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文档简介

1、公选课程非线性分析之对称与复杂复习提纲1、1904年，瑞典数学家冯·科赫(H·V·Koch)构造了著名的魔线：取单位长度线段E0，将其等分为三段，中间的一段用边长为E0的的等边三角形的两边代替得到E1，它包含四条线段，对E1的每条线段重复同样的操作后得E2，对E2的每条线段重复同样的操作后得E3，继续重复同样的操作无穷次时所得的曲线F称为科赫曲线（图1）. 由上可知，科赫曲线是对E0“”反复实施变换“”形成的，我们称E0“”为初始元，“”为生成元（或分形元）.图1题1. 1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了著名的皮亚诺曲线，这条曲线最终能填满整个

2、平面区域. 图2是它构作的头几级，则它的初始元是（ ），生成元是（ ）.(a) (b) (c) (d)图2解：据观察，皮亚诺曲线是对直线段（a）不断施以同一种变换构成的，所以初始元为（a）；在构作的每一步都是将原图中所有线段三等分，以中间一段为一边向线段两旁各作一正方形，所以生成元为（b）题2 . 19151916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得

3、图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图3）.它被用作超导现象和非晶态物质的模型. 图3试指出谢尔宾斯基“垫片”的初始元（ E0 ）和生成元（E1 ）. 题3. 试指出谢尔宾斯基 “地毯”的初始元（ E0 ）和生成元（ E1 ）.图4题4. 若一分形以单位长线段为初始元，以“”为生成元（其五条小线段的长均为单位线段长的），你能作出此分形构作过程中的一、二、三、四步吗？题5. 在谢尔宾斯基地毯的生成（图4）中，每次挖掉的是正方形区域的内心而留下了它的边，n为实施次数，（1）用n表示新正方形的个数.（2）用n表示新正方形的边长.题6. 分形维数的计算公式为，请参照一下康托尔集的维数计算方法计算科赫曲线（见图1）的维数。题7. 一个图形绕着某个定点，旋转一个的角度后能与自身重合，这样的图形称作旋转对称图形。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。请问下图的元角是多少？并说明理由。 题8. 什么是黄金比例？有哪些东西符合这种比例？（举3-4个例子说明）题

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