杆梁系统非线性弹性定律的研究

1、 杆梁系统非线性弹性定律的研究李裕信湖南省长沙市邮政局,湖南长沙(410001E-mail :摘 要:本文基于 Hencky 指数形式弹性定律、应力应变的因果迭代关系以及拉压的泊松 效应等三方面的规律,综合得出一个非线性弹性定律,它能很好地描述弹性杆梁的应力应 变的变化规律,明确提出它所受到的两个自然限制;讨论了材料弹性的非线性特性。文章 还以直梁的简单弯曲为例对定律的运用作了具体的说明。关键词:非线性弹性定律,应力与应变,泊松效应,因果迭代,简单弯曲 中图分类号:O3 文献标识码:A引言:已经有了许多不同形式的非线性弹性定律,它们都能在一定范围内正确地描述弹性体 的应力应变关系。但大多没有考

2、虑应力应变因果相互迭代规律,计算结果也比较复杂。本 文着眼于简单、完整、实用,从 Hencky 指数形式弹性定律、纵向横向变形关系的 Poisson 定律以及因果迭代原理出发,提出用一对非线性的相互迭代的方程组作为材料力学中的弹 性定律。还根据新的定律探讨了杆梁弹性体新的特性,指出新定律在工程计算中的运用方 法。1. Hencky弹性定律是弹性体应变随应力变化的规律:常用的弹性定律是以线性的 Hooke 定律为基础的。 但是 Hooke 定律只适用于小变形的 弹性过程,大变形的弹性力学过程却明显地偏离 Hooke 定律所描述的特征:弹性杆件简单 拉压的应力 应变图不是一条直线;在拉伸过程中,应

3、力与应变同步增加到一定程度后, 应力 变得比较稳定;而压缩过程的应变 (相对变形不可能达到 -1。能够描述这种特 性的最常用的方法是采用 Hencky 指数形式(或称对数形式的弹性定律,即认为:21式。式(弹性定律应写成指数形 。从这种意义上说, ,才产生一定的应变 的应力 变形是“果”。有一定 生,力是“因”, 力和应变都是由内力产 。需要明确的是,应 见图 形 对变 的规律产生相应的相 一定时,就会按(式表示当 从因果关系考虑, 或写为: (; ,而 真 真 2Hencky 1. 1.(2 2( 2.(. . . . . . . . 1e . . . 1. . . 1(E.ln . . 1

4、(ln lll ln l dl E E ll l=+=+=+=+2. Poisson效应的实质是确定了应力随应变变化的规律: 也的变化会引起横向尺寸 在拉压时,杆长 效应的实验定律,直杆 根据 为内力; ; ,横截面为 如图 面直杆,变化。例如,对于圆截 内力一定时,必然引起 积发生相应的变化,当 面 的变化会使杆件的横截 变化。事实上, 的变化又会引起 变化,反过来, 的 的变化会引起 是相互的。 :应力应变的因果关系 一个十分重要的事实是 r l Poisson dFFP d P F Prdr . 2dF , r . F 2. 22=。比”,实验已测得 即为“ 。 发生变化而且. 5. 0

5、. . 0Poisson . . l dl rdr. 34=µµµ是“果”。是“因”而 变化的规律。在这里, 随 这就是 即 即 ; ,即:即 故 µµµµµµ. . 3.(. . . . . . . . . 1(l l l l l . l lln . 2ln . l dl2d ., l dl 2r dr 2r . rdr . 2F dF F P -dF F P d 2020002000022+=+=下面的图一描绘了 随 的变化规律; 图 2.1则用于解释 Poisson 系数的意义。 确定了 Poiss

6、on 系数的具体数值后,就能绘出 随 变化的图线。 43 3. 完整的弹性定律是一对相互迭代的非线性方程组:本文认为非线性(2 (3两式的方程组,是适用于杆梁系统的完整的弹性定律。它们是 +=µ20E 1(1e这两个方程的迭代过程就是真实的弹性过程:当杆件受外力作用时产生内力 P ,产生初始1e,. e FP 1(. . 3. . . 1e 2. FPE11EFP . 2200100EFP 0001=+=µµ的出现,再引起产生 变为 由 式使 又据(的产生 而 , 式产生 的产生,根据(由于 应力 如此反复迭代下去,直到(2 (3的公共解值为止。这就是实际的弹性过

7、程。当取 Poisson 系数 µ=0.25时,迭代方程组变为:. 4.(. . . . . . 1(1e 020E +=+=µ 下面图 3.1就是方程组(4的迭代过程示意图线。此图的 的正半平面上的图线表示 拉伸过程,而 的负半平面上的图线表示压缩过程。两个方程的曲线交点,即过程的稳定 点。稳态时的 与 记为 . c c 和 , 它们满足. c 0+=E.ln(1+c ,而且cc 0c 0c +E.ln(1. . . +E.ln(1. +=+=而 。 值得注意,弹性定律必须能反映弹性过程所受到的两个自然限制条件:一个是 不能 小于 -1;另一个是 与 的正负符号必须相同。

8、即 与 的迭代弹性过程只存在 -平面 的的一、三象限中,一象限中的曲线描述拉伸过程;三象限中的曲线描述压缩过程。方程 组 (4 的第一个方程已经反映了 不能小于 -1这个限制条件, 它也能满足 与 的正负符 号必须相同的条件; (4的第二个方程也能反映这种限制条件。只需将(4的第二个方程 限制只取一、 三象限的部分。 所以方程组 (4 完全能反映弹性过程所受到的两个自然限制 条件。不过,此时它的第二个方程的右边应加上一个附加条件:. >0。即(4式应写为:4a .(. . . . . 0.(. 1(1e . 0020E >×+=+=µ图三就是(4a 式表示的理想

9、弹性杆件的拉压的迭代弹性过程示意图。图中曲线 1表示曲 线1e E =;曲线 2表示曲线 µ20 1(+=。7(. E EE /E E E 1(Eln 6.(. . . . . . . . . . . E . 5.(. 1E 1E +E.ln(1. 1(ln . 83211.; 32 1(ln 1. 000000cc c c 0c c c cc c c c 0232=+=+=+=+=+=+=+<<而稳态时应力 或 ,于是 即 。而 时, 注意,当24833 1(ln 1(ln 333=+的误差不大于 代替 用 。(; 时,重要的关系式有:比 当 ; ; 或 它们是:,代弹

10、性过程的物理条件 之间的关系式来描述迭 、 、稳态时的应力与应变 、初始应力外,还可用弹性模量 除了方程组(时 比 因此,当 程中允许的。 不到万分之五。这是工 相对误差也只有 达到 。即使应变 亦即相对误差 241c c0cc c 00c c c c 00c c c 0c c 0423/24µ+=+=+=+=×=4. 新定律的运用实例(直梁简单弯曲的分析 :如下图 4.1所示的矩形梁,梁宽 b 、梁高 h ,受弯矩 M 的作用,可以列出下列方程54:取前三项,展开 即得(综合(即 上式成为考虑到 式可得 的垂直平分线。再由(轴必是边 式可确定 式的位置。同样,由(满足 一

11、定位于使 即中性轴 或 或或写为 ,式变为:则(代入(且 及 梁稳态时物理条件:(几何条件:平衡条件:. 2h h 1e Ebh M 2h 1e h. 1413 14.(. EbhM2h . bE M 22-h h . 0, yln(. y . bE M y (ln . y (2y y y 12b oy 9. 13(. oz 13.(. 1e h. , h ln . h . , 0yln(. y .0dy y 1b dy b y Ey812bdy, dF ,. dF dF 12.(. . . . . E . 1E . 11.(. . . . . . . y-y 10.(. . . . . . . . . M dF . y . . . 9.(. . . . . . . . . 0dF z . . . (8. . . . . . .