第十六章量子物理基础

1、第十六章 量子物理基础第十六章 量子物理基础16-1 实物粒子的波粒二象性【基本内容】一、实物粒子的波粒二象性（1）德布罗意物质波假设P=hl（2）德布罗意物质波假设的实验证明：戴维森革未实验。二、测不准关系1、坐标动量测不准关系测不准关系不仅适用于电子和光子。也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。DxDPxh，或DxDPxh，精确式为DxDPx1 2h表示在x方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。2、能量时间测不准关系 DEDth三、波函数 薛定谔方程经典力学：粒子的运动由坐标和动量描述，状态随时间的变化由牛顿定律确定。量子力学：微观粒子的运动状态用波函数描述，状态的变化用定薛谔方程

2、描述。1、波函数（1）量子力学基本假设之一微观粒子的运动状态（量子态）用波函数（r，t）描述。（2）函数的物理意义统计解释r=Y*(rv,t)Y(rv,t)表示粒子在t时刻在（x，y，z）处出现的几率密度。（3）函数的归一化条件|Y|2dxdydz=1相差一个常数因子的波函数与c描述同一微观态。 第十六章 量子物理基础（4）波函数的标准条件v波函数Y(r,t)是空间和时间的单值、有限、连续函数。（5）物质波波函数与经典波函数的区别德布罗意波是几率波，波函数不表示实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。2、薛定谔方程量子力学基本假设之二：波函数随时间的变化满足薛定谔方程。（1）含时薛定谔

3、方程v若粒在势场V=V(r,t)中运动，则：ih)Y=HY t)vh2v其中：Y=Y(r,t)。 H=-2+V(r,t)，称为哈密顿算符， 2m222叫拉普拉斯算符。 =+x2y2z22（2）定态薛定谔方程)HY=EY v对于定态（能量不随时间变化的状态）V=V(r)。v，称为定态波函数。E称能量本征值，即定态能级。 其中：Y=Y(r)四、势阱和势垒中的粒子1、一维无限深势阱势函数：设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，其势函数为：U= xa 0 0xa2、薛定谔方程求解结果在一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为：Y(x)=0.(xa)Y(x)=2npxsin,(0xa)aa一维无限深势阱中

4、运动的粒子的能量为：n2h2En=,(n=1,2,L) 8ma2可见，能量是量子化的，它是定谔方程求解的自然结果。3、隧道效应一个粒子能穿移按经典观点看来是绝对不透明的势垒，这种现象称为隧道效应。第十六章 量子物理基础 【典型题例】【例16-1】（1）已知氢原子的运动速度等于它在300K时方均根速率，求：（1）它的德布罗意波长；（2）求质量M=1Kg，以速率v=1cm/s运动的小球的德布罗意波长。【解】（1）v2=3kTml=hh=pmvh=1.45A0kTm（2）l=h=h=6.6310-19A0pMv【讨论】本题中，由于速度比较小，计算德布罗意波长时用经典动量。【例16-2】 若电子的动能

5、等于其静止能量，则其德布罗意波长是康普顿波长的几倍？【解】 电子的康谱顿波长为lc=h h，罗意波长为l=pmec由题知：Ek=m0c2(g-1)=m0c2g=2v=3 c2l=hh3，故 =h/(2mec)pgmev2l1 =lc【讨论】本题中，由于速度比较大，计算德布罗意波长时用相对论动量。2、测不准关系的应用【例16-3】 对动能为1KeV的电子,若位置的不准定量值在100Pm内,求动量的相对不确定值P/P为何值?(电子的质量me=9.1110-31Kg。)【解】 P=2mEk=1.7110-23kgms-1DxPh=39% DxP-6由DxDPxh得DP=hDP= 0【例16-4】 光

6、子的波长=3000A。确定此波长的精度/=10。求光子位置的不确定量。【解】 P=hDP=|-h|Dl| 2llhl2llDxDPxhDx=48mm DP2pDl2pDl【例16-5】 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：Yn(x)=sin(np),0xa 若粒子处在n=1的状态，求：（1）粒子在x=a/4处出现的几率密度；（2）在区间0，a/4内找到粒子的几率； 第十六章 量子物理基础（3）在何处找到粒子的几率最大，为何值？2/asin(p)【解】（1）: 2pxr=Y*Y=sin2rx=a/4=1/aaaY(x)=（2）W=a/40Y*Ydx=a/402pxsin2dx=0.091 a

7、a最大（3）r=Y*Y=2sin2px，当px=(2k+1)p时aaa2=2/a 此时，x=(2k+1)a,k=0,1,2,3,L而0xm);c 角动量量子化：电子绕核作圆周运动的角动量L，只能是h/2的整数倍。L=nh,n=1,2,3L 2p2、氢原子的轨道半径和能级氢原子的轨道半径：rn=a0n2a0=0.053A0称为氢原子的波耳半径。氢原子的能级：En=E1,n=1,2,3,L 2nE1=-13.6eV叫基态能级。基态：是能量最低的状态（n=1）。 激发态：是能量大于基态的状态（n=2，3，）。 电离能：把基态电子移到无穷远处所需要的能量。DE=E-E1=-E1 激发能：由基态被激发到

8、某激发态n所需要的能量。DE=En-E1玻尔理论对复杂原子的光谱及谱线的强度无法说明，该理论在经典理论的基础上，加上神秘色彩的量3、玻尔理论的局限性 子化条件假设，理论系统本身是不自洽的。四、氢原子量子力学处理1、氢原子的量子力学解法 第十六章 量子物理基础势函数： v(r)=-e24pe0r e24pe0r定态薛定谔方程：2Y+2m(E+h2)Y=0薛定谔方程的求解结果：vY(r)=Y(r,q,f)=RnlQlml(q)Fml(f)me41En=-,n=1,2,L 222(4pe0)hnL=l(l+1)h 2pLz=mlh 2p2、描写氢原子微观运动状态（量子态）的四个量子数氢原子微观运动状

9、态可用能量E、角动量L，角动量分量Lz、自旋角动量S这四个物理量完全确定，每一物理量有一相应的量子数，即四个量子数完全确定氢原子的量子态。 Y=|n,l,ml,ms主量子数n能量量子化（大体上确定原子中电子的能量），能量量子化由弗朗克赫兹实验证明。me4113.6En=-=-eV,n=1,2,L 2222(4pe0)(2h)nn角量子数l角动量量子化，又称轨道量子化（确定电子轨道角量）描写电子轨道角量，l的数目为nL=(l+1)h,l=0,1,Ln-1磁量子数ml角动量的空间取向量子化（确定轨道角动量在外磁场方向上的分量），ml的数目为2l+1。空间量子化由塞曼效应证明。Lz=mlh,ml=0

10、.1,2,Ll自旋磁量子数ms自旋的空间取向量子化（确定自旋角动量在外磁场方向上的分量），史特恩盖拉赫实验证明了电子自旋的存在。S=s(s+1)h，其中s=1称自旋量子数。 2Sz=msh，其中ms=-11称自旋磁量子数。 ,22【典型例题】【例16-6】 氢原子处于n=3的激发态，则该原子 （填能、不能） （填吸收、发射）一个红外光子。【解】 处于n=3的激发态在氢原子，第十六章 量子物理基础 能发射：E3E1（紫外）、E3E2（可见光）。 能吸收：E3E4（E5、E6）（红外）。【例16-7】 要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系（由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系）的最长波长

11、的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是: 【C】（A）1.5 （B）3.4（C）10.2 （D）13.6【分析】 最长波长的谱线是由E2跃迁到E1能级产生。故至少应向基态氢原子提供能使其跃迁至E2的能量：E= E2- E1=13.6-13.6/4=10.2(eV)【例16-8】 以动能为12.5eV的电子通过碰撞使氢原子激发，最高能激发到哪一级?当回到基态时能产生哪些谱线?【解】 设氢原子全部吸收12.5eV的能量后最高能激发到第n个能级，则En-E1=13.6-13.6n2把En-E1=12.5eV代入上式得n2=13.6/1.1n=3.5因为n只能取整数，所以氢原子最高能激发到n的能级，当

12、然也能激发到n=2的能级。于是能产生3条谱线：n从31 =R(n1118 -)=R91232113 -)=R41222l1=9=1026A0 8R4=1216A0 3R36=6563A0 5Rn从21 =R(n2l2=l3=n从32 =R(n3115-2)=R23623【例16-9】 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线，试求这两条谱线的波长及外来光的频率。【解】巴尔末线系是由n2的高能级跃迁到m的能级时发出的谱线，只有两条谱线说明激发后的最高能态是n的激发态，发出的巴尔末线系的谱线为：H和HE4=-13.6/42=-0.85eVE3=-13.6/32=-1.51eV

13、E2=-13.6/22=-3.4eV由得所以 hv=hcl=En-Em l=hc/(En-Em) la=hc/(E3-E2)=6573A0lb=hc/(E4-E2)=4872A0基态氢原子吸收一个光子hn后被激发到n=4的能态，所以hn=E4-E1=hc/l 第十六章 量子物理基础n=(E4-E1)/l3.08105Hz【例16-10】 （1）当n、l、ml一定时；（2）当n、l一定时；（3）当n一定时，可能的量子态有几个？【解】（1）当n、l、ml一定时，ms取1/2，故可能的量子态有2个。（2）当n、l、一定时，ms可能取2个值，ml可能取（2l+1）个值，故可能的量子态有2（2l+1）个

14、。（3）当n一定时，ml可能取（2l+1）个值，ms可能取2个值，故可能的量子态有：l=n-1l=02(2l+1)=2n2个。【例16-11】 n=2的氢原子有哪些可能的量子态？【解】 当n=2，l取值0，1。 当l=0时，ml=0，ms =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 0 0 1/2，|2 0 0 1/2。 当l=1时，ml=-1，0，1，ms =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 1 -1 1/2，|2 1 -1 1/2。ml=-1 |2 1 0 1/2，|2 1 0 1/2。ml=0 |2 1 1 1/2，|2 1 1 1/2。ml=1 共有8个可能的量子态。 【例16-1

15、2】 3d的氢原子有哪些可能的量子态？ 【解】 对3d态的电子，n=3，l=2，则ml=0，1，2。当ml=-2时：|3 2 -2 1/2、|3 2 -2 1/2当ml=-1时：|3 2 -1 1/2、|3 2 -1 1/2当ml=0时：|3 2 0 1/2、 |3 2 0 1/2当ml=1时：|3 2 1 1/2、 |3 2 1 1/2当ml=2时：|3 2 2 1/2、 |3 2 2 1/2 【例16-13】 氢原子处于第二激发态，求轨道角动量的可能取值有哪些？ 【解】 处于第二激发态的氢原子，n=3，l=0，1，2， 由L=l(l+1)h得，轨道角动量的可能取值有：L=0,2h,3h16-3原子的壳层结构【基本内容】一、泡利不相容原理、能量最小原理1、泡利不相容原理在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子处于完全相同的量子态，即在一个原子中，不可能有第十六章 量子物理基础 两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数。2、能量最小原理原子处于正常状态时，应处于能量最低的状态。能级的高低由n+0.7l确定, n+0.7l越大,能级越高.二、电子的壳层结构多电子原子体系中，电子的排布应遵循泡利不相容原理、能量最小原理。1、壳层：n相同的电子组成一个壳层。n=1，2，3，4，等壳层用K，L，M，N