系统的状态方程

1、1第 2章 系统的状态空间描述输入输出:可测量,欠全面 §2.1 基本概念 例 2.1 密封水箱1( ( , y t x t =1d ( (d ( (d c x u t y t t u t x t t =-=-即 3(m/su t211( ( ( x t x t u t cc'=-+.解tt ccx t x u c 001( e(e d -=+ . 若 ( u t r , 则0( e1e, ( ttccx t x r r t -=+- , 若想 ( x h =, 只要 ( hu t =.3例 2.2 LRC123( ( (; i t i t i t =+ ( ( (LRLCu

2、 t v t v t v t v t=+=+ 选 1( ( C i t v t 和 ; 则:11( ( ( 1( ( ( C C C Li t v t u t C v t i t v t R'=-+'=- 其余2( ( /,C i t v t R =( ( (, ( (.L C R C v t u t v t v t v t =-=t 2.2图41. 系统的状态变量状态变量 : 完全表征系统 , 个数最少的一组变量 未来 ( x t :由 0( x t 和 0t t 的 ( u t 完全确定 . 对定常 , 常取 00t =. 2. 状态向量和状态空间状态向量:12( (, (

3、, ( Tn x t x t x t x t = 状态空间:( x t 取值范围 状态轨线:( x t 的轨迹 (无时间轴 3.几点说明5(1 0( x t 和 0(, u t t t 决定 ( x t , 0t t (2 n 阶 微分方程 可引出 n 个状态变量 , 不唯一 . (3 尽选可测量 . 离散系统类似 .列写方法: 微方 , 差方 状态方程; 传函 , 流程图 状态方程 .§2.2 线性连续系统的状态空间模型状态方程 + 输出方程 ;1.一般形式n 维状态 ( x t , r维输入 ( u t , m维输出 ( y t ,状态方程 ( ( ( xt A x t B u

4、t =+ (2.3 输出方程 ( ( ( y t C x t D u t =+ (2.412( ( ( ( n x t x t x t x t = , 12( ( ( r u t u t u t u t = , 12( ( ( ( m y t y t y t y t =,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a =, 111212122212r rn n nr b b b b b b B b b b =状态矩阵 输入矩阵2122212nn m m m n c c cc c c C c c c =, 111212122212r rm m m r d d

5、 d d d d D d d d =. 输出矩阵 输入输出矩阵(1若 A 、 B 、 C 和 D 都是常数阵 , 则系统是 定常的 ; 否则为 时变的 ;(2若 1r =且 1m =, 则系统是 单变量的 ; 否则是 多变量的 简记 A , B , C , D 如水箱系统 :111, , , , , , 0A B C D c c =-.如 LRC 系统状态方程:1111( ( ( 11( ( ( C C C i t v t u t L Lv t i t v t C CR '=-+'=-,输出方程:311( ( ( C i t i t v t R=-,若 1L R C =, 则有

6、011, , 11, 0110A B C D -=-=-.2. 由 微方 状态模型 设 (1(11101n n m m n m m ya ya ya y b u b u-+=+10b ub u + (1若 m =0, 则可(1123, , , , n n x y x y x y x y-= ,得 1223(1 1(01121, , , n n n n n n n xy x x y x x y x x ya x a x a x u -=-+即1122011010000( 00101n n n xx x x u t x a a a x -=+-, 12( 10, , , Tn y t x x x

7、=.令 12( n x x x t x = , 011010000, , 00101n A B a a a -=-100C =, 0D =,则有( ( ( xt A x t B u t =+ , (2.6( ( y t C x t =.(2.7例 2.3 设 5612y y y y u +=, 试写出状态模型 . 解 令 123, , x y x y=-+ 所以11223301000010( 12651xx x x u t x x =+- ,123( 100x y t x x =.(2 1m n < (设初始条件全为 0拉变 ( ( ( Y s G s U s =, 即110( ( (

8、mm m m Y s b sb sb Ys -=+ (* 其中1101( ( nn n Ys U s s a sa -=+对应(1110, n n n ya ya ya y u -'+= 是情形 (1, 故取(1 123, , , , n n x y x y x y x y -=可得状态方程 . 改写 (*式得1101( ( mm m m Ys Y s b sb sb -=+ (*由初值性质110(0lim ( 1limlim ( 0(00s mm s s m m ysY s sY s y b sb sb -=+同理(1 (0(0(00m y y y -= ,故对 (*作逆变换(110

9、m m m m y b yb yb y-=+ 01121m m b x b x b x +=+ ,由此得1122011010000( 00101n n n xx x x u t x a a a x -=+-, ( 00, , , , , 01121Ty t bb b x x xx m n m =+(3 当 m n = 传递函数为11100110( ( ( ( n n n n n n n n n b b a s b b a Y s b U s s a s a -+-=+11100110( ( ( ( n n n n n n nn n b b a sb b a b U s U s s a sa -

10、+-=+12( ( Y s Y s =+.其中1( ( n Y s b U s =,111002110( ( ( ( n n n n n nn n b b a sb b a Y s U s s a sa -+-=+ .为情形 (2, 故200111112( , , , n n n n n Tn y t b b a b b a b b a x x x -=- ,综合得 001111( n n n n n y t b b a b b a b b a -=-12, , , Tn n x x x b u +例 2.4 求 323y y y u u ''''+=-的状态空

11、间模型 . 解 2, 1n m =,1122( ( 010( ( ( 231x t x t u t x t x t =+- , 12( ( 31( x t y t x t =-. 注 情形 (3是情形 (1和 (2的推广或说 (1和 (2都是 (3的特例 .例 2.5 设 2y t yu += . 试求状态模型 . 解 令 12, x y x y= , 则 1221, 2, xx xtx u =-+ 即112201002xx u x x t =+- , 1210x y x =.注 : 状态矩阵是时变的 .2. 传递函数 状态模型传递函数 微分方程 状态模型 . 例 2.6 设 22253( 5

12、4s s G s s s +=+, 写出其状态模型 .解 易得 54253y y y u u ''''''+=+, 由情形 (3, 得1122( ( 010( ( ( 451x t x t u t x t x t =+- , 12( ( 552( ( x t y t u t x t =-+.3. 信号流程图 状态模型 将 1 s 注 :由前图得112122xx u x x x =-+=- , 125y x x =-.注 状态模型不唯一 . 如由前 2图另得2153( 11232s G s s s s s -=-= +, 改为541/1/( 542112/11/s s G s s s ss=-=-+, 等价于下图(t u (t y易得122d 25d d 4d u tu t=-+=-+, 12y =-, 即2001A -=-, 54B =, 11C =-.又有微分方程323y yy u u +=- ,是 (2的情形 , 故12212, 23, x xx x x u =-+ 123y x x =-+ , 对应0123A =- , 01B =, 31C =- . 故原系统可有 3种数学模型 4.状态方程 传递函数 作拉变 , 并设 (0 0x =, 则sX ( s = AX ( s + BU ( s , Y ( s =