第十四章一次函数教材分析

1、第十四章第十四章 一次函数教材分析一次函数教材分析东直门中学东直门中学 杨革华杨革华2010 10 21 一、教材的内容安排一、教材的内容安排二、课程学习目标二、课程学习目标 三、学习要求（考试水平）三、学习要求（考试水平）五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议四、本章教法建议四、本章教法建议n1、课时划分：、课时划分：n本章教学时间约需本章教学时间约需17课时，具体分配如下：课时，具体分配如下：n14.1 常量与变量常量与变量 5课时课时 n14.2 一次函数一次函数 5课时课时 n14.3 用函数观点看方程（组）与不等式用函数观点看方程（组）与不等式3课时课时n14.4 课题学习课题

2、学习 选择方案选择方案 2课时课时n数学活动、小结数学活动、小结 2课时课时一、教材的内容安排一、教材的内容安排 2、知识结构函数函数图像图像一次函数一次函数一元一次方程一元一次方程一元一次不等式一元一次不等式二元一次方程组二元一次方程组课题学习课题学习选择方案选择方案变化的世界变化的世界建立数学模型建立数学模型再认识再认识应用应用性质性质3、本章重、难点、本章重、难点n教学重点：教学重点：n1）变化与对应意义下的函数定义（其中的关）变化与对应意义下的函数定义（其中的关键是认识变量之间的单值对应关系）；键是认识变量之间的单值对应关系）；n2）一次函数的概念、性质；利用待定系数法）一次函数的概念

3、、性质；利用待定系数法求一次函数解析数求一次函数解析数n3）从运动变化的角度，用函数的观点加深对）从运动变化的角度，用函数的观点加深对已学的方程（组）及不等式等内容的认识；已学的方程（组）及不等式等内容的认识；3、本章重、难点、本章重、难点n教学难点：教学难点：n1）对函数概念的理解（函数概念由具体逐步）对函数概念的理解（函数概念由具体逐步过渡到抽象的定义）；过渡到抽象的定义）；n2）对一次函数的增减性的认识；）对一次函数的增减性的认识；n3)从运动变化的角度，用函数的观点加深对已从运动变化的角度，用函数的观点加深对已学的方程（组）及不等式等内容的认识；学的方程（组）及不等式等内容的认识；二、

4、本章学习目标二、本章学习目标n1 1、以探索实际问题中的数量关系和变化规律、以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。重要数学模型。n2 2、结合实例，了解常量、变量和函数的概念，、结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会体会“变化与对应变化与对应”的思想，了解函数的三种的思想，了解函数的三种表示方法，能利用图像数形结合的分析简单的表示方法，能利用图像

5、数形结合的分析简单的函数关系。函数关系。n3、理解正比例函数和一次函数的概念，会画、理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题。题。n4、通过讨论一次函数与方程（组）及不等式、通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，建构和发展相互联系的知识体系。的认识，建构和发展相互联系的知识体

6、系。n5、通过讨论课题学习中选择最佳方案的问题，、通过讨论课题学习中选择最佳方案的问题，提高综合和运用所学知识分析和解决实际问题提高综合和运用所学知识分析和解决实际问题的能力。的能力。三、学习要求（三、学习要求（2010年考试说明）年考试说明）n函数及其图像：函数及其图像：nA级：了解常量和变量的意义；了解函数的概级：了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数自变量取值范围，并会求函数值自变量取值范围，并会求函数值nB级：能用适当的函数表示法刻

7、画某些实际问级：能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系题中变量之间的关系n（2010年镇江市）函数年镇江市）函数 的取值范围是的取值范围是 ，当，当 时，函数值时，函数值y= .n (2010遵义市遵义市)n函数函数 的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是n .x-xn.x x-xxy中自变量12x21xynC C级：能探索具体问题中的数量关系和变化规级：能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图像对简单实际问题势进行初步推测；能结合图像对简单实际问题中的函数进行分析。中的函数进行分

8、析。n（20102010哈尔滨）小明的爸爸早晨出去散步，从家走了哈尔滨）小明的爸爸早晨出去散步，从家走了2020分到达距离家分到达距离家800800米的公园，他在公园休息了米的公园，他在公园休息了1010分，分，然后用然后用3030分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离离S S（单位：米）与离家的时间（单位：米）与离家的时间t t（单位：分）之间的（单位：分）之间的函数关系图象大致是（函数关系图象大致是（ ）D Dn一次函数：一次函数：nA级：理解正比例函数；能结合具体情境了解级：理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图像；理解

9、一次函数的意义，会画一次函数的图像；理解一次函数的性质一次函数的性质nB级：会根据已知条件确定一次函数的解析式；级：会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图像与坐标轴的会根据一次函数的解析式求其图像与坐标轴的交点；能根据一次函数的图像求二元一次方程交点；能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解组的近似解n(2010(2010台州市台州市) )A A，B B两城相距两城相距600600千米，甲、乙两车同时千米，甲、乙两车同时从从A A城出发驶向城出发驶向B B城，甲车到达城，甲车到达B B城后立即返回如图是城后立即返回如图是它们离它们离A A城的距离城的距离y y（千

10、米）与行驶时间（千米）与行驶时间 x x（小时）之（小时）之间的函数图象间的函数图象n（1 1）求甲车行驶过程中）求甲车行驶过程中y y与与x x之间的函数解析式，并写之间的函数解析式，并写出自变量出自变量x x的取值范围；（的取值范围；（2 2）当它们行驶）当它们行驶7 7了小时时，了小时时，两车相遇，求乙车速度两车相遇，求乙车速度x/小时y/千米600146OFECD（第20题）n（2010年镇江市）两直线年镇江市）两直线 的交点坐标为（的交点坐标为（ D ）nA（2，3） B（2，3）C（2，3）D（2，3）1:, 12:21xylxylnC级：能用一次函数解决实际问题级：能用一次函数解

11、决实际问题n（2010珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少年不遇旱灾，遇到多少年不遇旱灾，“一方有难，八方支援一方有难，八方支援”，为，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机及配套相同型号抽水机4台、台、3台、台、2台，每台抽水机台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田每小时可抽水灌溉农田1亩亩.现要求所有柴油发电机及现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田配套抽

12、水机同时工作一小时，灌溉农田32亩亩.n(1)设甲种柴油发电机数量为设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数台，乙种柴油发电机数量为量为y台台.n用含用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；的式子表示丙种柴油发电机的数量；n求出求出y与与x的函数关系式；的函数关系式；n(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、元、120元、元、100元，应如何安排三种柴油发电元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用费用W最少？最少？n解：（解：（1 1）丙种柴油

13、发电机的数量为丙种柴油发电机的数量为10-x-y10-x-yn 4x+3y+2(10-x-y)=32 4x+3y+2(10-x-y)=32n y=12-2x y=12-2xn(2)(2)丙种柴油发电机为丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)10-x-y=(x-2)台台nW=130 x+120(12-2x)+100(x-2)W=130 x+120(12-2x)+100(x-2)n =-10 x+1240 =-10 x+1240n依题意解不等式组依题意解不等式组 得：得：3x5.53x5.5nxx为正整数为正整数 x=3,4,5x=3,4,5nWW随随x x的增大而减少的增大而减少 当当x=5x

14、=5时时 ，W W最少为最少为-10-105+1240=11905+1240=1190（元）（元）四、本章教法建议四、本章教法建议n1、重视教学概念中蕴涵的思想，注意从运动、重视教学概念中蕴涵的思想，注意从运动变化和联系对应的角度认识函数。变化和联系对应的角度认识函数。n 函数是研究运动变化的重要数学模型，他反函数是研究运动变化的重要数学模型，他反应的是变量之间的对应规律。应的是变量之间的对应规律。n 学习函数概念不能只注重背记定义而不关注学习函数概念不能只注重背记定义而不关注它的实质，要使学生真正理解定义的含义，即它的实质，要使学生真正理解定义的含义，即函数概念的实质就是运动变化与联系对应。

15、函数概念的实质就是运动变化与联系对应。四、本章教法建议四、本章教法建议n2、借助实际问题情境，有具体到抽象地认识、借助实际问题情境，有具体到抽象地认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想。函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想。n 本章明确提出本章明确提出“为了更深刻地认识千变万化为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要的教学的世界，人们经归纳总结得出一个重要的教学工具工具函数，用它描述变化中的数量关系函数，用它描述变化中的数量关系”。n 在本章的教学中，要充分注意有关实际背景，在本章的教学中，要充分注意有关实际背景，通过它们反映函数来源于实际又服务于实际，通过它们反映

16、函数来源于实际又服务于实际，加强对函数是解决实际问题的一种重要数学模加强对函数是解决实际问题的一种重要数学模型的认识。型的认识。四、本章教法建议四、本章教法建议n3、重视数形结合的研究方法。、重视数形结合的研究方法。n 函数的表示法之一是图像法，即通过坐标函数的表示法之一是图像法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化、系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法。法。n 结合本章内容可以对数形结合的方法顺势结合本章内容可以

17、对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活应用，发挥从数自然地理解，并逐步加以灵活应用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。和形两个方面共同分析解决问题的优势。四、本章教法建议四、本章教法建议n4、加强对知识之间内在联系的认识，体会函、加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用。数观点的统领作用。n 用函数的观点对前面学习过的一元一次方程、用函数的观点对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的简单复习，分析，这种再认识不是原来水平上的简单复习，而是站在更高处的俯瞰。而是站在更

18、高处的俯瞰。四、本章教法建议四、本章教法建议n5、重视对于基础知识和基本技能的掌握，提、重视对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力。高基本能力。n1 1）基本概念：函数的概念；函数的一般表示）基本概念：函数的概念；函数的一般表示法；一次函数的概念、性质；法；一次函数的概念、性质；n2 2）基本技能：会画一次函数的图像；结合图）基本技能：会画一次函数的图像；结合图像讨论这些函数的基本性质；像讨论这些函数的基本性质；n3 3）基本能力：能利用这些函数分析和解决简）基本能力：能利用这些函数分析和解决简单实际问题。单实际问题。四、本章教法建议四、本章教法建议n6、结合课题学习，提高实践意识与综合应

19、用、结合课题学习，提高实践意识与综合应用数学知识的能力。数学知识的能力。n本章课题学习是选择方案问题，即本章课题学习是选择方案问题，即“用哪种灯用哪种灯省钱省钱”、“怎样租车怎样租车”、“怎样调水怎样调水”，与，与客观实际的接近度很高，并且可以综合运用函客观实际的接近度很高，并且可以综合运用函数的解析式、图像等知识，对问题进行分析。数的解析式、图像等知识，对问题进行分析。五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n1、更深层次的理解函数的概念：、更深层次的理解函数的概念： 变量和变量的变量和变量的“对应关系对应关系”的表现形式是多的表现形式是多种多样的种多样的 ，可以是公式、表格、图像等，可

20、以是公式、表格、图像等 变量和变量的对应关系必须是唯一的变量和变量的对应关系必须是唯一的 两个变量之间用公式、解析式表示时，函数两个变量之间用公式、解析式表示时，函数自变量取值范围如无说明，就是指使解析式有意自变量取值范围如无说明，就是指使解析式有意义的自变量的所有取值的集合义的自变量的所有取值的集合五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n1、更深层次的理解函数的概念：、更深层次的理解函数的概念： 自变量与函数各用什么字母表示这无关紧要自变量与函数各用什么字母表示这无关紧要 自变量与函数是相对的可以互相转化自变量与函数是相对的可以互相转化 两个函数式，当它们的自变量取值范围与对应关两个函

21、数式，当它们的自变量取值范围与对应关系完全相同时，表示同一个函数系完全相同时，表示同一个函数 五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n2、利用类比和运动的方法进行正比例函数与、利用类比和运动的方法进行正比例函数与一次函数的教学。一次函数的教学。n1 1）让学生体会它们之间的特殊和一般的关系；）让学生体会它们之间的特殊和一般的关系；（b b是否等于是否等于0 0，即解析式的区别与联系），即解析式的区别与联系）n2 2）从图像的运动角度认识它们的区别与联系；）从图像的运动角度认识它们的区别与联系；n 1 1、已知正比例函数、已知正比例函数y y= =kxkx经过点经过点P P(1(1，2 2

22、），），如图所示。如图所示。n（1 1）求这个正比例函数的解析式；）求这个正比例函数的解析式；n（2 2）将这个正比例函数的图像向右平移）将这个正比例函数的图像向右平移4 4个单个单位，写出在这个平移下，点位，写出在这个平移下，点P P、原点、原点O O平移后的平移后的坐标，并求出平移后的直线的解析式坐标，并求出平移后的直线的解析式 本题利用变换本题利用变换,直观的直观的显示了正比例函数与一次显示了正比例函数与一次函数的关系。利用图像说函数的关系。利用图像说明了它们的区别和联系。明了它们的区别和联系。n 2、 直线直线y=x+2向右平移向右平移3个单位，再向下平移个单位，再向下平移2个单位，所

23、得到的直线的解析式是（个单位，所得到的直线的解析式是（ ）n分析分析1）可以记公式）可以记公式；y=k（x+m）+（b+n）n 2）利用坐标系中的平移：）利用坐标系中的平移：n A（-2，0） （1，0） （1，-2 ）n B（0，2） （3，2） （3，0） n3、 直线直线y=2x+1向下平移向下平移2个单位后的解析式是个单位后的解析式是 n直线直线y=2x+1向右平移向右平移2个单位后的解析式是个单位后的解析式是 n如图，已知点如图，已知点C为直线为直线y=x上在第一象限内一点，上在第一象限内一点，直线直线y=2x+1交交y轴于点轴于点A，交，交 y轴于轴于B，将直线，将直线AB沿射线沿

24、射线OC方向平移方向平移 个单位，求平移后的直个单位，求平移后的直线的解析式线的解析式3 2OCBAAB特别强调：平移时实际特别强调：平移时实际是对每一个点的平移是对每一个点的平移五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n3、让学生从数、形两个方面充分理解一次函、让学生从数、形两个方面充分理解一次函数增减性。数增减性。n 在教学中既要让学生会看图像，从图形中在教学中既要让学生会看图像，从图形中认识认识y y如何随如何随x x的变化而变化，还要会从数值上的变化而变化，还要会从数值上给予证明。给予证明。n 教科书讨论增减性是通过观察函数图像的教科书讨论增减性是通过观察函数图像的升降发现结论，这

25、是直观的发现方法，我们还升降发现结论，这是直观的发现方法，我们还可以严格的证明：可以严格的证明：五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n设设x1、x2为任意两个实数，且为任意两个实数，且x10，则，则k x1 -k x2 =k(x1 -x2)0n（2）若）若k0，则，则k x1 -k x2 =k(x1 -x2)0，函数，函数y=kx随自变量随自变量x的增加而增加；的增加而增加；若若k0，函数，函数y=kx随自变量随自变量x的增加而减小。的增加而减小。五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n4、注重一次函数与所学知识的联系。、注重一次函数与所学知识的联系。n 1）与全等三角形的联系：

26、）与全等三角形的联系：1、 一次函数一次函数 交交y轴于点轴于点B,并且与正比例函数并且与正比例函数y=kx交于点交于点A(a,3) 求求AOB的度数的度数设点设点C在在x轴上轴上,且且AB=AC1)直接写出点直接写出点C的坐标为的坐标为 2)求经过求经过 A、C点的一次函数的解析式点的一次函数的解析式2321xy cc五、一点儿个人教学建议五、一点儿个人教学建议n2)与轴对称的联系：与轴对称的联系： 2、在平面直角坐标系中，点、在平面直角坐标系中，点A（4，0），点），点P（x，y）是直线）是直线 在第一象限的一点在第一象限的一点设设OAP的面积为的面积为S，用含，用含x的解析式表示的解析式表示S，并写出自变量取值范围，并写出自变量取值范围在直线在直线 求一点求一点Q，使，使OAQ是以是以OA为底的等腰三角形为底的等腰三角形若第若第问变为使问变为使OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？是等腰三角形，这样的点有几个？ 321xy321xy注：第三问只能知道有几个点，求不出坐标。教给注：第三问只能