，磁场B对原子的作用实际上是磁场对轨道磁矩L的和自旋磁矩s的作用总和，产生的附加能为原子在极强磁场中，磁场不仅仅破坏原来的耦合，而且所有的原子的lS耦合均被破坏，这时每个电子的轨道角动量和自旋角动量

12、分别独立地绕磁场B进动，这种现象为完全地帕邢巴克效应；用矢量模型法得到在极强磁场中的附加能量为：磁量子数满足选择定则：角标1，2可互换11.试分析元素周期表和壳层理论的联系。解： 门捷列夫首先发现元素的周期性并制定了世界上第一个元素周期表，至今一共107种元素被发现和进行了合理的排列。这就是元素周期表；而实验证实：元素的物理和化学的周期性直接反映原子的内部电子的填充的周期性，即反映了内部电子的额壳层结构。为了确定周期表和原子内部电子结构的关系，必须了解原子中的电子在正常状态下怎样占据各个电子态的。实验证明，正常状态下的电子在原子中的状态遵守以下几个原理：（1）能量最低原理：正常状态下，原子中的

13、电子占据能量最低态，即原子中的电子首先填充能量最低的轨道。（2）泡利不相容原理：同一个原子中不可能有两个或两个以上的电子占据同一个状态，即一个确定的态只有一个电子。根据以上两个原理，电子在原子中是从能量最低的轨道(基态向较高的能级填充并构成原子壳层结构，我们称这种模型是壳层结构模型。壳层和轨道相对应，是原子真实结构的一种近似，反映了原子结构的真实特征。12.列表说明分子光谱的电子能级、振动能级、转动能级的光谱区域的分布。答：列表如下:电子能级振动能级转动能级能级差120eV能级差0.051eV能级差0.005-0.05eV属于紫外可见光谱属于红外光谱属于远红外光谱跃迁吸收波长1.250.06m

14、跃迁吸收波长251.25m跃迁吸收波长25025m13.请查找相关的资料了解量子计算机的基本思想以及发展解： 量子计算机的基本思想：量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置。处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法；它源于对可逆计算机的研究，其目的是为了解决计算机中的能耗问题。它是物理学的原理和计算机科学的交融与相互促进。量子计算机的发展：1996年，美国科学周刊科技新闻中报道，量子计算机引起了计算机理论领域的革命。同年，量子计算机的先驱之一，Bennett在英国自然杂志新闻与评论栏声称，量子计算机将进入工程时代。2000 IBM公司研制成功了个量子

15、位（比特）的量子计算机，在国际上引起轰动。该成果在中国曾被评为2000年度国际十大科技进展。由于人们对量子计算机这一科技前沿领域理解的困难，许多人都以为量子计算机已经被研制成功2001年量子信息国际学术会议，多位科学家时严正指出，现在还没有真正的量子计算机。2005年美国俄亥俄州立大学研究人员成功地使相干激光在玻璃芯片上构成了一个个“原子陷阱”，理论上每个“原子陷阱”能捕捉一个气态铷原子。这一进展向将来设计建造量子计算机前进了一大步。2006年安徽省第五届“兴皖之光”青年学术年会上，中国科学院院士、我国量子通信与量子信息技术首席科学家郭光灿教授预言：15年到20年后，世界首台量子计算机将有望研

16、制成功。对量子计算机的展望：从量子计算机的应用看来，它在众多的场合都有所应用，如生物制药设计体系、基因体系、密码体系等用传统计算机要花费上千年，而用量子计算机只需数分钟。总体来讲，实现量子计算，已经不存在原则性的困难。按照现在的发展速度，可以比较肯定地预计，在不远的将来，虽然这中间还会有一段艰难而曲折的道路，量子计算机一定会成为现实。第四章 固体能带理论与激光本章的习题：1.试从阐述非晶体与晶体的不同点并出常见的晶体和非晶体的例子。答： 晶体和非晶体在外形上和物理性质上都有很大的区别。（1）晶体具有天然的规则几何形状，它的外形是若干个平面围成的多面体。食盐的晶体是立方体；石英的晶体中间是六面棱

17、柱，两端是六面棱锥；明矾晶体是八面体。（2）晶体在不同方向上的物理性质，包含力学性质（硬度、理解面）、热学性质（导热性、热膨胀性）、电学性质（导电性、压电性）、光学性质（折射率不同、偏光性）等，有所不同，称为晶体的各向异性。而非晶体不具有这一性质。但是，不是任何晶体都具有力学、热学、电学等物理性质的各向异性。有的晶体在热学性质上各向异性，另一类晶体在光学性质上各向异性。（3）晶体加热熔化时有固定不变的温度（熔点）；非晶体的熔化和凝固过程不同于晶体。非晶体受热时，先从硬变软，然后逐渐变为液态，在这过程中，温度不断升高，没有一定的熔化温度。常见到晶体和非晶体有：晶体：如石英、云母、食盐、明矾等。非

18、晶体：如玻璃、橡胶、松香、沥青等。2.指出Si不能直接用于光电子领域的原因。答： 硅的间接能隙结构是导致硅不能直接用于光电子领域的原因，这样的能级结构能够使得它的辐射复合几率降低，意味着电子空穴对的辐射寿命增长。但是使得硅不能应用在激光半导体材料的最重要的原因是：硅内的非辐射复合的效率远远超过了硅内的辐射复合效率。3说明激光的特性和红宝石激光器的结构。答：激光具有单色性、相干性和方向性三大特点：单色性好，相干性高，方向性强。红宝石激光器是世界上最早实现激光输出的器件，它是一种输出波长为694.nm（红光）的脉冲器件。红宝石激光器的结构分成三部分：激光介质，谐振腔，泵浦源和聚光腔组成。（1）激光

19、介质：以刚玉或称白宝石单晶为基质，以0.05重量掺Cr3+为激活粒子所组成的掺杂离子型绝缘晶体红宝石棒。（2）谐振腔：多采用平行平面镜腔，全反射镜是反射率为99以上的多层介质膜，输出镜透过率为50以上。（3）泵浦源：多采用光激励，脉冲激光器中一般采用发光效率较高的脉冲氙灯做泵浦源。（4）聚光腔：为提高对光线的反射率聚光腔常采用黄铜或不锈钢材料制成，内壁经抛光处理后镀银，常见的聚光腔有圆柱面聚光腔、单椭圆柱面聚光腔、双椭圆柱面聚光腔等。 4.分析红宝石激光器速率方程。三能级的系统示意图答： 红宝石晶体是三能级系统工作 的典型激光物质，它的能级图如图所示。 相关参数或过程简述如下：E1基态，E2亚稳能级，E3激光上能级；W13受激抽运几率，A31自发辐射几率，S31无辐射几率