自适应滤波器

1、自适应滤波2007-10-24 20:24自适应滤波学习小结学号:200310202026 姓名:楚恒一.自适应滤波算法的基本原理自适应滤波器是近30年来发展起来的关于信号处理方法和技术的滤波器,其设计方法对滤波器的性能影响很大.自适应滤波器的发展非常迅速,现已广泛应用于系统模型识别,通信信道的自适应均衡,雷达与声纳的波束形成,减少或消除心电图中的周期干扰,噪声中信号的检测,跟踪,增强和线性预测,图像的增强与复原等. 维纳滤波器的参数是固定的,适用于平稳随机情况下的最优滤波;卡尔曼滤波器的参数是时变的,适用于非平稳随机情况下的最优滤波.这两种滤波器设计方法都是建立在信号和噪声的统计特性(数学期

2、望,相关函数等)的先验知识基础上.遗憾的是,在实际应用中常常无法预先得到这些统计特性或它们是随时间变化的.而对于自适应滤波器,当输入信号的统计特性未知,或者输入信号的统计特性变化时,它能够自动地迭代调节自身的滤波器参数,以满足某种准则的要求,从而实现最优滤波.通常将这种输入统计特性未知,调整自身的参数到最佳的过程称为"学习过程".将输入信号统计特性变化时,调整自身的参数到最佳的过程称为"跟踪过程",因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能.自适应滤波器可以分为线性自适应滤波器和非线性自适应滤波器.非线性自适应滤波器包括Volterra滤波器和基于神经网络的自

3、适应滤波器.非线性自适应滤波器具有更强的信号处理能力.但是,由于非线性自适应滤波器的计算较复杂,实际用得最多的仍然是线性自适应滤波器.自适应滤波器的实现方式有:模拟式和数字式两种,前者可以用于某些单频干扰的抑制;而后者通常用软件来实现,又称为DLMS算法.下图为自适应滤波器原理框图.图1 自适应滤波器原理图二.LMS算法根据自适应滤波算法优化准则的不同,自适应滤波算法可以分为两类最基本的算法:最小均方误差(LMS)算法和递推最小二乘(RLS)算法.基于最小均方误差准则,LMS算法使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的均方误差最小.基于最小二乘准则,RLS算法决定自适应滤波器的权系数矢量使估计误

4、差的加权平方和最小.由此两准则衍生出许多不同的自适应滤波算法.这里我们主要讨论最小均方差(LMS)算法,即权系数递推修正达到最佳权系数是依据最小均方算法.最陡下降法(Steepest Descent Method)是LMS算法的基础,该方法是1959年由威德诺等人提出的,即下一时刻权系数矢量应该等于"现时刻"权系数矢量加上一项比例于负的均方误差函数的梯度,即(21)其中为(22)为控制收敛速度与稳定性的数量常数,称为收敛因子或自适应常数.式(21)中第二项前的负号表示当梯度值为正时,则权系数应该小,以使下降.根据式(21)的递推算法,当权系数达到稳定时,一定有,即均方误差达

5、到极小,这时权系数一定达到所要求的最佳权系数.LMS算法有两个关键:梯度的计算以及收敛因子的选择.按(22)计算时,要用到统计量G,P,因此有很大困难,故通常用一种粗糙,但却有效的方法,就是用代替,即(23)式(23)的含义是指单个误差样本的平方作为均方误差的估计值,从而使计算量大大减少.从而最终可以推出权系数迭代的LMS算法为:(24)只要给定系数迭代的初值,根据上式可以逐步递推得到最佳权系数,并计算出滤波输出.采用LMS算法是一种递推过程,表示要经过足够的迭代次数后,权系数才会逐步逼近最佳权系数,从而使计算得到的为最佳滤波输出,即噪声得到最好的抑制.这种迭代过程存在迭代的收敛法及收敛速度等

6、一些问题.(1)系数矢量(矩阵)的收敛性设自适应滤波器由公共噪声源构成的输入样本间不相关,则权系数矢量数学期望收敛到维纳解(最佳权系数)的唯一条件是参数要限制在某一界限内,即(25)式中为自相关矩阵的最大特征值.LMS算法加权矢量的统计平均值的过渡过程和最陡下降法加权矢量的过渡过程是一样的.也就是说,LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的,其统计平均值等于最陡下降法加权矢量,故而,它们的收敛条件相同,皆为式(25).该收敛条件也可以和总输入参考通道噪声功率联系起来.因为(26) 故 (27)式(26)中,称为G的迹;为输入噪声总功率.这类自适应滤波器的具体效应说明,即使在输入样

7、本间有较大相似性时,权系数矢量的数学期望值也能有收敛到维纳解.(2)权系数的学习曲线及时间常数权系数的学习曲线是指权系数矢量在递推过程中,逐步逼近最佳权系数的情况,它实际上反映了收敛的快慢.对权系数矢量作变换(28) 变换矩阵Q与对前述对G变换相同,为权系数矢量的数学期望.权系数在自适应调整过程中有一个过渡带,过渡过程的快慢可以用时间常数来确定.时间常数与自相关矩阵G中第个特征值成反比,而与输入噪声功率成正比,因此时间常数与输入噪声功率成反比,即输入噪声功率越高,权系数自适应调整的速度就越快.当各特征值不相等的情况下,过渡过程是由时间常数为的指数曲线的综合平均来确定."学习"

8、;曲线是表示均方误差对时间或迭代次数的关系曲线.均方误差是权系数矢量的二次型.由于权系数的过渡过程是指数函数,指数函数的平方仍然为指数函数,但其时间常数是原来的一半,所以"学习"曲线应具有指数特性.(3)权失调前面我们已经提到了,在实际工作中,通常用代替.这样做会产生梯度估计噪声:(29)由梯度估计噪声所引起的权系数估计的起伏被称为权失调.为此,引入失调系数M,M定义为:(210)其中,为的最小值,为实际递推过程可以达到的均方误差值,其表达式为: (211) 可以推出失调系数为:(212)在保证收敛的情况下加大,会提高收敛速度,也说明为了减少失调系数,应适当选择收敛速度,以

9、保证收敛速度和失调系数都满足要求.(4)LMS算法参数的选择初始收敛速度,时变系统跟踪能力及稳态失调是衡量自适应滤波算法优劣的三个最重要的技术指标.当采用LMS算法的时候,收敛因子与加权数目是两个主要参数,而收敛速度与失调系数是其两个重要性能指标.由前面可知收敛因子是表征迭代快慢的物理量,越大,自适应时间越短,自适应过程越快,但它引起的失调也越大,当大于时,系统发散;越小,系统越稳定,失调越小,但自适应过程也相应加长,因此步长的选择应从整个系统要求出发,在满足精度的前提下,尽量减少自适应时间.加权数目较小时,增加有好处,但增加到一定值后,再增加,则使失调系数增大.增加时虽然可以减小,但是引起增

10、大,故而增加最终并不总能保证改善其性能.三.LMS算法的改进随着自适应滤波器的广泛应用,人们对LMS算法进行了大量的改进.由于固定步长的自适应滤波算法在收敛速度,时变系统跟踪速度与收敛精度方面对算法调整步长因子的要求是相互矛盾的.为了克服这一矛盾,人们提出了许多变步长自适应滤波算法.但变步长自适应滤波算法中的其它参数的选取还需实验来确定,应用起来不太方便.传统的自适应滤波器主要在时域中实现,采用抽头延迟线结构及自适应最小均方误差(LMS)算法.这种方法算法简单,稳健性也比较好,因而被广泛地应用.但是这种方法的收敛性不很理想,对输入信号的自相关矩阵有很强的依赖性.当输入信号的自相关矩阵的特征值分

11、布发散度较大时,算法的收敛速度很慢.为了解决时域LMS算法的上述问题,人们又提出了变换域LMS算法,其基本思想是把时域信号转变为变换域信号,在变换域中采用自适应算法.变换域自适应滤波算法的一般步骤是:1)选择正交变换,把时域信号转变为变换域信号;2)变换后的信号用其能量的平方根归一化;3)采用某一自适应算法进行滤波.K.Ozeki和T.Umeda提出了仿射投影算法,它是能量归一化最小均方误差(NLMS)算法的推广.仿射投影算法的性能介于LMS算法和RLS算法之间,其计算复杂度比RLS算法低.NLMS算法可以看作是一种时变步长因子的LMS算法,其收敛性能对输入信号的能量变化不敏感.此外,除了上面介绍的自适应滤波算法之外,还有一些其它的算法,如:系数部分更新自适应滤波算法,LMF(RLF)算法,Leaky-LMS算法等等.参考文献1 戴逸松. 微弱信号检测方法及仪器M. 北京:国防工业出版社,19942 丁玉美,阔永红,高新波. 数字信号处理时域离散随机信号处理M. 西安:西安电子科技大学出版社,20023 徐常胜,周兆英,李杰. 自适应滤波的原理与应用J. 中国仪器仪表,1994,(6)4 邹艳碧,高鹰. 自适应滤波算法综述J. 广州大学学报(自然科学版),2002,1(2):43-495 覃景繁,欧阳景正. 一种新的变步长自适应滤波算法J. 数据采集与处理,199