第一章 集合与函数

1、第一章 集合与函数1.1 集合的概念与运算1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：“”或“”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.3.集合的运算（1）交集：（2）并集（3）补集典例剖析1.已知集合M=x|x24，N=x|x22x30，则集合MN等于（ ）A.x|x2 B.x|x3C.x|1x2D.x|2x3解析：M=x|x24=x|2x2，N=x|x22x30=x|1x3，结合数轴，MN=x|1x2.2.已知集合A=xR|x5，B=1，2，3，4，则（RA）B等于（ ）A.1，2，3，4B.2，3，4 C.3，4D.4解析：RA=xR|x5，而5（3

2、，4），（RA）B=4.3.设集合P=1，2，3，4，5，6，Q=xR|2x6，那么下列结论正确的是（ ）A.PQ=P B.PQQ C.PQ=Q D.PQP解析：PQ=2，3，4，5，6，PQP.4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_.解析：构造满足条件的集合，实例论证.U=1，2，3，P=1，Q=1，2，则（UQ）=3，（UP）=2，3，易见（UQ）P=.答案：（UQ）P5.已知集合A0，1，BxxA，x*，CxxA，则A、B、C之间的关系是_.解析：用列举法表示出B1，C，1，0，A，易见其关系.这里A、B、C

3、是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.答案：BA，AC，BC夯实基础1.集合A=（x，y）|x+y=0，B=（x，y）|xy=2，则AB是（ ）A.（1，1）B.C.（1，1）D.1，12设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b.若AB=2，则AB=_.3.设A=x|1x2，B=x|xa，若AB，则a的取值范围是_.4.已知集合A=xR|ax2+2x+1=0，aR只有一个元素，则a的值为_.5.设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（ ）A.（IA）B=IB.（IA）（IB）=IC.A（IB）=D.（I

4、A）（IB）=IB拓展题型【1】 设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为MN=x|xM且xN，则M（MN）等于A.NB.MNC.MND.M【2】 设集合P=1，a，b，Q=1，a2，b2，已知P=Q，求1+a2+b2的值.1. 2 函数的概念1.函数的定义.x的取值范围A叫做函数的定义域； y的值叫做函数值。2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.3.映射的定义：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，典例剖析1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是A.f:xy=|x|B.f:xy= C.f:xy=3x

5、 D.f:xy=log2（1+|x|）解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+），所以f是xy=3x.2 集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.3.已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（a）等于（ ）A.b B.b C. D. 解析：f（a）=lg=lg=f（a）=b.4.函数y=的定义域是（ ）A.，1）（1，B.（，1）（1，）C.2，1）（1，2D.（2，1）（1，2）解析：x1或1x.y=的定义域为，1）（1，.5.若函数f（x）=loga（x+1）（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则a等于（ ）A. B. C. D.

6、2解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是0，1，0x1，则1x+12.当a1时，0=loga1loga（x+1）loga2=1，a=2；当0a1时，loga2loga（x+1）loga1=0，与值域是0，1矛盾.综上，a=2.夯实基础1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是（ ）A.2 B.3 C.4 D.52.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是（ ）A.10%B.15%C.18%D.20%3.设函数f（x）=则使得f（x）1的自

7、变量x的取值范围为（ ）A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，104.已知f（x）=则不等式xf（x）+x2的解集是_.5.已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于（ ）A.B.C.D.拓展题型【1】 设f（x）是定义在（，+）上的函数，对一切xR均有f（x）+f（x+2）=0，当1x1时，f（x）=2x1，求当1x3时，函数f（x）的解析式.【2】 设m=（log2x）2+（t2）log2x+1t，若t在区间2，2上变化时，m值恒正，求x的取值范围.1.3函数的表示1.函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图象法2.

8、复习目标（1）由所给函数表达式正确求出函数的定义域；（2）掌握求函数值域的几种常用方法；（3）能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；典例剖析1.若f（sinx）=2cos2x，则f（cosx）等于（ ）A.2sin2x B.2+sin2xC.2cos2xD.2+cos2x解析：f（sinx）=2（12sin2x）=1+2sin2x，f（cosx）=f（sinx）=1+2sin2（x）=1+2cos2x=2+cos2x.2.已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（ ）A. B. C.D.解析：令=t，则x=，f（t）=.f（x）=.3.函数y=的定义域为_，值域为_.4

9、 若函数f（x）=的值域为1，5，求实数a、c.解：由y=f（x）=，得x2yax+cy1=0.当y=0时，ax=1，a0.当y0时，xR，=a24y（cy1）0.4cy24ya20.1y5，1、5是方程4cy24ya2=0的两根.5.设f（x）=2x+1，已知f（m）=，求f（m）.解：f（m）=，2m+1=. 2m=1.而f（m）=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+ 2m+1=（2m）+1=（1）+1=2.夯实基础1.函数y=的值域是（ ）A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）2.如果ff（x）=2x1，则一次函数f（x）=_.3.已知f（x24）=lg，则

10、f（x）的定义域为_.4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.5.已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.拓展题型【1】 已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域. 【2】某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0

11、.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4311.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）1.4函数的单调性1.增函数、减函数的定义区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.典例剖析1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A.y=x+1 B.y= C.y=x24x+5D.y= 2.函数y=l

12、oga（x22x3），当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是（ ）A.（，3） B.（1，）C.（，1）D.（1，）解析：当x=2时，y=loga50，a1.由x22x30x3或x1，易见函数tx22x3在（，3）上递减，故函数y=loga（x22x3）（其中a1）也在（，3）上递减.3.函数y=log|x3|的单调递减区间是_.解析：令u=|x3|，则在（，3）上u为x的减函数，在（3，+）上u为x的增函数.又01，在区间（3，）上，y为x的减函数.4.有下列几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f

13、（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.解析：函数y=2x2+x+1在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的.5如果二次函数f（x）=x2（a1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.解：二次函数f（x）在区间（，1）上是增函

14、数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是，解之得a2，故f（2）2×2+11=7，即f（2）7.夯实基础1.函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（ ）A. B. C.2 D.42.设函数f（x）=loga|x|在（，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是（ ）A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）f（2）C.f（a+1）f（2）D.不能确定解析：由f（x）=且f（x）在（，0）上单调递增，易得0a1.1a+12.又f（x）是偶函数，f（x）在（0，+）上单调递减.f（

15、a+1）f（2）.3.函数y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则a的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（0，2）C.（1，2） D.（2，+）解析：题中隐含a0，2ax在0，1上是减函数.y=logau应为增函数，且u= 2ax在0，1上应恒大于零.1a2.4.如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_.5.讨论函数f（x）=（a）在（2，+）上的单调性.拓展题型【1】 讨论函数f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性.【2】.已知函数f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截

16、距相等.（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；1.5 函数的奇偶性1.奇函数： f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，则称f（x）为奇函数.2.偶函数： f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（，+）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之

17、和.典例剖析1.下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（a，a）.2.已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是（ ）A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.3.若偶函数f（x）在区间1，0上是减函

18、数，、是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（ ）A.f（cos）f（cos）B.f（sin）f（cos）C.f（sin）f（sin）D.f（cos）f（sin）解析：偶函数f（x）在区间1，0上是减函数，f（x）在区间0，1上为增函数.由、是锐角三角形的两个内角，+90°，90°.1sincos0.f（sin）f（cos）.4.已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有a12a，得a.又对于所给解析式，要使f（x）f（x）恒成立，应b0.5.给定函数:y=（x0）；y=x2+1；y=2x；y=l

19、og2x；y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.夯实基础1函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；1（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x取值范围.2.定义在区间（，+）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间0，+）上的图象与f（x）的图象重合，设ab0，给出下列不等式，其中成立的是（ ）f（b）f（a）g（a）g（b）f（b）f（a）g（a）g（b）f（

20、a）f（b）g（b）g（a）f（a）f（b）g（b）g（a）A. B. C. D.2.函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在1，0上是减函数，那么f（x）在2，3上是（ ）A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数3.已知f（x）是奇函数，当x（0，1）时，f（x）=lg，那么当x（1，0）时，f（x）的表达式是_.4.函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=h（x）=tan2x中，_是偶函数.5.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.拓展题型【1】已知f（x）x（）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）0.【2】函数f（x）=（a、

21、b、cZ）是奇函数，又f（1）=2，f（2）3，求a、b、c的值.1.6 反函数1.反函数定义：用y把x表示出来函数叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.2.互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域.典例剖析1.函数y=（x1）的反函数是（ ）A.y=1（x0）B.y=+1（x0）C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）解析：y=（

22、x1）x+1=x=1.x、y交换位置，得y=1.2.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为（ ）A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）解析：函数y=log2（x+1）+1（x0）的值域为y|y1，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y11.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为y=2x11（x1）.3.函数f（x）=（x）的反函数（ ）A.在，+）上为增函数B.在，+）上为减函数C.在（，0上为增函数D.在（，0上为减函数解析：函数f（x）=（x）的值域为y|y0，而原函数在，+）上是减函数，所以它的反函

23、数在（，0上也是减函数.4.函数f（x）=x2（x（，2）的反函数f1（x）=_.5.若函数f（x）=，则f1（）=_.解法一：由f（x）=，得f1（x）=.f1（）=1.解法二：由=，解得x=1.f1（）=1.夯实基础1设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ ）A.0，+） B.（，0C.0，2）D.（2，02求函数f（x）=的反函数.3已知函数f（x）是函数y=1（xR）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个

24、不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.4.4函数y=+1（x1）的反函数是（ ）A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）5.若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.拓展题型1.已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_.2.已知函数f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.1.7

25、指数与指数函数1.指数a=（a0，m、n都是正整数，n1）.a=（a0，m、n都是正整数，n1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（3）指数函数的性质定义域：R.值域：（0，）.过点（0，1），即x=0时，y=1.当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数.典例剖析1下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc解法一：当指数函数底数大于1时，图象上

26、升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得ba1dc.解法二：令x=1，由图知c1d1a1b1，ba1dc.2 已知2（）x2，求函数y=2x2x的值域.解：222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得4x1.又y=2x2x是4，1上的增函数，2424y221.故所求函数y的值域是，.3 要使函数y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范围.解：由题意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立.又=（）2x（）x=（）x+2+，当x（，1时值域为（，a.4.若函数y=ax+b1（a0且a

27、1）的图象经过二、三、四象限，则一定有（ ）A.0a1且b0B.a1且b0C.0a1且b0D.a1且b0解析：作函数y=ax+b1的图象.5.）若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.解析：数形结合.由图象可知02a1，0a.夯实基础1.已知f（x）=ax，g（x）=logbx，且lga+lgb=0，a1，b1，则y=f（x）与y=g（x）的图象A.关于直线x+y=0对称B.关于直线xy=0对称C.关于y轴对称D.关于原点对称2.函数y=（）的递增区间是_.3.化简（a0，b0）的结果是_.4.满足条件m（mm）2的正数m的取值范围是_.5.函数

28、f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（ ）A. B. C.2 D.4拓展题型【1】已知9x10·3x+90，求函数y=（）x14（）x+2的最大值和最小值.【2】 若60a3，60b5.求12的值.1.8 对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:loga（MN）=logaM+logaN. loga=logaMlo

29、gaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）对数换底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=logax（a0，a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）.（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质:定义域：（0，+）.值域：R.过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a1时，在（0，+）上是减函数.典例剖析1已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为（ ）A. B. C. D. 剖析：32+log234，3+log234，f

30、（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=.2.若f 1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f 1（x）的值域为_.解析：f 1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域.由f（x）=lg（x+1）的定义域为（1，+），f 1（x）的值域为（1，+）.3.已知f（x）的定义域为0，1，则函数y=flog（3x）的定义域是_.解析：由0log（3x）1log1log（3x）log3x12x.4.若logx=z，则x、y、z之间满足（ ）A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xzD.y=zx解析：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.5.已知1mn，

31、令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则（ ）A.abcB.acbC.bacD.cab解析：1mn，0lognm1.logn（lognm）0.夯实基础1.若函数f（x）=logax（0a1）在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）A. B. C.D.2.函数ylog2ax1（a0）的对称轴方程是x2，那么a等于（ ）A. B.C.2 D.23.设f 1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若1+ f 1（a）1+ f 1（b）=8，则f（a+b）的值为（ ）A.1B.2C.3D.log234.方程lgx+lg（x+3）=1的解x=_.5.求

32、函数ylog2x的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.拓展题型【1】 求函数y=2lg（x2）lg（x3）的最小值.【2】在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1x21时，能使f（x1）+f（x2）f（）成立的函数是A.f1（x）=xB.f2（x）=x2C.f3（x）=2xD.f4（x）=logx1.9 函数的最值求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（

33、y）=0，则在a（y）0时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）·c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.（6）函数的单调性法.典例剖析1某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001

34、m）解：由题意得x·y+·x·=8，y=（0x4）.于是，框架用料长度为L=2x+2y+2（）=（+）x+2=4.当且仅当（+）x=，即x=84时，等号成立.此时，x2.343，y=22.828.故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.2 设f（t）=g（t）=t+（0t40，tN*）.求S=f（t）g（t）的最大值.解：当0t20时，S=（t+11）·（t+）=（t+22）（t43）.=10.5，又tN，t=10或11时，Smax=176.当20t40时，S=（t+41）（t+）=（t41）（t43）.t=20时，Smax=161.综上

35、所述，S的最大值是176.3 设0a1，x和y满足logax3logxalogxy3，如果y有最大值，求这时a和x的值.解：原式可化为logax3，即logayloga2x3logax3（logax）2，知当logax时，logay有最小值.0a1，此时y有最大值a.根据题意有aa.这时xa（）.4.函数f（x）=的最大值是A. B. C. D.解析：1x（1x）=1x+x2=（x）2+，f（x）=，f（x）max=.5.若x2+y2=1，则3x4y的最大值为A.3B.4C.5D.6解析：x2+y2=1，可设x=cos，y=sin.3x4y=3cos4sin=5sin（+）5.夯实基础1.若奇

36、函数f（x）在a，b上是增函数，且最小值是1，则f（x）在b，a上是 A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1C.减函数且最小值是1D.减函数且最大值是12.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_.3.设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=（sinx+cosx）；f（x）=；f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|.其中是F函数的序号为_.4.

37、函数y=（x0）的值域是_.5.求函数y=|x|的最值.拓展题型【1】 已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（1）=5，求f（x）的解析式.解：f（3）=f（1），抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=2.f（x）=2（x1）2+13=2x2+4x+11.【2】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切xR，都有f（x+2）=f（2x），f（x+7）=f（7x）.（1）若f（5）=9，求f（5）的值；（2）已知x2，7时，f（x）=（x2）2，求当x16，20时，函数g（x）=2xf（x）的表达式，并求出g（x）的最

38、大值和最小值.1.10 函数的应用解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：将所得结果再转

39、译成具体问题的解答.典例剖析1 （1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则ya（1p%）x（x*且xm）.（2）设成本经过x年降低到y元，则ya（1p%）x（x*且xm）.2 “依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入800元，税率见下表

40、：级 数全月纳税所得额税 率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%9超过10000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示13级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于A.800900元B.9001200元C.12001500元D.15002800元（1）解：依税率表，有第一段：x·5%，0x500，第二段：（x500）×10%+500×5%，500x2

41、000，第三段：（x2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000x5000，即f（x）= （2）解：这个人10月份应纳税所得额x=3000800=2200，f（2200）=0.15×（22002000）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在13001400元之间，故选C.解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+

42、200×10%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.答案：C3 某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元（千瓦·时）至0.75元（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元（千瓦·时）.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注：收益实际

43、用电量×（实际电价成本价）解：（1）设下调后的电价为x元（千瓦·时），依题意知用电量增至a，电力部门的收益为y（a）（x0.3）（0.55x0.75）.（2）依题意有整理得解此不等式得0.60x0.75.答：当电价最低定为0.60元（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.4在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该

44、人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由.剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为cn=1270+230n2000×1.05n1，需要转化为cncn1，cncn+1，则cn最大.解：（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230

45、15;（n1）（nN*），bn=2000·（1+5%）n1（nN*）.（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+a10）=304200（元）；若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+b10）301869（元）.因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.（3）问题等价于求cn=anbn=1270+230n2000×1.05n1（nN*）的最大值.当n2时，cncn1=230100×1.05n2.当cncn10，即230100×1.05n20时，1.05n22.3，得n19.1.因此，当2

46、n19时，cn1cn；当n20时，cncn1.c19是数列cn的最大项，c19=a19b19827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.5.（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学

47、知识解决实际问题的能力.（1）解：依题意得第x年该村的工农业生产总值为（3180+60x）万元，而该村第x年的人口总数为（1480+ax）人，y=（1x10）.（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1x10内，y=f（x）为增函数.设1x1x210，则f（x1）f（x2）=.1x1x210，a0，由f（x1）f（x2），得888003180a0.a27.9.又aN*，a=27.解法二：y=（）=1+，依题意得530，a27.9.aN*，a=27.答：该村每年人口的净增不能超过27人.夯实基础1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价A.10% B.9% C.11% D.11%

48、3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3B.4C.6D.124.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为_.5.建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元米2，池底造价为2a元米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为_，定义域为_.底边长为_ m时总造价最低是_元.拓展题型【1】.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v0）.（1）在该时段内

49、，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【2】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆，出厂价为1.2万元辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0x1），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润（出厂价投入成本）×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?1.11 函数的综合问题函数的综合应用主要体现在以下