量子力学复习资料--华科期中考

1、目录基本假说 . 2基本假设 . 2基本定义 . 3对易关系 . 4厄米算符 . 5一维谐振子 . 7共同本征函数 . 7守恒量 . 9中心立场的径向方程 . 9表象变换 . 11自旋 . 12微扰理论 . 13光 . 13定理-特征值与特征函数 . 14-1-基本假说经典物理学（其中两个结论）：1. 能量永远是连续的。2. 电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动时，会向外射电磁波。如：回旋加速器中的轫致辐射。普朗克量子假说：辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某

2、一最小能量e的整数倍。对频率为n的谐振子, 最小能量e为:e=h （e称为能量子普朗克常数：h =6.6260755×10-34 J·s）玻尔的假设：(1913 “论原子分子结构” )1. 定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的状态，在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射电磁波。这些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）。这些定态的能量：E1,E2,L,En2. 跃迁假设：电子从一个能量为 的稳定态跃迁到另一能量为 的稳定态时，要吸收或发射一个频率为 的光子，有：nkn=德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分子等)也都具有波粒

3、二象性; 具有确定动量p和确定能量E的实物粒子相当于频率为和波长为l的波, 二者之间的关系如同光子和光波的关系一样, 满足de Broglie公式： En-Ekh 辐射频率公式E=h p=h/l基本假设-2-量子力学基本假设之一：波函数y(r,t)表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微观体系的状态。量子力学基本假设之二：量子力学中，力学量用算符表示，若在经典力学中有力学量F，r。力学量用厄米算符表示，表示力学量的则在量子力学中相应的力学量算符为F算符有组成完全系的本征函数。量子力学基本假设之三：描述体系状态的波函数y(r,t)其时空演化行为满足薛定谔方程。 v的本征函数F展开，其中：量子力

4、学基本假设之四：将体系的状态波函数y用算符FnF=lF, FF=lFy=cF+cFdl则在体系y态中测量力学Fånnòllnnnlln量F得到结果为ln的概率为cn，得到结果l®l+dl范围内的概率是2cldl。量子力学基本假设之五：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。(全同性原理) 2基本定义绝对黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射和透射的物体。热辐射：任何物体在任何温度下都在不断地向外发射各种波长（频率）的电磁波。不确定度关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提“空间某一点x的波长”。从而，对微观粒子，

5、只要承认其具有波粒二象性，“微观粒子在空间某一点x的动量”，这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点x，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。不确定度（测不准）关系的严格证明：和B为厄米算符， 结论为：DA×DB³和px，有Dx×Dpx³h，"A对于x1A,B。 2-3-算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，设某种运算把函数u变为v，表示u=v。 为：F利用能量算符，可以给出量子力学中的基本方程-薛定谔方程：¶h22vvvihy(r,t)=-Ñ+V(r,t)y(r,t) ¶t2m束缚态：通常把在无限远处

6、为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。态叠加原理： 一般情况下，粒子并不只是完全确定的处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即y(x)=åcynnn(x)。定态：由定态描述的粒子状态，测量其能量时，得到确定值E。简并：如果系统的能级是分立的，即E=En，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。,A,A,×××)，它们拥有共同本征函数力学量完全集： 设有一组彼此对易的厄米算符(A123yk，若yk构成正交归一完备集，使得任给体系的

7、一个量子态y，总有,A,A,×××)构成体系的一组力学量完全集。 y=åakyk，则称(A123kZeeman效应 (1896) ：加入磁场后，体系的能级结构发生了变化，导致能级分裂。原来(B=0)的一条谱线，分裂成三条、五条、七条(B¹0)等。对易关系,B,BBy。 和y，Ay-BA对易式："AyºA坐标动量对易关系：-4-x,px=ih y,py=ih z,pz=iha,pb=ihdab=ìíih,a=bî0,a¹b a,b=x,y,z角动量的对易式：lx,x=0,lx,y=ihz

8、,lx,z=-ihy,ly,x=-ihz,ly,y=0,ly,z=ihx,lz,x=ihy,lz,y=-ihx,ly,z=0,lx,px=0,lx,py=ihpz,lx,pz=-ihpy,ly,px=-ihpz,ly,py=0,ly,pz=ihpx,lz,px=ihpy,lz,py=-ihpx,ly,pz=0,l2,lx=0, l2,ly=0, l2,lz=0对易恒等式：A,B=-B,A A,B+C=A,B+A,CA,BC=A,BC+BA,C AB,C=AB,C+A,CBA,B+C+B,C,A+C,A,B=0厄米算符定理：体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数。逆定理：在任何状态下平均值均为

9、实的算符必为厄米算符。 推论：厄米算符平方的平均值大于等于零。定理1：厄米算符的本征值必为实数。-5-定理2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。¶¶2lx=-ihsinf+cotqcosf¶q¶f¶¶2ly=-ih-cosf+cotqsinf¶q¶f¶2lz=-ih¶f21¶¶1¶=-hL(sinq)+ sinq¶q¶qsin2q¶f222角动量z分量的本征值与本征函数：lz=mh, m=0,±1,±2&

10、#215;××是量子化的； 相应的本征函数：ym(j)=连续谱本征函数：设本征值与本征函数为px和y，本征方程为：-ih12peimj, m=0,±1,±2×××； ¶y=pxy®Cexp(ipxx/h)¶x若xÎ(-¥,+¥)，则pxÎ(-¥,+¥)，为连续变化：所以称ypx为连续谱本征函数-不能用一般的方式进行归一化； 222ph¶z=-一维自由粒子的哈密顿量算符为：H，能量本征方程为：2m2m¶x2h2

11、2;2±ikx22-y=Ey，解为：y(x)=Ce,E=hk/2m³0,k=2mE/h³0。 E22m¶xyE(x)=Ce±ikx也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化。-6-一维谐振子简谐运动： 体系在平衡位置附近的微小振动； 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为V(x)=Kx2； d22m1一维谐振子的能量本征方程：2y(x)-2(m2w2x2-E)y(x)=0 dxh2能量本征值:En=(n+1/2)hw本征函数:y(x)=Ane-a2x2/2Hn(ax) a=mwh n厄密多项式Hn(x)=(-1)e1

12、2x2dn-x2e,n=0,1,2,×××. ndxAn=a/(2n!)满足如下性质： 1nxyk=(k/2k-1+(k+1)/2k+1)/adyk=a(k/2yk-1-(k+1)/2yk+1) dx共同本征函数y=Ay,By=By， 共同本征函数：设AAABB的本征函数； 的本征函数y不能是A,B¹0，则yA不能是B若AB1注：虽然这两个公式平时也没怎么用到，但是在2012年春季光信量子力学期中考试的最后一题就用到了-7-和B,By=Ay,B=0，则可能存在y，使得：Ay=By称y 为算符A若A的共同本征函数；r=(px,py,pz)的共同本征函数：

13、动量pvvvi(px+py+pz)/hip×r/h拥有共同本征态，即平面波：y(r)=e=exyz； rpvr坐标=(x,y,z)的共同本征函数：拥有共同本征态：yxyz(r)=d(r-r0)ºd(x-x0)d(y-y0)d(z-z0)000vvvl2和lz的共同本征函数： h2¶¶12¶2(sinq)+lz ,l=-球坐标下：lz=-ih2sinq¶q¶q¶jsinq共同本征函数为满足关系： Ylm(q,j)=(-1)m2l+1(l-m)!mPl(cosq)eimj，称为球谐函数，4p(l+m)!ì&#

14、239;l2Ylm=l(l+1)h2Ylmm=l,l-1,×××,-l+1,-l, í l=0,1,2,×××ïîlzYlm=mhYlml 轨道角动量量子数 m 磁量子数2,l)表象中，lz,lx,ly和l2的表示2： 在(lzæ010ö÷hçX=ç101÷2ç÷è010øæ100öç÷Z=hç000÷ç00-1÷è&

15、#248; æ0-i0ö÷hçY=çi0-i÷2ç0÷è0iø æ100öç÷2L=2hç010÷ç001÷èø2以下的四个表示式和后面泡利算符的表达式最好都记住，考试的时候有些计算会用到，尤其是泡利算符的表示式和相互关系；-8-守恒量 d1¶A力学量平均值的时间依赖特性：(t)=A,H+； dtih¶t不显含t，即¶t=0，有若A,H=0®若Ad1(t)=

16、A,H。 dtihd对应的力学量为体系的一个守恒量。 (t)=0，称此时Adt中心立场的径向方程即F和G,H¹0,H=0,G=0，但F,G定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F则体系能级是简并的。 e2氢原子中，电子的势能函数：V(r)=-； re2a0e2-l2,0<l£1,a0为Bohr半径。 碱金属原子中，电子的势能函数：V(r)=-rr它们都是球对称的，称之为中心力场。 h2¶2¶l2能量本征方程写为：-r+V(r)y=Ey 222mr¶r¶r2mr2,l)的共同本征函数； ,ly(r,q,j)=Rl(r)Ylm(q,j

17、)是(Hz关于Rl(r)的径向方程：Rl¢¢(r)+22ml(l+1)Rl¢(r)+2(E-V(r)-Rl(r)=0 rhr22ml(l+1)(E-V(r)-cl(r)=0 22hr-9-令cl(r)=rRl(r)，有：cl¢¢(r)+Rl(r)称为径向波函数，取决于V(r)的形式。ì0, r<a无限深球方势阱：V(r)=í ¥, r>aîs态情况，得到： p2h2(nr+1)2能量本征值E=En=, nr=0,1,2××× 2ma2r径向波函数：c0nr(r)=

18、(n+1)p2sinrr aa其中：能量是量子数的显函数。 非s态情况（l>0的情况）Rnrl(r)=Cnrljnrl(knrlr), knrl=znrl/aE=Enr,l能级（2l+1）度简并 h2=zn2r,lnr=0,1,2××××, 22ma氢原子2me2l(l+1)cl¢¢(r)+2(E+)-2cl(r)=0hrr其中m为电子的约化质量，令h=m=e=1cl¢¢(r)+2E+2l(l+1)-cl(r)=0 2rre21,n=1,2××× 得能量本征值：E=En=-22=

19、-2an22hn主量子数：n=nr+l+1，角量子数：l=0,1,2×××波函数：ynlm(r,q,j)=Rnl(r)Ylm(q,j) me41a=h2/me2 Bohr半径-10-磁量子数：m=l,l-1,×××,-l+1,-l氢原子能级是n2度简并 能级不简并表象变换在自己的表象中，算符的矩阵式对角化的，对角线上的矩阵元与本征值相对应。 狄拉克符号的定义与内积：y：右矢，代表量子态y；：左矢，代表量子态y的共轭态y*；b是内积；a大于等于0，成为模方；ba是外积；内积：(y,y)=òdty*yºy；y=1

20、74;y是归一化态矢y=0®y和f是正交的 本征态的正交归一：kj=dkj的作用是将y在k方向上的分量挑选出来。 =kk称为投影算符，åkk=IPPkkk态矢y在F表象中用ak=ky表示态矢y在F¢表象中用a¢b=by表示。 算符向左作用3：vvvv1. 角动量算符l=lxex+lyey+lzez，证明：在lz的任何一个本征态下，lx和ly的本征值为零；2,l) 的共同本征态，证明l和ly的平均值都为l(l+1)-m2h2/2； 2. lm为(lzx223两个结论的推导应当要比较熟练，证明题有时候就是跟证明差不多的题目；-11-|l,m>=hl(l

21、1)m(m1)|l,m±1> 附4：L±自旋电子自旋假设：（荷兰物理系学生Uhlenbeck和Goldsmith与1925年提出）：=±1. 电子具有自旋，形成自旋角动量，在任何方向上的投影只有两个数值：Szh； 2的关系是M=-与S2. 自旋形成自旋磁矩MsseS； mc在空间任何方向上的投影只能取两个值，如z方向，基于假设1，M/s=±e×h=±m，其中m为Bohr磁子。 MszBBmc2在电子自旋假设的基础上发展起来的量子理论，不仅可以解释史特恩盖拉赫实验，而且可以解释碱金属原子光谱的双线结构和反常塞曼效应等，终为人们所接

22、受。它揭示出电子具有自旋这种内禀属性，是一种量子效应，没有经典对应。就是说，电子的自旋是量子概念，不能同宏观粒子的自旋机械运动简单对应。SSxy-SySx=ihSzSSyz-SzSy=ihSxS-SS=ihSSzxxzyxsy-sysx=2iszsysz-szsy=2isx®szsx-sxsz=2isysxsy=-sysx=iszìsïysz=-szsy=isx 又ísïxsz=isyîszsx=-s01öhæ0-iöhæ10ö=hæç÷ç

23、47;÷S，S=,Sz=çxyç÷ç÷ç2è10ø2èi0ø2è0-1÷ø常用公式：zsinl eilsz=cosl+is4该公式证明的时候可能会用到；-12-微扰理论绝热微扰：当外界的围绕十分缓慢地作用到系统上时，不会改变系统的状态，这样的微扰叫做绝热微扰；突发微扰：当外界的微扰十分突然地作用到系统上时，也不会改变系统的状态，这样的微扰叫突发微扰； 二级近似下：Ek=E(0)kq2S21q2S2； -=(k+)hw-22mw22mw2æk+1(

24、0)k(0)öç； +k+1-k-1÷ç÷22whmwèøqS一级近似下，yk=y(0)k电偶极矩：D=2q=2q2Smw2； 电极化率：k=DS=2q2mw2；跃迁选择定则：在外电场的作用下，只允许Dn=1的跃迁发生，这成为跃迁的选择定则； 禁戒跃迁：在外电场的作用下，谐振子从基态|0>不能跃迁到激发态|n>，其中n>1，称这样的跃迁为禁戒跃迁； 能量和时间不确定度：DEDt³h； 2能级宽度DEk，谱线宽度Dn=(DEk+DEk-1)/h；光-13-半经典理论：如果对光的吸收、受激辐射和自发辐

25、射的理论处理采用这样的办法：将光波看做电磁波（而不是看做光子群），用电动力学（而不是量子力学）来描述，对原子系统采用量子力学来描述，这样的理论习惯上被称为半经典理论。光的吸收：实验表明，在光的照射下，原子中的电子能吸收光子，从低能级跃迁到高能级，这叫光的吸收。光的受激辐射：在光的激发下，原子中的电子能从高能级跃迁到低能级，并释放一个光子，这叫光的受激辐射。光的自发辐射：在没有外界因素的作用下，原子钟的电子能自动地从高能级跃迁到低能级，并释放一个光子，这叫光的自发辐射。定理-特征值与特征函数定理1：设y(x)是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为E ，则y*(x)也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为E ；推论： 对应于能量的某个本征值E，若对应的能量本征方程的解y(x)不简并，则这个解可取为实函数。定理2：设y(x)是能量本征方程的一个解，对应于能量的某个本征值E，总