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文档简介

1、§2.2 线性方程与常数变易法教学目的了解一阶线性方程形式，熟练掌握求一阶非齐线性方程解的常数变易法及伯努利（Bernoulli）方程教学要求利用常数变易法解一阶非齐线性方程，掌握伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教学重点常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教学难点常数变易法思想的理解；求伯努利方程的解变量替换法。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一阶线性微分方程 在a(x)0的区间上可以写成 (1)这里假设p(x)，Q(x)在考虑的区间上是的连续函数。若 Q(x)0，则(1)变为 (2)(2)称

2、为一阶齐次线性方程。若Q(x)0，(1)称为一阶非齐次线性方程。一、 一阶线性微分方程解法常数变量法 解法（a）对应的齐次方程 得对应齐次方程解 y=cep(x)dx c为任常数 （b）常数变易法求解（将常数变为x的待定函数c(x)，使它成为（1）的解，从而求出c(x)）令 y=c(x)ep(x)dx 为(1)的解，则 代入(1)得 积分得 c(x)=Q(x)e-p(x)dxdx+c （1)的通解为 y=ep(x)dx(Q(x)e-p(x)dxdxc) （3）注：求(1)的解可直接用公式(3)。例1、 求方程 的通解，这里为n常数。解：将方程改写为 首先，求齐次线性方程 的通解。从分离变量得

3、积分得 |y|=n|x+1|+c1故对应齐次线性方程通解为 y=c(x+1)n其次应用常数变易法求非齐次线性方程的通解，令 y=c(x)(x+1)n 为原方程的解，代入得即 积分得 c(x)=ex+c因此，原方程的通解为 y=(x+1)n(ex+c)，c为任常数。例2、求方程 的通解。解：原方程不是未知函数的线性方程，但将它改写为 即把x看作未知函数，y看作自变量，这样，对于x及来说，上面方程为线性方程。故其通解为(这里p(y)=，Q(y)=-y)X=ep(y)dy(Q(y)e-p(y)dydy+c) =c)=y2(c|y|) c为任常数。例2、 求初始值问题 ，y(1)=1的解。解：首先求方

4、程的通解（p(x)=，Q(x)=4x21） 将初始条件代入后得: 故所给初始方程的解为 二伯努利（Bernoalli）方程 形如 的方程，称为伯努利方程。这里为的连续函数。 解法， 引入变量变换方程变为 求以上线性方程得通解。 变量还原。 例4求方程 的通解 解：这是一个Bernoalli方程，令代入方程 解以上线性方程得 将代入得所给方程的通解为 三线性微分方程的应用举例。例5RL串联电路由电阻，电感和电源所组成的串联电路如图所示，其中电阻R，电感L和电源的电动势E均为常数，求开关闭合后电路中的电流强度解：由物理学中的有电路定律，当电路中的电流为时，在电阻R上的电压降为R，在电感L上的电压降为取开关闭合时的时刻为0

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