西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 二次型

1、上节课内容复习上节课内容复习(1)(1)特征值和特征向量的定义特征值和特征向量的定义(3)(3)相似矩阵的概念相似矩阵的概念(4)(4)矩阵对角化的条件矩阵对角化的条件(2)(2)特征值和特征向量的求法特征值和特征向量的求法(5)(5)矩阵对角化的方法矩阵对角化的方法 . n1 + n2 + + ns = n. ：求出矩阵：求出矩阵 A 的所有特征值，设的所有特征值，设 A有有 s 个不同的特征值个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重，它们的重数分别为数分别为 n1 , n2 , , ns , 对对 A 的每个特征值的每个特征值 i ,求求(A - - i E)x=0的基础解系的基

2、础解系, 设为设为iiniip,p,p21( i = 1, 2, , s). ),(21222211121121ssnssnn,p,pp,p,p,pp,ppP),diag(212211 snssnn ，以这些向量为列构，以这些向量为列构并把它们正交化、单位化，仍记并把它们正交化、单位化，仍记为为iiniip,p,p21造矩阵造矩阵则则 P 为正交矩阵，且为正交矩阵，且 P- -1AP = .),1)(5)(2( 设设120222023A求正交矩阵求正交矩阵 P , 使使 P- -1AP 为对角矩阵为对角矩阵.A 的特征多项式为的特征多项式为120222023E|A所以所以 A 的三个特征值为的

3、三个特征值为: . 521321,当当11时时, 解方程组解方程组, 0)(1xEA即即, 0220232024321xxx得得,2211p当当22时时, 解方程组解方程组, 0)(2xEA即即, 0120202021321xxx得得,2122p当当53时时, 解方程组解方程组, 0)(3xEA即即, 0420232022321xxx得得.1223p.122311333ppe 显然显然, p1 , p2 , p3 两两正交两两正交, 现把它们单位化现把它们单位化.令令,221311111ppe,212311222ppe再令再令,313232323132323231)(321,e,eeP则则 P

4、 为正交矩阵为正交矩阵, 且有且有.APP5211),2() 1(2 设设,011101110A求正交矩阵求正交矩阵 P , 使使 P- -1AP 为对角矩阵为对角矩阵.A 的特征多项式为的特征多项式为111111E|A所以所以 A 的三个特征值为的三个特征值为: . 12321,当当21时时, 解方程组解方程组, 0)(1xEA即即, 0211121112321xxx得得,1111p当当132时时, 解方程组解方程组, 0)(2xEA即即, 0111111111321xxx得得,211,01132pp.211611333ppe 显然显然, p1 , p2 , p3 两两正交两两正交, 现把它

5、们单位化现把它们单位化.令令,111311111ppe,011211222ppe再令再令,62031612131612131)(321,e,eeP则则 P 为正交矩阵为正交矩阵, 且有且有.APP1121在求正交矩阵在求正交矩阵 P 把对称矩阵把对称矩阵 A 对角化时，对角化时，若若 A 有重特征值，在求该重特征值对应的有重特征值，在求该重特征值对应的特征向量时，可直接求出正交的特征向量，特征向量时，可直接求出正交的特征向量，这样可避免正交化过程，从而简化计算这样可避免正交化过程，从而简化计算.设特征值设特征值 3 对应的特征向量为对应的特征向量为值所对应的特征向量正交值所对应的特征向量正交,

6、 故故, 03211xxx,xp即即 x 的各分量是上面的齐次线性方程组的非零解的各分量是上面的齐次线性方程组的非零解.求得这个方程组的基础解系为求得这个方程组的基础解系为x = (x1 , x2 , x3)T ,由于实对称矩阵的不同的特征由于实对称矩阵的不同的特征 求一个三阶实对称矩阵求一个三阶实对称矩阵 A, 它的特征它的特征且特征值且特征值 6 对应的一个特征向量为对应的一个特征向量为.,pT1) 111 (值为值为 6 , 3 , 3,101011111321),p,p(pP.10101132p,p取取 p2 , p3 为特征值为特征值 3 对应的两个线性无关对应的两个线性无关的特征向

7、量的特征向量, 并令并令,101011111)(321,p,ppP.3231313132313131311P则则,3361APP因而因而.4111411143361PPA 设设 A 为为 n 阶对称的正交矩阵阶对称的正交矩阵, 且且 1为为 A 的的 r 重特征值重特征值. 求求 A 的相似对角矩阵的相似对角矩阵; 求求 | A - - 3E |. 由于由于 A 为为 n 阶对称的正交矩阵阶对称的正交矩阵, 故故 重特征值重特征值, 因而因而 A 的相似对角矩阵为的相似对角矩阵为 由于由于 1 为为 A 的的 r 重特征值重特征值, 故故 - -1 为为A的的 n - - r A必能相似于对角

8、矩阵必能相似于对角矩阵, 且且设设为为 A 的实特征值的实特征值, p 为对应的实为对应的实特征向量特征向量, 则则Ap = p .因而因而(Ap)T(Ap) = pTATAp = pTp = | p |2.又又(Ap)T(Ap) = (p)T(p) = 2(pTp) = 2 | p |2,所以所以(2- -1) | p |2= 0 .由于由于 p 0, 因而因而= 1 . 证明证明证明证明证毕证毕证毕证毕证明若证明若证明若证明若 A A 为为为为 n n 阶对称的正交矩阵阶对称的正交矩阵阶对称的正交矩阵阶对称的正交矩阵, , 则则则则A A 的特征值的特征值的特征值的特征值只能为只能为只能为

9、只能为 1. 1. 由由 (1) 可知可知, A 的特征多项式为的特征多项式为 | A - - E | = (1 - - )r (1 + )n- -r ,故故 | A - - 3E | = (1 - - 3 )r (1 + 3 )n- -r = (- -1)r 22n - - r .A = diag(1 , , 1, - -1 , , - -1).r 个个(n - - r) 个个 设设,2112A求求 An .因因 A 对称，故对称，故 A 可对角化，即有可逆可对角化，即有可逆矩阵矩阵 P 及对角阵及对角阵 ，使，使 P- -1AP = .于是于是A = P P- -1 ，从而从而An = P

10、 nP- -1 .由由, ) 3)(1(2112|EA得得 A 的特征值的特征值 1 = 1， 2 = 3 .于是于是.3001,3001nn当当 1 = 1 时，时， 解方程解方程 (A E )x = 0，即，即, 0111121xx得得;111p当当 2 = 3 时，时， 解方程解方程 (A 3E )x = 0，即，即, 0111121xx得得.112 p令令,1111),(21ppP再求出再求出.1111211P于是于是111130011111211nnPPA.3131313121nnnn 设设,542452222 A求正交矩阵求正交矩阵 P , 使使 P- -1AP 为对角矩阵为对角矩

11、阵. 12221222131P 4121APP二次曲线二次曲线022211222221122111 cxbxbxaxxaxa ,cossin,sincos yxyyxx.222222221122111ynxmxaxxaxa 背景：背景：其中其中), 2, 1,(njiaij 称为二次称为二次型的型的系数系数. . .问题：问题：寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111使二次型只含平方项使二次型只含平方项 2222211nnykykykf 当二次型的当二次型的系数为复数系数为复数时，时， nxxx

12、f,21复二次型复二次型，当二次型的系数为，当二次型的系数为实数实数时，时， nxxxf,21 称为称为称为称为实二次型实二次型. .（1）用和号表示）用和号表示 njijiijnxxaxxxf1,21),(取取 aij = aji =kij/22221122222212211121122111nnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxa )()()(),(2211222212121212111121nnnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxxxf nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211

13、121, nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa,x,xx2121222211121121)( 若记若记 A = (aij)nn , x = (x1 , x2 , , xn)T , 则则 ,)(T1121Axxxxa,x,xxfjinjijnin(2) 式所表示的二次型可以表示成式所表示的二次型可以表示成其中其中 AT = A 为实对称矩阵为实对称矩阵, 称称 . 称矩阵称矩阵 A 的秩的秩 . （2 2）用矩阵表示）用矩阵表示例例1 1将二次型将二次型 写成矩阵形式写成矩阵形式. .32312124232221213222),(xxxxxxxxxxxxxfn 例例2 2 已知二次型已知二次

14、型 的秩为的秩为2,2,求参数求参数c c。32312123222132166255),(xxxxxxcxxxxxxf解：二次型解：二次型 的对称矩阵为的对称矩阵为 fcA333513152)(AR0A3c由由，知，知解得解得主要问题：主要问题：Cyx ),(11jiijjnjiijniaaxxaf用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: :;, . 1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;, . 221nA的所有特征值求出;, . 321n征向量求出对应于特征值的特;, , . 4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量., . 52211nnyyff

15、Cyx的标准形则得作正交变换例例3 3 求正交变换求正交变换 ，化二次型，化二次型Pyx 32212221442xxxxxxf为标准形，并指出方程为标准形，并指出方程 f =1表示何种二次曲面。表示何种二次曲面。二次型的矩阵为二次型的矩阵为 020212022A解：解： 1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值)2)(4)(1(20212022EAA A的特征值为的特征值为 241321，特征多项式为特征多项式为 2 2求特征向量求特征向量当当 时，解方程组时，解方程组 得基础解系得基础解系212111()0iAE X当当 时，解方程组时，解方程组 得基得基础

16、解系础解系23212 ,212 3 3将特征向量正交化、单位化将特征向量正交化、单位化212311p取取,1,2,3iiipi得得122312p221313p234,2 ()0iAE X于是所求的正交变换为于是所求的正交变换为yx21222112231方程方程 f =1表示的二次曲面为表示的二次曲面为单叶双曲面单叶双曲面。所化二次型的标准形为：所化二次型的标准形为： 23222124yyyf12222121231P23222142yyyAPyPyAxxTTT232221zzzf如果希望把负的特征值放在中间，则只需令如果希望把负的特征值放在中间，则只需令 此时新的二次型方程就成为此时新的二次型方

17、程就成为进一步可得二次型的规范形为：进一步可得二次型的规范形为： 例例4 4 怎样将二次方程怎样将二次方程 ，通过变量的，通过变量的坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式? ? 165522xyyx二次型的矩阵为二次型的矩阵为 5335A1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值)8)(2(161053352 EAA A的特征值为的特征值为 8221 ，特征多项式为特征多项式为 2 2求特征向量求特征向量当当 时，解方程组时，解方程组 得基础解系得基础解系21 ()0iAE X 111 当当 时，解方程组时，解方程组

18、 得基础解系得基础解系82 ()0iAE X 112 3 3将特征向量正交化、单位化将特征向量正交化、单位化 11221p取取得得 11222p)2 , 1(, ipiii 于是所求的正交变换为于是所求的正交变换为所化二次型的标准形为：所化二次型的标准形为： 2/22/22/22/2P1822221 yyf几何角度几何角度首先做出二次方程首先做出二次方程165522 xyyx表示的图像表示的图像若将坐标系逆时针旋转若将坐标系逆时针旋转4545度，得新坐标系度，得新坐标系yxyxyyxyxx222245cos45sin222245sin45cos将上式代入方程就得只含平方项二次齐次多项式：将上式

19、代入方程就得只含平方项二次齐次多项式： 22281xy旋转变换矩阵为：旋转变换矩阵为：yxyx22222222156522 yxyx1822221 yy在平面上通过坐标变换，实质上是一个可逆的在平面上通过坐标变换，实质上是一个可逆的线性变换，使线性变换，使二次型的主轴和坐标轴重合二次型的主轴和坐标轴重合就能将就能将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形，二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形，这也是平面上将二次型化为标准形的这也是平面上将二次型化为标准形的几何意义几何意义。从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性代数中就等价于：代数中就等价于：使矩阵

20、使矩阵A A经过正交变换经过正交变换实现对角实现对角化。化。 在使用在使用MATLABMATLAB时，上述步骤可用时，上述步骤可用eigeig函数来完成。函数来完成。其调用格式为：其调用格式为：)(,AeiglamdaP Plamda和和分别给出正交矩阵和特征值。分别给出正交矩阵和特征值。 把例把例4 的系数矩阵的系数矩阵 5335A代入，代入，运行结果为运行结果为 六、二次型应用：六、二次型应用：小行星轨道问题小行星轨道问题 一位天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行一位天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系

21、，在两坐标轴上取天文单位角坐标系，在两坐标轴上取天文单位 （一天文单（一天文单位等于地球到太阳的平均距离）。在五个不同的位等于地球到太阳的平均距离）。在五个不同的时间对小行星做了时间对小行星做了5 5次观察，测得次观察，测得5 5个点的坐标数个点的坐标数据如下表：据如下表： 编号编号坐标坐标12345X坐标坐标5.7646.2866.7597.1687.480Y坐标坐标0.6481.2021.8232.5253.360由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，现建立椭圆的标准方程以供研究小行星运行轨道现建立椭圆的标准方程以供研究小行星运行轨道的参数。的参数。解解 设椭圆的一般方程为设椭圆的一般方程为 012225423221 yaxayaxyaxa将上述将上述5 5个点的坐标带入椭圆的一般方程，得个点的坐标带入椭圆的一般方程，得122212221222122212225554253552251454424344224135342333322312524223222221151