第一章集合与函数概念复习课之国庆前实验班选讲

1、第一章 集合与函数概念知识网络 集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系二： 集合间的基本关系三：集合的基本运算重、难点突破重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将

2、导致求解错误： 问题：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. 正解 C； 显然，故(3)Venn图和数轴是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即4集合的运算性质（1）；（2）；（3）交、并、补集的关系；热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征例1（2008年江西理）定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为（ ）A0；B2；C3；D6解题思路根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素解析：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合

3、运算知=，故应选择D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系例2数集与之的关系是（ ）A；B； C；D解题思路可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举

4、反例。新题导练 1 (2006山东改编）定义集合运算:,设集合,则集合的所有元素之和为 解析18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为182研究集合，之间的关系考点二：集合的基本运算 8集合,且,求实数的值.解析 ；先化简B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时.故所求实数的值为.备选例题1：已知，则中的元素个数是（ ）A. ；B. ；C.；D.无穷多个解析选A;集合表示函数的值域,是数集,并且,而集合表示满足的有序实数对的集合,即表示圆上的点,是点集。所以，集合与集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的个数为0误区分析在解答过程中易出现直线与圆有两个交点误选

5、C；或者误认为中，而中，从而有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。UBA基础巩固训练：1 （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A；B；C；D解析C；图中阴影部分表示的集合是，而，故综合提高训练：6,则下列关系中立的是( ) A; B;C;D解析A；当时，有，即；当时，也恒成立，故，所以7.设，记，则( )A. ; B.; C. ; D. 解析 A；依题意得，所以，故应选A8（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则A×B等于（ ）A；B；C；D解

6、析D；，A=0，2，B=（1，），AB=0, ），AB=（1，2，则A×B第2讲 函数与映射的概念知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：(2)函数的定义域、值域(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2映射的概念重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数的定义域为，求的定义域误解因为函数的定义域为，所以，从而故的定义域是正解因为的定义域为，所以在函数中，从而，故的定义域是即本题的实质是求中的范围问题2：已知的

7、定义域是，求函数的定义域误解因为函数的定义域是，所以得到，从而，所以函数的定义域是正解因为函数的定义域是，则，从而所以函数的定义域是即本题的实质是由求的范围即与中含义不同2 求值域的几种常用方法：观察法、配方法、基本函数法、换元法、图象法热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域题型2：求抽象函数的定义域题型3；求函数的值域例4已知函数，若恒成立，求的值域解题思路应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域解析依题意，恒成立，则，解得，所以，从而，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函

8、数的单调性求函数的最值。新题导练 函数对于任意实数满足条件，若则f(f(5)=_。4定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )A；B；C；D无法确定 解析 B；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的例题5 函数的值域为1，4，求实数a、b的值5(2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义域是 解析 ；因为的定义域为，所以对，但故6(2008江西理改)若函数的值域是，则函数的值域是 解析 ；可以视为以为变量的函数，令，则，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2考点三：映射的概念8若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合

9、B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.解析 a=2，k=5，A=1，2，3，5，B=4，7，10，16；f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2） aN，方程组（1）无解.解方程组（2），得a=2或a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.基础巩固训练：5（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则中，构成从集合A到集合的映射是（ ）ABCD解析D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合的映射是

10、D6（09年执信中学）若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）A；B； C；D解析B；因为函数即为，其图象的对称轴为直线，其最小值为，并且当及时，若定义域为，值域为，则综合提高训练：9设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有 个整数解析；因为，可见，在(是正整数)上是增函数，又所以，在的值域中共有个整数第3讲 函数的表示方法知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握

11、求函数的解析式的一般常用方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；问题1已知二次函数满足，求方法一：换元法令，则，从而所以方法二：配凑法因为所以方法三：待定系数法因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出问题2：已知函数满足，求因为以代得由联立消去得热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数考点2：用列表法表示函数例2 （07年北京）已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的

12、关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。新题导练4（04年江苏改编）二次函数（R）的部分对应值如下表：3210123460466406则不等式的解集是 解析 ；由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为2和3，又根据且可知，所以不等式的解集是考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例3 （04湖北改编）已知=，则的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法解析 令，则， .故应填题型2：求二次函数的解析式 例4 （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数满足，且。求的解析式；在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围

13、。解题思路（1）由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。解析设，则与已知条件比较得：解之得，又，由题意得：即对恒成立，易得【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。新题导练7（华侨中学09届第3次月考（09年中山）设 ，又记则 （ ）A；B；C；D；解析 C；由已知条件得到，可见，是以4为周期的函数，而，所以，8设二次函数满足,且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求的解析式。解析 ；设f(x)=ax2+bx+c，由f(x)满足f(

14、x2)=f(x2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=2，所以由y=f(x)图象在y轴上的截距为1，可得，即c=1由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为，可得所以联立方程组，可解得所以f(x)=.转化化求解析式例 设f(x)是定义在（- ，+ ）上的函数，对一切xR均有f(x)= -f(x+2)，当时，f(x)=2x-1，求当时，函数f(x)的解析式。参考答案f(x)=-2x+5（）练.设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x1时，f(x)=(x+1)21,则x>1时f(x)等于( )BA f(x)=(x+3)21B f(x)=(x3)21C f(x)=(x3)2+1D f(

15、x)=(x1)21考点4：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式题型2：由分段函数的解析式画出它的图象例6 (2006·上海)设函数，在区间上画出函数的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 ,如右上图.【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。新题导练9（09年潮州金山中学）已知函数，则 解析 2；由已知得到28定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（3）= 备选例题2：（06重庆）已知定义域为R的函数满足 （

16、I）若，求;又若，求; （可以不要求）（II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 基础巩固训练：1（09年广州高三年级第一学期中段考）函数的图象如图2所示.观察图象可知函数的定义域、值域分别是（ ）O-52625图2A.,；B. C.,；D.解析 C；由图象可以看出，应选择C2（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot解析 B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，选B4（05江苏）已知为常数，若，则= 解析 2；因为，所以又，所以，解得或，所以6（中山市09届高三统测）已知函数 其中， 。作出函数的图象；解析 函数图象如下：说明：图象过、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段综合提高训练：8（06重庆）如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ）解析 D；如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的