三角函数在初中竞赛中的应用

1、 三角函数在初中竞赛中的应用1、(09-10迎新杯)已知如图，正方形的边长为1，、分别为、上的点，若是等边三角形，则的长为 2、（第8届希望杯第二试）如图，中，D点在BC上，AD平分，若AB=1，则BD的长为 。3、（第8届希望杯第二试）如图，中，E点在BC上，若CE=2则AE的长等于 。4、（第8届希望杯第一试）如图，中，的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30,则AB的长为 。5、（第16届希望杯第一试）点D是的边BC上一点，如果AB=AD=2,AC=4，且BD:DC=2:3，则按角来分是 三角形。6、（第13届希望杯第二试）已知中，AP是BC边上的中线，则AP的长为 。7、（第13届

2、希望杯第一试）若均为正数，且是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于 。8、（第11届希望杯第二试）正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求的面积。9、设AD是ABC的中线，求证：AB2AC2=2(AD2BD2)10、（2001年全国初中数学联赛）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角。已知EG=k，FH=，四边形EFGH的面积为S。 （1）求证：sin=； （2）试用来表示正方形的面积。11、（1999年全国初中数学联合竞赛）在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则tan

3、ABM_。12、（1993年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=_.13、（2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛）如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，A=60º CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_m.15、（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛）ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边已知a=，b=，c=，则bs

4、inB+csinC的值等于 16、（1991年全国初中数学联赛题）已知：四边形ABCD中，ABC135，BCD120，CD6，AB，BC5。求：AD的长.17、如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角CAB30，CAD45，DBC75，DBA45，AB。试求C，D的距离。18、(1985年全国初中数学联赛题)已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且12，34，56，78.求证：9和10相等或互补19、已知：二次方程mx2(m2)x+(m1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值。求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。 三角函数在初中竞赛中的应

5、用1、(09-10迎新杯)已知如图，正方形的边长为1，、分别为、上的点，若是等边三角形，则的长为 解：因为AE=AF,AD=AB,由HL可得，所以，因为，所以2、（第8届希望杯第二试）如图，中，D点在BC上，AD平分，若AB=1，则BD的长为 。解：因为，AD平分；所以；由正弦定理可得： 3、（第8届希望杯第二试）如图，中，E点在BC上，若CE=2则AE的长等于 。解：由余弦定理可得：所以AE=74、（第8届希望杯第一试）如图，中，的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30,则AB的长为 。解：由角平分线定理可得，所以AB=2BD；设，则有，所以AB=50。5、（第16届希望杯第一试）点D是

6、的边BC上一点，如果AB=AD=2,AC=4，且BD:DC=2:3，则按角来分是 三角形。解：设，由余弦定理可得：因为，所以即所以及为直角三角形。6、（第13届希望杯第二试）已知中，AP是BC边上的中线，则AP的长为 。由余弦定理可得：所以7、（第13届希望杯第一试）若均为正数，且是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于 。解法2：设，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：8、（第11届希望杯第二试）正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求的面积。解：易证得因为，所以所以所以。9、设AD是ABC的中线，求证：AB2AC2=2(AD2BD2)证明：因为，所以。由余弦定理可

7、得：所以AB2AC2=2(AD2BD2)。10、（2001年全国初中数学联赛）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角。已知EG=k，FH=，四边形EFGH的面积为S。 （1）求证：sin=； （2）试用来表示正方形的面积。略。11、（1999年全国初中数学联合竞赛）在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则tanABM_。解：作HNBM交BC于H，易证得，其相似比为2：1，且四边形BMNH为等腰梯形。设所以；所以 因为，所以12、（1993年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作

8、圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=_.解：设。因为BC为O直径，所以设；又因为，所以。所以。由正弦定理可得：，所以，所以S1:S2=3：1。13、（2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛）如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，A=60º CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_m.解：由已知可得，由正弦定理可得：，所以，所以。15、（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛）ABC

9、中，a，b，c分别是A、B、C的对边已知a=，b=，c=，则bsinB+csinC的值等于 解：易得，所以中，所以。16、（1991年全国初中数学联赛题）已知：四边形ABCD中，ABC135，BCD120，CD6，AB，BC5。求：AD的长.解：由已知可得，由正弦定理可得：所以，所以，所以由余弦定理可得： 所以17、如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角CAB30，CAD45，DBC75，DBA45，AB。试求C，D的距离。解：在ABC中，ACBCAB30，BCAB, AC2cos30=3.在ABD中，ADB60由正弦定理，AD×sin45=÷×.在ACD中，由余弦定理，得CD232（）22×3×Cos45=5CD.18、(1985年全国初中数学联赛题)已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且12，34，56，78.求证：9和10相等或互补证明：根据正弦定理，得=.sin10=sin9 9和10相等或互补。19、已知：二次方程mx2(m2)x+(m1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值。求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。解：作RtABC斜边上的高CD.则sinA=, sinB=.sinA和 sinB是方程的两根，根据韦达定理，得sinA+ sinB=； (1) s