西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 两个随机变量的函数的分布

1、二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人 g 为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机

2、变量函数的分布 012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),( 例例1.)(,)(的分布律的分布律求求 21概率概率),( )2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122 3 2 1 23 21 13 101252353结论结论的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量,21 jipyxPijji 的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),( g ),(kkzgPzP ., 2, 1 ,)( kpjikyx

3、gzij例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量与与 的分布律为的分布律为 P317 . 03 . 0 P424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 =+ 的分布律的分布律.例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 , 具有同一具有同一分布律分布律,且且 的分布律为的分布律为 P105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求 xyOzyx 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 1. =+ 的分布的分布概率密度函数为概率密度函数为.d),()( yyyzfzf .d),()(xxzxfzf 由于由于与与 对称对称, 当当,独立时独立

4、时,也也可可表表示示为为)(zf ,d)()()( yyfyzfzf .d)()()(xxzfxfzf 或或由公式由公式,d)()()(xxzfxfzf 解解,)( xxfx22e21 由由于于,)( yyfy22e21 例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量与与都服从标准正态都服从标准正态分布分布,求求 =+ 的概率密度的概率密度.),(分布分布服从服从即即20N 2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxd)()( 2222ee21 xzxzdee212242 得得. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻其他其他它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独

5、立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻在一简单电路中在一简单电路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的概率密度为的概率密度为由题意知由题意知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例5 ,100,100 xzx当当,10,100时时即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被积函数不为零中被积函数不为零 xxzfxfzfR)1(., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其他其他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf ., 0,100,5010)(其他其他将将xxxf此时此时 ., 0,100,50)(1

6、0)(其他其他xzxzxzf ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR式得式得代入代入)1(的分布的分布 . 2xyOzyx 2Gyyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00 .d),(yyyzfy 当当 , 独立时独立时,.d)()()(yyfyzfyzfYX 分布密度为分布密度为.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz )(zF .,)(,)(,的的概概率率密密度度函函数数试试求求其其他他其其他他它它们们的的概概率率密密度度分分别别为为相相互互独独立立寿寿命命的的灯灯泡泡的的分分别别表表示示两两只只不不

7、同同型型号号设设 00e200e2yyfxxfyx,d),(d),()(yyyzyfyyyzyfzf 00 解解由公式由公式例例6 ., 0, 0, 0,ee2),(2其他其他yxyxfyxyyzyde2)2(0 ,)2(22z yyzfyyzd)(20ee2 得所求密度函数得所求密度函数)0(时时当当 z)0(时时当当 z, 0)( zfZ得得 .,)()(000222zzzzf 的分布的分布及及),min(),max(. 3YXNYXM ),()(,yFxF 和和的的分分布布函函数数分分别别为为它它们们变变量量是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机设设),()()(maxzFzFzF )

8、.()()(minzFzFzF 111推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则数数独立且有相同的分布函独立且有相同的分布函若若, )(,xFXXXn21,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如图所示如图所示开始工

9、作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例7 7度度分分别别为为已已知知它它们们的的概概率率密密的的寿寿命命分分别别为为设设, 21LL ,)(000exxxfx 由由解解串联情况串联情况(i),21就停止工作就停止工作系统系统中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min( .,的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且

10、其其中中 L 00 ,)(000e1xxxFx ,)(000exxxfx ,)(000eyyyfy ;,)(000eyyyfy 由由 .,)(000e1yyyFy )(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max( 的分布函数为的分布函数为),max( )()()(maxzFzFzF . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzz并联情况并联情况(ii),21才停止工作才停止工作系统系统都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LLL,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两两者者之之和和是是的的寿寿命命因因此此整整个个系系统统,21LLL 的的概概率率密密度度为为时时当当 ,0zyyfyzfzfd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee备用的情况备用的情况(iii), 0)(,0 zfz时时当当的概率密度为的概率密度为于是于是 . 0, 0, 0,ee )(zzzfzz.ee zz 四、小结四、小结1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律的的联联合合分分布布律律为为