西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第五章一维随机变量2

1、二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入第五章第五章 一维随机变量一维随机变量三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、分布函数的性质四、分布函数的性质 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立

2、起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的引入一、随机变量的引入2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eR10即有即有 (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色红色eee (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例2 考察考察“灯泡的寿命灯泡的寿

3、命”.)., 0 则则 的取值范围为的取值范围为.)(),(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eeSeSeeSE二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结

4、果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件

5、包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(e)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e1

6、00)(1e1)(2e即即 (e) 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 则则,)(射射中中目目标标的的次次数数e是一个随机变量是一个随机变量.且且 (e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, , 3, 2, 1, 0实例实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所所需需射射击击次次数数e是一个随机变量是一个随机变量.且且 (e) 的所有可能取值

7、为的所有可能取值为:., 3, 2, 1实例实例6 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此此人人的的等等车车时时间间e是一个随机变量是一个随机变量.且且 (e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 0实例实例7 随机变量随机变量 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例8 随机变量随机变量 为为“射击时偏离靶心的距离射击时偏离靶心的距离”.则则的取值范围为的取值范围为 0, +) .3.随机

8、变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数1.概念的概念的引入引入21xxP 12xPxP )(2xF)(1xF21xxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?例如例如.),内内的的概概率率落落在在区区间间求求随

9、随机机变变量量21xx 2.分布函数的定义分布函数的定义说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义 xPxFx .)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF例例9 9 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.例例1010 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间0,1)上的诸值。旋

10、转该陀螺记停下时圆周上触及上的诸值。旋转该陀螺记停下时圆周上触及桌面的点刻度为桌面的点刻度为，求其分布函数。，求其分布函数。);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 四、分布函数的性质四、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处左连续左连续.重要公式重要公式),()()(aFbFbaP 1).()(aFaP 12 说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp.,),(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离

11、散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量 2121 kpxPxkxkkkk五、离散型随机变量的分布律五、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxx2121 kpnxxx21nppp21.),(,.的的分分布布律律求求相相互互独独立立的的设设各各组组信信号号灯灯的的工工作作是是号号灯灯的的组组数数它它已已通通过过的的信信表表示示汽汽车车首首次次停停下下时时以以车车通通过过的的概概率率允允许许或或禁禁止止汽汽每每组组信信号号灯灯以

12、以组组信信号号灯灯的的道道路路上上需需经经过过四四设设一一汽汽车车在在开开往往目目的的地地 21,例例11 kp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0六、小结六、小结2. 随机变量的分类随机变量的分类: 离散型离散型、连续型连续型.1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的，因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象， 就就需将随机事件数量化需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机把一些非数量表示的随机事件用数字表示时事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念 因

13、此因此随机变量是定义在样本空间上的一种特随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数殊的函数 一、问题的思考一、问题的思考例例1 1（一个著名的古典概率问题（一个著名的古典概率问题赌金分配问题）赌金分配问题） 假如在一个比赛中赢假如在一个比赛中赢6 6次才算赢，赌徒甲已经赢次才算赢，赌徒甲已经赢5 5次，而赌徒乙赢次，而赌徒乙赢2 2次，这时中断赌博，问总的赌金应次，这时中断赌博，问总的赌金应该如何分配？该如何分配？1.1.试验背景试验背景贝努里试验：贝努里试验：只有两个可能结果的随机试验。只有两个可能结果的随机试验。 n重贝努里试验：重贝努里试验：重复独立进行重复独立进行n次贝努里试验次贝努里

14、试验（n次重复独立试验）次重复独立试验）。 需要考察的问题：需要考察的问题： 在在n重贝努里试验中某事件重贝努里试验中某事件 恰好发生恰好发生k次的次的概率应如何计算？概率应如何计算？一、问题的思考一、问题的思考2.2.分布特性分布特性贝努里试验贝努里试验：设试验设试验E E的两个可能结果为：和的两个可能结果为：和，用随机变量表示贝努里试验的结果，不，用随机变量表示贝努里试验的结果，不妨设为妨设为0 0或或1 1，即，即则的分布律为则的分布律为一、问题的思考一、问题的思考AAX 不不发发生生事事件件发发生生事事件件AAeX, 0, 1)(X称服从称服从两点分布或两点分布或0-10-1分布分布。

15、2.2.分布特性分布特性n重贝努里试验：重贝努里试验：随机变量表示随机变量表示n次重复独立次重复独立贝努里试验中事件贝努里试验中事件A发生的次数。设每次试验发生的次数。设每次试验中事件中事件A发生的概率为发生的概率为p（q=1-p）一、问题的思考一、问题的思考X则称服从二项分布则称服从二项分布, ,记为记为kXp nkqpCknkkn, 1 , 0, ),(pnBXX1)(0nkkXP（2 2）不难验证：不难验证：0)( kXP（1 1）2.2.分布特性分布特性二项分布的曲线特点：二项分布的曲线特点：一、问题的思考一、问题的思考n=30n=30，p=0.2 p=0.2 n=10n=10，p=0

16、.3p=0.3n=200n=200，p=0.05p=0.05当当k k增加时，概率增加时，概率kXp 先增加至最大值，随后单调减少先增加至最大值，随后单调减少 当当(n+1)p不为整数时，二项概率不为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最大值；达到最大值；( x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数). . .n=10,p=0.7nPk02.2.分布特性分布特性一、问题的思考一、问题的思考当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n +1)p和和k =(n+1)p-1处达到最大值处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn.03.3.二项分

17、布与两点分布的关系二项分布与两点分布的关系（1 1）两点分布是二项分布的特例，即）两点分布是二项分布的特例，即n=1n=1时的情形。时的情形。 一、问题的思考一、问题的思考（2 2）进一步的关系）进一步的关系 , ), 1(), 1(1pBYpBYn nYYX 1),(pnBX若若，且相互独立，且相互独立， ，则，则 结论：结论：服从二项分布的随机变量可以表示成独立的服从二项分布的随机变量可以表示成独立的两点分布的随机变量之和。两点分布的随机变量之和。二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布。的概率分布。二、二项分布的计算二、二项分

18、布的计算（续）对例（续）对例1 1的解答：的解答： 设赌徒甲和赌徒乙，他们赢一局的概率分别为设赌徒甲和赌徒乙，他们赢一局的概率分别为p p和和q=1-pq=1-p；X X表示赌徒甲在表示赌徒甲在4 4次试验中赢的次数，次试验中赢的次数，Y Y表示赌表示赌徒乙在徒乙在4 4次试验中赢的次数，则次试验中赢的次数，则1615212110114004 CXpXp161212140444 CYp故赌金应按故赌金应按1515：1 1进行分配。进行分配。二、二项分布的计算二、二项分布的计算进一步的思考：（更一般的情形）进一步的思考：（更一般的情形） 假设在某个时刻中断赌博，这时要赢全局，甲还需假设在某个时刻

19、中断赌博，这时要赢全局，甲还需要再赢要再赢r次，乙还需要再赢次，乙还需要再赢s次，那么应该如何分配赌金？次，那么应该如何分配赌金？二、二项分布的计算二、二项分布的计算例例2 2 某人进行射击某人进行射击, ,每次射击的命中率为每次射击的命中率为0.02,0.02,独立独立射击射击400400次次, ,试求试求: :至少击中两次的概率。至少击中两次的概率。解：设击中的次数为解：设击中的次数为X，则，则，X的分布律为的分布律为(400,0.02)XB400400(0.02) (0.98),0,1,2,400kkP Xkkk于是所求概率为于是所求概率为40039921011(0.98)400(0.0

20、2)(0.98)0.9972P XP XP X 1.1.泊松（泊松（PoissonPoisson）定理）定理 三、二项分布的泊松逼近三、二项分布的泊松逼近 设设=np0是常数，是常数，n是任意正整数。则对于任是任意正整数。则对于任一固定的非负整数一固定的非负整数k，有，有!)1(limkeppCkknkknn 实验实验1 1：泊松（：泊松（PoissonPoisson）逼近（）逼近（1 1） 三、二项分布的泊松逼近三、二项分布的泊松逼近实验目的实验目的: :固定固定 的值，观察随的值，观察随n n增大的泊松逼近。增大的泊松逼近。 =5=5，n=10n=10，p=0.5 p=0.5 =5=5，

21、n=100n=100，p=0.05p=0.05 =5=5， n=1000n=1000，p=0.005p=0.005实验实验2 2：泊松（：泊松（PoissonPoisson）逼近（）逼近（2 2） 三、二项分布的泊松逼近三、二项分布的泊松逼近实验目的实验目的: :固定较大的固定较大的p p，观察泊松逼近是否成立。，观察泊松逼近是否成立。 n=1000n=1000，p=0.5p=0.5n=2000n=2000，p=0.5p=0.51.1.泊松（泊松（PoissonPoisson）定理）定理 三、二项分布的泊松逼近三、二项分布的泊松逼近观察结论观察结论: :!kek 当当p很小时，随着很小时，随着

22、n增大，二项概率计算值与增大，二项概率计算值与越来越接近；越来越接近； 当当p较大时，随着较大时，随着n增大，两者的结果差异仍较大。增大，两者的结果差异仍较大。 适用范围：适用范围： 当当n n很大，很大，p p很小，一般很小，一般np=np= 100 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作XP( ).四、泊松分布四、泊松分布1. 1. 泊松分布的定义及图形特点泊松分布的定义及图形特点 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于18371837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的 . . 近数十年来，近

23、数十年来，泊松分布泊松分布日益显示日益显示其其重要性重要性, ,成为概率论中最重要的几个分成为概率论中最重要的几个分布之一布之一. . 在实际中，许多随机现象服从或近似服在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布从泊松分布. .四、泊松分布四、泊松分布2. 2. 泊松分布背景泊松分布背景二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其

24、放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 四、泊松分布四、泊松分布2. 2. 泊松分布背景泊松分布背景都可以看作泊松流都可以看作泊松流. .某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数到某机场降落的飞机数; ;一个售货员接待的顾客数一个售货员接待的顾客数; ;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数; ; 一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数；例如例如四、泊松分布四、泊松分布四、泊松分布四、泊松分布公共汽车客流统计公共汽车客流统计来到批数来到批数i01234总共总共频数频数ni100813496230频率频率fi=ni/n0.

25、430.350.150.040.03Pi= ie- /i!0.420.360.160.050.01 =0.87 例例4在随机时刻相继出现的事件所形成的序列在随机时刻相继出现的事件所形成的序列, ,叫做叫做随机事件流随机事件流. . 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流该事件流为泊松事件流（泊松流）（泊松流）. .四、泊松分布四、泊松分布3. 3. 泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件 对泊松流，在任意时间间隔对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内内,事件事件(如交通事故如交通事故)出现的次数服从参数为出现的次数服从参数为

26、 的泊松的泊松分布分布, 称为泊松流的强度。称为泊松流的强度。t 平稳性平稳性: : 在任意时间区间内，事件发生在任意时间区间内，事件发生k k次次( (k k0)0)的的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. .无后效性无后效性: :普通性普通性: : 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的互独立的. . 如果时间区间充分小，事件出现两次或两次如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计以上的概率可忽略不计. .四、泊松分布四、泊松分布3. 3. 泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件 由泊松定

27、理，由泊松定理，n重贝努里试验中重贝努里试验中稀有事件稀有事件出现的出现的次数近似地服从泊松分布次数近似地服从泊松分布. 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作作稀有事件稀有事件. .如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等四、泊松分布四、泊松分布4. 4. 泊松分布与二项分布的关系泊松分布与二项分布的关系例例5 5 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5=5的泊松分布来描述，为了以的泊松分

28、布来描述，为了以95%95%以上的把握保证不以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解解: :设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,已知已知X服从参数服从参数=5的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进某种商品设商店在月底应进某种商品m件件,求满足求满足P(Xm)0.95 的最小的的最小的m .进货数进货数销售数销售数四、泊松分布四、泊松分布求满足求满足P(Xm)0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得 51050.032,!kkekP(Xm) 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=

29、10,1505. 0!5mkkke或或m=9件件四、泊松分布四、泊松分布五、小结五、小结1 1、二项分布、两点分布的背景与关系、二项分布、两点分布的背景与关系2 2、二项分布的计算、二项分布的计算3 3、泊松分布、泊松分布 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 P1012 PPP),.,(000101000B 练习练习1 有一繁忙的汽车

30、站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?性质性质. 0)(,)1( xpx对对任任意意的的.d)()(12 xxp.,)(,d)()(),(,)(简称密度密度函数的分布称为其中为连续型随机变量则称有使对于任意实数非负函数若存在的分布函数为，为随机变量设XxpXttpxFxxpXxFXx一、分布密度的概念与性质一、分布密度的概念与性质1.定

31、义定义第四节连续型随机变量及其概率密度第四节连续型随机变量及其概率密度11SxxpSxxd)( 2111x 2x xxp0)( 211221()()( )xxP xXxF xF xp x dx) 3().()(,)()(xpxFxxp 则有则有处连续处连续在点在点若若4 ( )P XaF a,d)(xxpa 1P XaP Xaxxpxxpad)(d)( )(1aF xxpxxpad)(d)( .d)(xxpa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0

32、 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP .)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解,d)()( 11xxp由由例例1的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3

33、030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 011. 均匀分布均匀分布boaxp )(概率密度概率密度函数图形函数图形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF

34、a b 1例例2 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 .,)(其它其它05231xxp设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数的次数”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.

35、,)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义XxxexpXx0000 2. 指数分布指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 . 0, 0, 0,1)(xxexFx 例例3 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小

36、时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. .,)(000120001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重

37、要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;)(,)(xpx212取得最大值取得最大值时时当当 ;)(,)(03xpx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形

38、的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxp;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xp正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正

39、态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,21)(22 xexx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布

40、的分布函数表示为.,d21)(22 xtexxt 标准正态分布的图形标准正态分布的图形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例4 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的分布函数为的分布函数为XZ P Zx XPxP Xx,d21222)( xtte得得令令,ut P Zx xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解xedcxd21222)( ,ux 令令ueudcd2122 dXcP ueudcd2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例5 d ueudd2122 ueucd2122 )()(cFdFdXcP 因因而而. cd . c . c