2024年海南文昌中学自主招生数学试卷试题真题（含答案）

数学试题第1页，共4页2024年初中学业水平自主招生测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。2.本场考试为考试时间为90分钟，请分配好时间。 3.本卷共14小题，满分120分。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(FlorenceNightingale1820-1910)设计的，图中每个扇形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是A.2015年至2022年,知识付费用户数量逐年增加B.2016年至2022年,知识付费用户数量的年增加量逐年递增C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍D.2017年至2018年,知识付费用户数量增加量为近些年来最多2.若将函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则m的最小值为A.π3B.π6C.2π3.我国古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角分别为(60°和20°,且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为（）(cos10°≈0.985)A.49.25mB.52.76mC.56.74mD.50.76m4.已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例如，|(-3.5]=-4,[2,1]=2.，则以下选项错误的是（）A.[2x]=2[x]B.[x]<x<x+1C.[x]+[x+12]=[2x]D.x2+5.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48)A.第5代种子B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子6．若实数m，，满足，以下选项中正确的是（

）A．mn的最大值为14 B．的最小值为C．的最小值为 D．最小值为7．若实数满足，则下列选项错误的是（）A．且 B．的最小值为9C．的最小值为 D．8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.在锐角△ABC中，∠BCA=30°，AC=4，则BC的取值范围为.10.已知，为的直径，内接于，交于点E，．如图，点F在弧上，连接，，，，点G在上，连接，若，的值为.11.如图，A、B是函数上两点，P为一动点，过点P作轴，轴，下列说法：①；②；③若，则平分；④若，则，其中正确的有（填序号）.12.若关于x的方程（1x−1）2-|三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（15分）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．试证明：（1）当时，四边形为正方形；当P在运动过程中，的最小值；当时，．14.（15分）对于两个多项式，若，满足下列两种情形之一：①，；②，；则称多项式P为“较大”多项式，多项式Q为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，……，以此类推，经过n次操作后得到的序列，，，…称为“优选作差”序列．现对，进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，试证明：（1）；（2）；（3）当时，“优选作差”序列中满足的正整数k有1350个．15.（15分）已知中，，是边上一点，，∠ADC=60°，∠DAC=75°.（1）求的长；（2）求的面积.16.（15分）阅读材料：已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，试证明：（1）点到直线的距离是；（2）抛物线上存在两个点到直线的距离是；（3）若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是．2024年初中学业水平自主招生测试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案BADACDCB二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.（23，10.1②③④（1，54）∪（54，+三、解答题：本大题共4小题，每小题15，共60分。13.（15分）证明：（1）如图1，图1四边形是矩形，，，，，由翻折得：，四边形是矩形，四边形是正方形，（2）如图2，连接，图2，当、、三点共线时，取得最小值，此时，，，，由翻折得，，的最小值，（3）如图3，图3∵，，设，，，，，，解得：，，14.（15分）证明：（1）∵，，∴，，，，，，，，，∴、、、、…多项式为，即：，，2，3，…，当时，，故；（2），故；（3）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，∴当，3，6，…，即：或，，2，3，…，时，，当时，，，不符合题意，当时，，∴在序列中，共有个值使得，∴在序列中，有个值使得15.（15分）解：（1）由已知∠ACD=45°，则中，；（2）中，，，∠ADB-180°-∠ADC=120°，由余弦定理得：，解得，所以的面积为.16.（15分）证明：（1）由题中点到直线距离公式为，中的，可得点到直线的距离是，故点到直线的距离是．（2）设抛物线上任意一点坐标为，当点到直线的距离是时，得，化简可得，即，令时，其顶点坐标为，开口