命题及其关系,充分条件、必要条件

1、第 二 节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲考纲要求要求1.1.理解命题的概念理解命题的概念2.2.了解了解“若若p,p,则则q”q”形式的命题的逆命题、否命题与逆形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题否命题, ,会分析四种命题的相互关系会分析四种命题的相互关系3.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义理解必要条件、充分条件与充要条件的意义考情考情播报播报1.1.充分条件、必要条件、命题真假的判断是近几年高充分条件、必要条件、命题真假的判断是近几年高考命题的热点考命题的热点2.2.常和数学其他知识相结合考查常和数学其他知识相结合考查, ,在知识的交汇处命题在知识的交汇处命题3.3.题型主要

2、以选择题为主题型主要以选择题为主, ,属中低档题属中低档题【知识梳理】【知识梳理】1.1.命题命题用语言、符号或式子表达的用语言、符号或式子表达的, ,可以可以_的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题. .其中其中_的语句叫做真命题的语句叫做真命题,_,_的语句叫做假命的语句叫做假命题题. .判断真假判断真假判断为真判断为真判断为假判断为假2.2.四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系(1)(1)四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系: :(2)(2)四种命题中的等价关系四种命题中的等价关系: :原命题等价于原命题等价于_,_,否命题等价否命题等价于于_,_,在四种形式的命题中真命题的个数只能是

3、在四种形式的命题中真命题的个数只能是0 0或或2 2或或4.4.qp若 ，则pq若，则qp若，则逆否命题逆否命题逆命题逆命题3.3.充要条件充要条件(1)(1)相关概念相关概念: :若若p pq,q,则则p p是是q q的的_条件条件,q,q是是p p的的_条件条件p p是是q q的的_条件条件p pq q且且q pq pp p是是q q的的_条件条件p qp q且且q qp pp p是是q q的的_条件条件p pq qp p是是q q的的_条件条件p qp q且且q pq p充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要(2)(2)集合与充要

4、条件集合与充要条件: :p p成立的对象构成的集合为成立的对象构成的集合为A,A,q q成立的对象构成的集合为成立的对象构成的集合为B Bp p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件A A是是B B的的_p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件B B是是A A的的_p p是是q q的充要条件的充要条件_p p是是q q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件A,BA,B互不互不_真子集真子集真子集真子集A=BA=B包含包含【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命题给出下列命题: :若原命题为真若原命题为真, ,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中则这个命题

5、的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真至少有一个为真; ;若若p p是是q q成立的充分条件成立的充分条件, ,则则q q是是p p成立的必要条件成立的必要条件; ;若若p p是是q q成立的充要条件成立的充要条件, ,则可记为则可记为p pq;q;命题命题“若若p,p,则则q”q”的否命题是的否命题是“若若p,p,则则q”.q”.其中是真命题的是其中是真命题的是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选A.A.对于对于, ,因为原命题等价于逆否命题因为原命题等价于逆否命题, ,所以所以是真是真命题命题; ;对于对于, ,由充分、必要条件的定义知由充分、必要条件的定义

6、知是真命题是真命题; ;对于对于, ,由充要条件的意义知由充要条件的意义知, ,是真命题是真命题; ;对于对于,“,“若若p,p,则则q”q”的否命的否命题是题是“若若p,p,则则q”,q”,所以所以是假命题是假命题. .2.“x2”2.“x2”是是“x x2 24”4”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.A.显然显然, ,若若x2,x2,则则x x2 24,4,但反之不成立但反之不成立. .故选故选A.A.3.3.给出命题给出命题:“:“若实

7、数若实数x,yx,y满足满足x x2 2+y+y2 2=0,=0,则则x=y=0”,x=y=0”,在它的逆命在它的逆命题、否命题、逆否命题中题、否命题、逆否命题中, ,真命题的个数是真命题的个数是( () )A.0A.0个个 B.1B.1个个C.2C.2个个 D.3D.3个个【解析】【解析】选选D.D.原命题显然正确原命题显然正确, ,其逆命题为其逆命题为: :若若x=y=0,x=y=0,则则x x2 2+y+y2 2=0,=0,显然也是真命题显然也是真命题, ,由四种命题之间的关系知由四种命题之间的关系知, ,其否命题、逆否命其否命题、逆否命题也都是真命题题也都是真命题. .4.4.已知已知

8、p:-4k0,q:p:-4k0,q:函数函数y=kxy=kx2 2-kx-1-kx-1的值恒为负的值恒为负, ,则则p p是是q q成立成立的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.-4k0A.-4k0k0,=kk0,=k2 2+4k0,+4k0,函数函数y=kxy=kx2 2-kx-1-kx-1的值的值恒为负恒为负, ,但反之不一定有但反之不一定有-4k0,-4kb”ab”是是“a|a|b|b|”a|a|b|b|”的的( () )A.A.充分不必要

9、条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选C.C.设设f(x)=x|x|f(x)=x|x|，则，则 所以所以f(x)f(x)是是R R上的增函数，上的增函数，“ab”ab”是是“a|a|b|b|”a|a|b|b|”的充要条件的充要条件. .22x ,x0f(x)x ,x0 =0,-2x-30,则则x3x3或或x-1”x3x3或或x-1x1”,m1”,是真命题是真命题B.B.逆命题是逆命题是“若若m1,m1,则则f(x)=ef(x)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是增函数上

10、是增函数”, ,是假命题是假命题C.C.逆否命题是逆否命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(x)=ef(x)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是减函上是减函数数”, ,是真命题是真命题D.D.逆否命题是逆否命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(x)=ef(x)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上不是增上不是增函数函数”, ,是真命题是真命题【解析】【解析】选选D. f(x)=eD. f(x)=ex x-m0-m0在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,即即memex x在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,故故m1,m1,这说明原命题正确这说明原命题

11、正确; ;反之若反之若m1,m1,则则f(x)0f(x)0在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,故逆命题正确故逆命题正确. .增函数的否定是增函数的否定是“不是增函数不是增函数”. .结合选项知选结合选项知选D.D.考点考点2 2 充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断【考情】【考情】充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点题的亮点. .常以选择题、填空题的形式出现常以选择题、填空题的形式出现, ,作为一个重要载体作为一个重要载体, ,考查的数学知识面很广考查的数学知识面很广, ,几乎涉及数学知识的各个方面几乎涉及数

12、学知识的各个方面, ,如函数、如函数、不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等. . 高频考点高频考点通关通关 【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013北京高考北京高考)“)“=”=”是是“曲线曲线y=sin(2xy=sin(2x) )过坐标原点过坐标原点”的的( )( )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2013(2)(2013陕西高考陕西高考) )设设a，b为向量为向量, ,则则“| |ab|=

13、|=|a|b|”|”是是“ab”的的( )( )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题视点】【解题视点】(1)(1)先将先将=代入，看曲线是否过原点，再求出代入，看曲线是否过原点，再求出过原点时过原点时的值，进而判断充分必要条件的值，进而判断充分必要条件. .(2)(2)根据充分条件、必要条件的判断方法进行推理判断根据充分条件、必要条件的判断方法进行推理判断. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.当当=时，时，y=sin(2x+)=-sin 2xy=sin(

14、2x+)=-sin 2x，过，过原点，但是曲线过原点时，由原点，但是曲线过原点时，由sin sin =0=0得得=k(kZ).=k(kZ).故故“=”=”是是“曲线曲线y=sin(2x+y=sin(2x+) )过坐标原点过坐标原点”的充分而不必的充分而不必要条件要条件. .(2)(2)选选C.C.设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为.由由| |ab|=|=|a | |b|cos|cos|=|=|a|b| | ，得，得|cos |=1,|cos |=1,即即cos =cos =1,1,所以所以=0=0或或，能够推，能够推得得ab，显然，反之也能够成立，显然，反之也能够成立. .故故“| |ab|

15、=|=|a|b|”|”是是“ab”的充分必要条件的充分必要条件. .【通关锦囊】【通关锦囊】 高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略与三角相关的与三角相关的充分必要充分必要条件的判断条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键类问题的关键与解析几何相与解析几何相关的充分必要关的充分必要条件的判断条件的判断首先理解点与曲线的位置关系首先理解点与曲线的位置关系, ,两直线的位置关系两直线的位置关系, ,直线与曲线直线与曲线的位置关系的位置关系, ,然后弄清

16、题意进行然后弄清题意进行判断判断高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略与不等式相与不等式相关的充分必要关的充分必要条件的判断条件的判断可把不等式之间的关系转化为可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系, ,根据集根据集合与充要条件之间的关系进行合与充要条件之间的关系进行判断判断与平面向量相与平面向量相关的充分必要关的充分必要条件的判断条件的判断该类题型常涉及向量的概念、该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件运算及向量共线、共面的条件, ,可把问题转化为有关向量之间可把问题转化为有关向量之间的推理的推理【关注题型】【关注题型】与立体几何相与立体几

17、何相关的充分必要关的充分必要条件的判断条件的判断可把问题转化为线线、线面、可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性面面之间位置关系的判断及性质问题质问题, ,由此进行恰当判断由此进行恰当判断【特别提醒】【特别提醒】解答充分条件、必要条件的判断题解答充分条件、必要条件的判断题, ,必须从正、必须从正、逆两个方面进行判断逆两个方面进行判断. .【通关题组】【通关题组】1.(20141.(2014天津模拟天津模拟)“x1”)“x1”是是“|x|1”|x|1”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.

18、既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件【解析】【解析】选选A.A.由由x1x1可得可得|x|1,|x|1,而由而由|x|1|x|1得得x1x1或或x-1,x1”x1”是是“|x|1”|x|1”的充分不必要条件的充分不必要条件. .2.(20142.(2014浙江高考浙江高考) )已知已知i i是虚数单位是虚数单位,a,bR,a,bR,则则“a=b=1”a=b=1”是是“(a+bi)(a+bi)2 2=2i”=2i”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解

19、析】选选A.A.当当a=b=1a=b=1时，时，(a+bi)(a+bi)2 2=(1+i)=(1+i)2 2=2i=2i，反过来，反过来(a+bi)(a+bi)2 2=a=a2 2b b2 2+2abi=2i,+2abi=2i,则则 解得解得 或或 所以所以“a=b=1”a=b=1”是是“(a+bi)(a+bi)2 2=2i”=2i”的充分不必要条件的充分不必要条件. .22ab0,2ab2,= a1,b1 = = a1,b1 = = ，3.(20133.(2013浙江高考浙江高考) )已知函数已知函数f(x)=Acos(x+f(x)=Acos(x+) ) (A0,0,(A0,0,R),R),

20、则则“f(x)f(x)是奇函数是奇函数”是是“= ”= ”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2【解析】【解析】选选B.f(x)B.f(x)是奇函数是奇函数= +k,kZ;= +k,kZ;= = f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以“f(x)f(x)是奇函数是奇函数”是是“= ”= ”的必要不充分的必要不充分条件条件. .222【加固训练】【加固训练】1.(20111.(2011江西高考江西高考) )已知已知1 1,2 2,3 3是三个相互平行的平面是三

21、个相互平行的平面, ,平面平面1 1,2 2之间的距离为之间的距离为d d1 1, ,平面平面2 2,3 3之间的距离为之间的距离为d d2 2, ,直线直线l与与1 1,2 2,3 3分别相交于分别相交于P P1 1,P,P2 2,P,P3 3, ,那么那么“P P1 1P P2 2=P=P2 2P P3 3”是是“d d1 1=d=d2 2”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选C.C.如图所示如图所示, ,由于由于2 23 3, ,同时被第

22、三个平面同时被第三个平面P P1 1P P3 3N N所截所截, ,故有故有P P2 2MPMP3 3N,N,再由平行线分线段成比例易得再由平行线分线段成比例易得, , 因此因此P P1 1P P2 2=P=P2 2P P3 3d d1 1=d=d2 2. .121232PPdP Pd，2.(20142.(2014海淀模拟海淀模拟) )在四边形在四边形ABCDABCD中，中，“R,R,使得使得 ” ”是是“四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形”的的( )( )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.

23、既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件ABDC,ADBC 【解析】【解析】选选C.C.若若 则则 即即ABDCABDC，ADBCADBC，所以四边形，所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .反之，反之，若四边形若四边形ABCDABCD为平行四边形，则有为平行四边形，则有ABDCABDC，ADBCADBC且且AB=DCAB=DC，AD=BCAD=BC，即即 此时此时=1=1，所以，所以RR，使得，使得 成立，所以成立，所以“RR，使得，使得 ” ”是是“四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形”的充分必要条件，的充分必要条件，选选C.C.ABDC,ADBC, ABD

24、C ADBC ，ABDC ，ADBC ，ABDC, ABDCADBC ，ADBC 3.(20143.(2014太原模拟太原模拟)“m ”)“m ”是是“一元二次方程一元二次方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有有实数解实数解”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.充要条件充要条件C.C.必要不充分条件必要不充分条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.A.一元二次方程一元二次方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有实数解时有实数解时m m满足满足1-4m0,1-4m0,即即m ,m ,故故m m m ;m ;反之不成立反之不成立,

25、,所以所以“m ”m0,q:(x-a)(x-a-1)0,若若p p是是q q成立的充分不必要条件成立的充分不必要条件, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是. .(2)(2)已知集合已知集合M=x|x-3M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0.x5,P=x|(x-a)(x-8)0.求实数求实数a a的取值范围的取值范围, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的充要条件的充要条件. .求实数求实数a a的一个值的一个值, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|50,(x-a)(x-a-1)0,得得xa+1xa+1或或xa,xa+1x|-2x10 x|xa+1或或

26、xa.xa.所以所以a+1-2a+110,a10,即即a-3a10.a10.答案答案: :(-,-3)(10,+)(-,-3)(10,+)(2)(2)由由MP=x|5x8,MP=x|5x8,结合集合结合集合M,PM,P可得可得-3a5.-3a5.故故-3 -3 a5a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的必要条件的必要条件. .下面证明这个条件也是下面证明这个条件也是充分的充分的. .证明证明: :当当-3a5-3a5时时, ,集合集合P=x|ax8,P=x|ax8,集合集合M=x|x-3M=x|x5,x5,故故MP=x|5x8.MP=x|5x8.综上可知综上可知,-3a5,-3a5是是MP

27、=x|5x8MP=x|5x8的充要条件的充要条件. .求实数求实数a a的一个值的一个值, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的一个充分不的一个充分不必要条件必要条件, ,就是在集合就是在集合a|-3a5a|-3a5中取一个值中取一个值, ,如取如取a=0,a=0,此时此时必有必有MP=x|5x8;MP=x|5x8;反之反之,MP=x|5x8,MP=x|5x8未必有未必有a=0,a=0,故故a=0a=0是是MP=x|5x8MP=x|5x8的一个充分不必要条件的一个充分不必要条件. . 【易错警示】【易错警示】关注端点值的取舍关注端点值的取舍解答本例解答本例(1)(1)易出现答案

28、是易出现答案是(-,-310,+)(-,-310,+)的错误的错误, ,出出错的原因是题意理解不清错的原因是题意理解不清, ,忽视端点值的取值是否合适忽视端点值的取值是否合适. .【互动探究】【互动探究】本例本例(1)(1)中中, ,若若p:-2x10,q:(x-a)(x-a-1)0,p:-2x10,q:(x-a)(x-a-1)0,其其他条件不变他条件不变, ,试确定试确定a a的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】由由(x-a)(x-a-1)0,(x-a)(x-a-1)0,得得xa+1xa+1或或xa,xa,由题意得由题意得x|-2x10 x|xa+1x|-2x10 x|xa+1或或xa

29、.xa.所以所以a+1-2a+1-2或或a10,a10,即即a-3a-3或或a10.a10.【规律方法】【规律方法】1.1.与充要条件有关的参数问题的求解方法与充要条件有关的参数问题的求解方法解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系, ,并由此列出关于参数的不等式并由此列出关于参数的不等式( (组组) )求解求解. .2.2.充要条件的证明方法充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时, ,其基本其基本方法是分方法是分“充分性充分性”和和“必要性必要性”两个方面进

30、行证明的两个方面进行证明的. .这类这类试题一般有两种设置格式试题一般有两种设置格式. .(1)(1)证明证明:A:A成立是成立是B B成立的充要条件成立的充要条件, ,其中充分性是其中充分性是A AB,B,必要性必要性是是B BA.A.(2)(2)证明证明:A:A成立的充要条件是成立的充要条件是B,B,此时的条件是此时的条件是B,B,故充分性是故充分性是B BA,A,必要性是必要性是A AB.B.提醒提醒: :在分充分性与必要性分别进行证明的试题中在分充分性与必要性分别进行证明的试题中, ,需要分清充需要分清充分性是什么分性是什么, ,必要性是什么必要性是什么; ;在一些问题中充分性和必要性

31、可以在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明同时进行证明, ,即用等价转化法进行推理证明即用等价转化法进行推理证明. .【变式训练】【变式训练】已知已知P=x|xP=x|x2 2-8x-200,S=x|1-mx1+m.-8x-200,S=x|1-mx1+m.(1)(1)是否存在实数是否存在实数m,m,使使xPxP是是xSxS的充要条件的充要条件, ,若存在若存在, ,求出求出m m的的取值范围取值范围. .(2)(2)是否存在实数是否存在实数m,m,使使xPxP是是xSxS的必要条件的必要条件, ,若存在若存在, ,求出求出m m的的取值范围取值范围. .【解析】【解析】由由x x2 2-8

32、x-200-8x-200得得-2x10,-2x10,所以所以P=x|-2x10,P=x|-2x10,(1)(1)因为因为xPxP是是xSxS的充要条件，所以的充要条件，所以P=S,P=S,所以所以 这样的这样的m m不存在不存在. .1m2,m3,1m10,m9, 所以(2)(2)由题意由题意xPxP是是xSxS的必要条件，则的必要条件，则S SP,P,所以所以 所以所以m3.m3.综上，可知综上，可知m3m3时，时，xPxP是是xSxS的必要条件的必要条件. .1m2,1m10, 【加固训练】【加固训练】1.1.若若=k=k是函数是函数f(x)=cos(x+f(x)=cos(x+)()(0,

33、)(0,)为奇函数的为奇函数的充要条件充要条件, ,则则k=k=. .【解析】【解析】f(x)f(x)是奇函数是奇函数f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)cos(-x+cos(-x+)=)=-cos(x+-cos(x+) )cos(x-cos(x-)=cos(+x+)=cos(+x+) )x-x-= =+x+x+2n+2n或或x-x-=-(+x+=-(+x+)-2n()-2n(无解舍去无解舍去), ), (0,)(0,)= ,= ,即即k= .k= .答案答案: :2222.2.已知已知ab0,ab0,证明证明a+b=1a+b=1成立的充要条件是成立的充要条件是a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab