西安交大西工大 考研备考期末复习工程数学复变函数解析函数的高阶导数

1、复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）复 变 函 数7 7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数复变函数复变函数6 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数定理一定理一 解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为：), 2 , 1( )()(2)(100)(ndzzzzfinzfcnn！其中C为在函数f (z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D。复变函数复变函数【注】【注】 1 1 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数，导数仍然是解析函数； 2 以上讨论表明，函数在一个

2、区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异； 3 高阶导数公式的作用，在于通过求导来求积分；复变函数复变函数1C 1 )2 1 cos) 1 . 1225rzdzzedzzzCzC为圆周：其中求下列积分例41sin2i 是否成立？问内任一条简单闭曲线，为，且内处处解析且在单连通域设例 0 0. 2CdzzfzfBCzfBzf复变函数复变函数 若函数f (z)在单连域B内连续，且对于 B内任何一条简单闭曲线C都有 则f (z) 在B内解析。cdzzf0)(例3.求证：Morera定理定理复变函数复变函数 3,f zu v）解析可微 且）定义1）求导法则2定理）Morera5

3、为某个解析函数的导数）zf4满足C-R方程【总结】如何判断函数解析复变函数复变函数7 7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系),(yx 定义定义 如果二元实变函数 在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程。那么称 为区域D内的调和函数。02222yx),(yx一一. .调和函数调和函数复变函数复变函数二二. .解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 内的一个解析函数为设Dyxivyxuzf,xyvyxvDxyvyxv2222内连续在区域及定理定理 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。复变函数复变函数定义定义 设f (z)=u

4、+iv为解析函数，则称v为u的共轭调和函数。1)1) 解析函数的虚部是实部的共轭调解析函数的虚部是实部的共轭调 和函数和函数 解析的共轭调和函数，则是若ivuzfuv )2结论：结论：共轭调和函数吗？的是的共轭调和函数，那么是若 vuuv复变函数复变函数三三. .求解析函数求解析函数 00sincos . 1，且满足求解析函数，已知一个调和函数例fivuzfyxyxyyevx偏积分法偏积分法复变函数复变函数 ifivuzfyxu2, 12. 2且满足数为调和函数，求解析函已知例不定积分法不定积分法内的解析函数吗？是问内的调和函数，为区域设例DfiuufDuyx . 3复变函数复变函数【总结】计

5、算复积分的一般方法：【总结】计算复积分的一般方法： dttztzfdzzfzzttiytxtzzCDyxivyxuzfC )( ,1，则终点为起点为确定，由曲线方程内处处连续在：设方法 上连续即可在积分曲线Czf复变函数复变函数方法2： 如果f (z)在单连域B内处处解析，G(z)为f (z) 的一个原函数，那么zzzGzGdzzf0)()()(01 其中z0，z1为域B内的两点。复变函数复变函数 上是否解析内及在）判断被积函数CCzg1 Cdzzg0则若否，寻找奇点若解析方法3 Cdzzg复变函数复变函数 nkCCkkknkdzzgdzzgnkrzzCnCzzz010 , 1 , 0, 1, )3则：互不包含的圆周个互不相交内作在，若有多个奇点 00