dsp7_无限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法

1、第7章 无限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法7.1 线性相位FIR数字滤波器的特点7.2 FIR数字滤波器的窗函数设计法7.3 频率抽样法设计FIR数字滤波器7.4 IIR和FIR数字滤波器的比较7.1 线性相位FIR数字滤波器的特点7.1.1 FIR数字滤波器具有线性相位的条件对于离散线性时不变系统，系统频率响应 可表示为()jH e()()()( )()( )jjjjHjz eH eH zH eeHe 其中 称为滤波器的幅度响应， 称为相位响应。( )()jHH e( )()H 幅度响应反映了滤波器对信号通过该滤波器后各频率成分衰减的强弱，而相位响应则反映了各频率成分通过滤波器时间上延时

2、的多少。滤波器具有线性相位是指相位响应 与频率 呈线性关系，满足：( ) 或者( ) ( ) 其中都是常数。当( )dd 也标志滤波器具有线性相位。对于FIR滤波器，设其单位冲激响应为h(n)，长度为N，则10( )( )NnnH zh n z对应的系统函数为：下面讨论有限长单位冲激响应h(n)为实序列，并关于(1)/2N 偶对称或者奇对称两种情况的相位特性。1. 有限长单位冲激响应h(n)为偶对称1100( )(1)( )( )(1)NNnnnnh nh NnH zh n zh Nn z 11(1)(1)(1)100( )( )( )()NNN mNmNmmH zh m zzh m zzH

3、z1mNn令则有1(1)1(1)011( )( )()( )22NNnNnnH zH zzH zh n zzz1111()22201( ) ()2NNNNnnnzh nzz 因此，系统的频率响应()jH e11()201()( )( )cos() 2jNNjjz enNH eH zeh nn幅度响应：101( )( )cos() 2NnNHh nn相位响应：1( )2N 2. 有限长单位冲激响应h(n)为奇对称( )(1)h nh Nn 幅度响应：101( )( )sin() 2NnNHh nn 相位响应：1( )22N 结论：当FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为实序列，具有偶对称性或者奇对

4、称，那么该FIR滤波器具有线性相位特性。7.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点1. h(n)偶对称，N为奇数101()( ) cos()2NnNHh nn由于N为奇数,中间项为 , ,12Nn1cos()12Nn32011()()2 ( ) cos()22NnNNHhh nn其余项偶对称 ,12Nmn令32011()()2 () cos22NmNNHhhmm111(0)(),( )2 (),1, 2222NNNaha nhnn令120()( ) cosNnHa nn 关于 偶对称，可实现任意形式滤波器。()H0, 202022. h(n)偶对称，N为奇数/ 211()( ) cos()

5、2NnHa nn02FIR滤波器的幅度响应如右图所示。幅度响应具有以下特点：(1)当 时， 对 呈奇对称，(2)对 呈偶对称。( )0H( )H0,2因此，具有h(n)偶对称，N为偶数的FIR滤波器不能用于高通滤波器或者带阻滤波器。3. h(n)奇对称，N为奇数(1) / 21()( )sin()NnHa nn幅度响应 具有以下特点：(1)当 时，(2) 对 呈奇对称。因此，具有h(n)奇对称，N为奇数的FIR滤波器只能实现带通滤波器。0, ,2( )0H( )H0, ,24. h(n)奇对称，N为偶数/ 211()( )sin()2NnHa nn( )H幅度响应 具有以下特点：(1)当 时，

6、(2) 对 呈偶对称。因此，具有h(n)奇对称，N为偶数的FIR滤波器不能实现低通、带阻滤波器。0,2( )0H( )H( )H0,2对呈奇对称7.1.3 线性相位FIR数字滤波器零点分布特点线性相位FIR滤波器的系统函数：(1)1( )()NH zzH z 线性相位FIR数字滤波器零点分布特点：互为共轭对称0RezImzj*zzz1*1z线性相位FIR滤波器零点分布图7.2 FIR滤波器的窗函数设计法7.2.1 设计原理1.根据滤波器技术要求直接设计一个理想数字滤波器的频率响应。2.求具有上述频率响应的滤波器对应的冲激响应序列理想频率响应的滤波器具有矩形频率特性，因而其时域响应为无限长的。3

7、.将求得的冲激响应序列截短，并使之具有对称性。下面以低通滤波器为例说明设计过程理想低通数字滤波器的频率响应为|()0|jjcdceHe式中 表示群延时，其单位冲激响应为：sin()1( )2()ccjjncdnhneedn n)(nhd0从上式可以看出，理想低通滤波器的单位冲激响应 是无限长非因果序列，且具有偶对称性，其中心点在 如下图所示。( )dh n理想单位冲激响应用一个有限长的窗函数序列（比如说矩形窗）来截取( )dh n( )( )( )dh nw n h n截取后的实际单位冲激响应h(n)如下图所示，它是一个以 12N为对称点的对称图形。实际单位冲激响应这时FIR滤波器的频率响应为

8、：1100()( )( )NNjj nj ndnnH eh n eh n e从上式中可以看出，FIR滤波器的频率响应实际上是的傅里叶级数的有限项之和，所以窗函数法也称为傅里叶级数法，显然，N越大， 和 的差别就越小，但所需的计算量就越大。()jdHe()jdHe()jH e7.2.2 窗函数设计法的截断效应根据卷积定理可知，时域相乘则频域相卷，实际FIR滤波器的频率特性应为：()1()()()()()*2jjjjjddRH eHeWeHeWed 式中 是窗函数w(n)的傅里叶变换()jW e11()201sin(/2)()( )1sin(/2)Nj NNjjj njRjneNW eeeWee对

9、于理想低通滤波器：()( )jjddHeHe为了保证截取的h(n)中心对称，需保证其相移 满足12N()()()()*1( )()21( )()2()jjjdjjdRjdRjH eHeW eHeWedeHWdeH 实际滤波器的频率响应为：说明：1.加窗后的滤波器仍然具有线性相位； 2.加窗后滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的 幅度特性 与矩形窗的幅度特性 的卷积， 即( )H( )RW1( )( )()2dRHHWd理想滤波器幅度特性窗函数幅度特性卷积结果 卷积情况c 卷积情况2cN 卷积情况2cN加窗处理的影响:1.理想频率特性的边沿形成过渡,宽度近似为窗函数频率响应的主瓣宽度。2.在截止

10、频率 的两边， 出现最大肩峰。幅度取决于窗函数幅度特性旁瓣的相对幅度。波动的次数取决于旁瓣的个数。c( )H3.改变截取长度N，仅能改变过渡带的宽度。不能改变 的肩峰相对值。称为吉布斯现象。( )H7.2.3 常用窗函数及其选择原则1. 主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带。窗函数选择要求：2. 最大旁瓣相对主瓣值尽可能小，改善通带平稳度和增大阻带衰减。常用窗函数：1.矩形窗窗函数：( )( )Nw nRn12()()NjjRRWeWesin2()sin2RNW频率响应：2.三角窗窗函数：频率响应：21012( )212112BrnNnNwnnNnNN1122221sin()sin()2244()1

11、sinsin22NNjjjBrNNWeeeNN3.汉宁窗（升余弦窗）12( )1cos()( )21HanNnwnRnN窗函数：频率响应：12()()NjjHanHanWeWe1N时，频率响应的幅度函数近似为22()0.5()0.25()()HanRRRWWWWNN4.海明窗（改进升余弦窗）窗函数：2( )0.540.46 cos()( )1HamNnwnRnN频率响应：12()()NjjHamHamWeWe时，频率响应的幅度函数近似为1N22()0.54()0.23()()HamRRRWWWWNN为了便于比较和设计时参考，下表归纳常用窗函数的基本参数：窗类型窗谱特性指标加窗后滤波器性能指标旁

12、瓣峰值dB主瓣宽度最小阻带衰减dB过渡带宽矩形窗-13-210.9三角窗-25-252.1汉宁窗-31-443.1海明窗-41-533.34 / N8 / N8 / N8 / N2 / N7.2.4 窗函数设计步骤(1)首先由给定滤波器的理想频率响应 ，利用傅里叶拟变换，求理想滤波器的单位冲激响应 即：()jdHe( )dh n1( )()2jjnddhnHeed(2)根据过渡带以及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口的大小。(3)计算滤波器的单位冲激响应( )( )( )dh nhn w n(4)检验设计出的数字滤波器是否满足技术指标。例7-1 设计一个线性相位FIR数字低通滤波器，

13、通带截至频率 ，阻带起始频率 ，阻带衰减不小于50dB，抽样频率321.5 10/prad s 323 10/srad s 15cfkHz解: (1)由模拟滤波器指标求数字滤波器指标：通带截至频率：/0.2pppcTf 阻带起始频率：/0.4ssscTf (2)确定理想线性相位数字低通滤波器的频率响应|()0|jjcdceHe()jdHe其对应的数字频率1()0.32cps利用序列傅里叶变换拟变换，可求得理想低通滤波器的单位冲激响应：()11( )()22ccjjnjnddhnHeededsin()()cnn(3)由阻带衰减来确定窗形状，由过渡带确定N由于 ，查表可知，选择海明窗其阻带最小衰减

14、53dB满足要求。所要求的过渡带宽50sdB0.2sp6.6N由于海明窗过渡带宽满足所以6.6133,162NN(4)由海明窗表达式确定FIR滤波器的h(n)。海明窗函数序列为：2( )0.540.46 cos()( )1HamNnwnRnNsin0.3 (16)2( )( ) ( )0.540.46cos()( )(16)1dNnnh nh n w nRnnN(5)由h(n)求 ，检验各项指标是否满足要求，如不满足可改变N，或改变窗函数形状来重新计算。()jH e7.3 频率抽样法设计FIR滤波器7.3.1 设计原理2.根据傅立叶变换的特性，N点频响采样通过傅立叶反变换成N点时域序列，即为F

15、IR滤波器时域冲激响应( )h n1.对理想滤波器频响进行N点采样设序列h(n)长度为M，H(z)=Zh(n)，在单位圆上等间隔抽样N点，得到2( )(),0,1,.,1jkNH kH ekN只要抽样点数N与序列长度M满足 ，则M个频域抽样值H(k)能够不失真地代表该有限长序列h(n)，NM101( )( )( ),0,1,.,1NnkNkh nIDFT H kH k WkNN由此可见，只要知道FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)的长度N，频率响应函数在 上的N点等间隔抽样就可以确定滤波器的单位冲激响应h(n)或者系统函数H(z)其滤波器的频率响应 为0,2 ()jH e101( )()(

16、)1jjNNjkjz ekNeH kH eH zNWe因此，频率抽样法就是根据频域抽样理论，将待设计的滤波器的频率响应 ，在 到 之间进行等间隔抽样N点，得到 ，即()jdHe0( )dHk2( )()jddkNHkHe0,1,.,1kN然后再利用2( )()jkNH kH e求得H(k)和h(n)以及()jH e7.3.2 频率抽样法的优化设计 在频率采样点上，实际滤波器频率响应与理想滤波器频率响应的数值严格相等。在频率采样点之间，实际滤波器频率响应由各采用点的加权插值形成，与理想滤波器频率响应存在误差。理想滤波器频率响应变化越平缓，插值结果与实际频响曲线越接近。增加采样点可以减小插值误差。

17、优化措施：在实际的设计过程中，通常在理想频率响应不连续点的边缘增加一些过渡的抽样点，一般增加13个。7.3.3 线性相位与抽样的约束1.频率抽样的两种方法第一种：起始点在0第二种：起始点在N2. 线性相位的约束(1)第一类线性相位FIR滤波器，h(n)=h(N-1-n)，N为奇数( )( )( )jkdHkH k e( )()H kHNk1( )NkkN 0,1,.,1kN0,1,.,1kN0,1,.,1kN(2)第二类线性相位FIR滤波器，h(n)=h(N-1-n)，N为偶数( )()H kHNk 1( )NkkN 0,1,.,1kN0,1,.,1kN幅度值：相位值：幅度值：相位值：(3)第

18、三类线性相位FIR滤波器，h(n)=-h(N-1-n)，N为奇数( )()H kHNk 0,1,.,1kN幅度值：1( )2NkkN 0,1,.,1kN相位值：(4)第四类线性相位FIR滤波器，h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数( )()H kHNk0,1,.,1kN幅度值：1( )2NkkN 0,1,.,1kN相位值：7.3.4 频率抽样法的设计步骤(1)根据理想滤波器性能指标，计算在通带和阻带中的抽样点数，确定滤波器冲激响应的对称性。(2)根据单位冲激响应 的对称性，计算抽样点的幅度( )h n( )H k( )k和相位 。(3)由 求 ()( )( )jkdHkHk e( )( )dh nIDFT Hk10( )1()( ) |1jjNNjdkjzekNHkeH eHzNWe(4)检验是否满足设计要求,若不满足,修改抽样点参数,重复(1)、(2)、(3)步计算直至满足要求。例7-2 利用频率抽样法设计线性相位低通滤波器，单位冲激响应满足h(n)=h(N-1-n)，幅度相应为1()0jcdHe其他要求截止频率 ，抽样点数N=33。讨论过渡点数以及过渡点的取值大小对滤波器的影响。c/2解： (1)首先确定截止频率所处的位置。因为抽样点数N=33，抽样间隔 ，