课例名称一道双曲线探究问题的拓展课

1、【课例名称】：一道双曲线探究问题的拓展课【署名】：学校：上海市松江一中 学科：高中数学教师：曹素玲联系电话子信箱：caosuling【正文】：一、设计思路本节课根据二期课改的指导思想，本着以学生发展为本的理念，从一道探究新问题入手探求其解法并对其进行变式引申，培养学生自主、合作与探究的精神，并提高学生发现问题和解决问题的能力，属于数学拓展课的内容。主要分“创设情境，导入新课；自主探究，引发变式；变式训练，逐步拓展；归纳总结，升华提高”四个教学环节。二、教材分析 （1）解析几何解决的两类问题，一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质。而圆锥

2、曲线是解析几何的重要内容，在历年高考中都占很大的比重，同时，数学课程标准中要求学生会利用已有的知识和经验，发现和提出有一定价值的问题，能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系。能正确地表述探究过程和结果，并予以证明；在新的情景中，能正确地表述数量关系和空间形式，并能在创造性的思考问题的基础上，对较简单的问题得出一些新颖（对高中学生而言）的结果。（2）本节课从一道探究新问题入手探求其解法并对其进行变式引申，贯穿于整个学习过程中的师生，生生之间的协作，对学习内容的收集与分析、命题的提出与验证、学习过程的自我反馈和学习结果的评价以及意义的最终建构，都起了至关重

3、要的作用。三、学情分析学生在前面已学过圆、椭圆、双曲线三种曲线，在前面几节课学习了求曲线方程的基本方法，因此，本节课主要以问题为载体，教师通过几个环节的设问，让学生利用已有的知识，去探究用圆锥曲线的直径的性质。由于本节课内容属于拓展内容，涉及到的数学思想比较多，所以本节课通过课堂教学的自主、合作与探究的形式，让学生了解双曲线、椭圆的另一种生成方法，体会双曲线、椭圆、圆几何特征的不同表现形式，体会合情推理和演绎推理在数学发现中的作用。四、教学目标根据本节课的内容及学生的认知水平，确定教学目标为：知识与技能目标：掌握求轨迹方程的基本方法；通过例题的变式训练，探究出圆锥曲线直径的相关命题，并给予证明

4、。培养学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力。过程与方法目标：渗透分类讨论、类比与方程的思想，认识合情推理和演绎推理在数学发现中的重要作用。情感、态度与价值观目标：通过合作学习，培养学生的协作互助精神，激发学生学习数学的兴趣及探索新知的能力。通过学生自主探究，培养学生自主学习的能力，并体验成功的快乐。五、教学重难点教学重点：对探究性问题的变式训练教学难点：对圆锥曲线直径的相关命题的探求六、教学策略与手段教学模式：变式教学模式教学策略：通过探究、变式训练、小组合作等形式，对探究性问题进行各种各样的变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，

5、加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想、激发思维；教学手段：多媒体、实物投影仪。七、教学过程（一） 创设情境，导入新课师：前面我们学过圆、椭圆、双曲线的方程，只要给定一个方程，我们就能判断它表示什么样的曲线。同学们看这个方程表示什么曲线？例：方程能表示什么曲线？请说明理由。【设计说明】引例的设计，让学生意识到参数的变化会引起曲线类型的变化，为后面的变式训练埋下伏笔。学生思考，解答，组内交流。投影学生1的答案：（1）当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线；（2）当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；（3）当时，曲线表示圆；（4）当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；（5）当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线

6、；（6）当或时，不表示任何曲线；师：本题你主要考虑了哪些因素？生1：考虑了，系数的正负及大小关系。师：很好，抓住了问题的关键，从这个例子，我们可以看到参数的变化带来了曲线类型的多种变化。下面我们看一个由动点的轨迹确定曲线方程的问题如何求解（出示探究性问题）。（二）自主探究，引发变式探究性问题：的两个顶点、的坐标分别为和，边、所在的直线的斜率之积为，求顶点的轨迹。【设计说明】为便于计算，将学习重心放在题目变化上，笔者对数据进行了优化，条件改为三角形，让学生注意轨迹的纯粹性。学生独立解答，教师实物投影学生2的答案。生2：设顶点的坐标为，由题意得：，即，整理得。因为、三点构成三角形，所以。所以，定点

7、的轨迹为焦点在轴的双曲线（除去A、B两点）。师：好，这位同学的解答非常全面，利用斜率找到了动点满足的等量关系，并且考虑到了三角形这个容易忽视的条件。大家来观察，如果我们将条件中的改变为，结果会怎样呢？（三）变式训练，逐步拓展变式1：的两个顶点、的坐标分别为和，边、所在的直线的斜率之积为，求顶点的轨迹。学生练习，教师巡视，对个别同学出现的问题进行指导。教师投影解答：设顶点的坐标为，由题意得：，即，整理得。因为、三点构成三角形，所以。所以，顶点的轨迹为焦点在轴的椭圆（除去、两点）。师：我们没有改变原题的基本数据，只是将斜率之积稍加改变，变成如上的变式，解题的方法没有变，但结论发生了变化，请同学们说

8、明，发生了什么变化，并解释为什么会发生变化？生3：由（除去、两点）的双曲线变为除去两点（、两点）的椭圆。变化的原因是变为吧！师：回答非常到位。哪个同学还能对这个题目加以变化，做一个小命题专家呢？生4：我发现，刚才、恰好是双曲线的顶点，我们可以变化、点的位置到轴上。变式2：一边的两个端点的坐标分别为和，另两边所在直线的斜率之积为，求顶点的轨迹方程。师：很好，改变已知点所在坐标轴，总体来说，计算过程应该相似。现在，大家能否根据上面的题目，直接类比得出结论呢？【设计说明】至此学生已经基本掌握了此类问题的本质，改变已知点所在坐标轴，虽然适当加大了题目的难度，但总体来说，这种变式，学生还是能够接受的。生

9、5：相当于变化了焦点所在的轴吧！我想方程应该是。解：设顶点的坐标，由题意得：，即，整理得。因为、三点构成三角形，所以。师：解题方法没有改变，结论变化了。但仍然为除去两点的双曲线，把探究问题中的改为呢？变式3：的两个顶点、的坐标分别为和，边、所在的直线的斜率之积为，求顶点的轨迹。生6：还是双曲线，方程为。师：好，这样的双曲线叫做等轴双曲线。如果把探究问题中的改为呢？生7：这实际上就是以为直径的圆，除去与轴的两个交点。师：从上面的题目解答和观察，你能得出什么结论呢？生8：从探究性问题及其变式，我们可以知道：边、所在的直线的斜率之积为负数，则顶点的轨迹为椭圆，特殊情况下为圆；边、所在的直线的斜率之积

10、为正数，则顶点的轨迹为双曲线，与、所在坐标轴无关。师：从斜率之积为，变化到、和，这是偶然的巧合，还是其中存在着一定的规律呢？于是，我们容易想到下面的变式，将斜率之积变为一个一般的参数（为非零常数）。【设计说明】为进一步激发学生探究的兴趣，将从具体数字变式到抽象的一般参数，是思维的一次飞跃。变式4：的两个顶点、的坐标分别为和，边、所在的直线的斜率之积为，求顶点的轨迹方程，并说明曲线形状。学生小组讨论，在得到方程后，有的学生陷入了困惑，该怎么说明呢？师：对于出现的问题，请同学们先独立思考，然后再进行小组交流、讨论，解决不了的问题，提出困难所在，并说明能解决到哪一步。经过一段时间的合作学习，全班个小

11、组普遍能够求出方程，在分析曲线形状时，也找到了切入点，与引例是相似的。投影解答：设顶点的坐标是，由题意得，即，整理得。因为、三点构成三角形，所以。当时，方程是焦点在轴的双曲线，除去、两点；当时，方程是以为长轴的椭圆，除去、两点；当时，方程是以为直径的圆，除去、两点；当时，方程是以为短轴的椭圆，除去、两点。生9：老师，我们可不可以让、两点坐标更一般化，。师：好，这个想法很好，这时字母增多了，要注意仔细计算。变式5：设，是曲线上两定点，点是曲线上除、以外的动点，直线、的斜率分别为，且（为不为零的常数），求曲线的方程。生9板演：设的坐标为，由题意得：，即，整理得。当时，方程是以为实轴的双曲线，除去、

12、两点；当时，方程是以为直径的圆，除去、两点；当时，方程表示以为长轴的椭圆，除去、两点；当时，方程是以为短轴的椭圆，除去、两点。问题得到顺利解决。师：刚才我们主要是对题目条件变化，如果我们将条件和结论互换呢？我们来看新的命题：变式6：若，是双曲线：上关于原点对称的两点，点是双曲线上任意一点，当直线、的斜率都存在，并分别记为，证明：与之积是与点无关的定值。学生兴趣更加浓厚，个个跃跃欲试，积极思考，书写证明。证明：由题意设的坐标为，则，设的坐标为则。因为、都在双曲线上，所以，与无关。师：问题解答非常漂亮，下面请同学们独立解决变式7.变式7：试对椭圆写出具有类似特性的性质，并加以证明。性质：若，是椭圆

13、：上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并分别记为，那么与之积是与点无关的定值。生10证明：由题意设的坐标为，则，设的坐标为则。因为、都在椭圆上，所以，又，与无关。（四） 归纳总结，升华提高师：从变式6和7，大家能总结出什么结论呢？生11：若，是双曲线：上关于原点对称的两点，点是双曲线上任意一点，当直线、的斜率都存在，那么。若，是椭圆：上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，那么。师：在参考资料上，通常称为圆锥曲线的直径，事实上，有关圆锥曲线直径的性质还有很多，请同学们课下继续探讨。八、板书设计 多媒体投影变式2解题过程（学生板演）变式5解题过

14、程（学生板演）变式6解题过程（教师板演）九、课后探究思考作业设计（时间一周）1 查找资料了解有关圆锥曲线直径性质。【设计目的】：作为本节课的拓展，让学生了解更多关于圆锥曲线直径的性质，培养学生发现问题，探索新知的能力。2（1）探究性问题中条件“斜率之积为”分别改为“斜率之积为”、“斜率之商是”、“斜率之和是”、“斜率之差是”，试探求点的轨迹方程。（2）你能否想出与探究问题有关的其它变式问题？【设计目的】培养学生的发散思维能力和类比的能力。十、课例设计说明本节课是在学生已学过求曲线方程的基本方法及圆、椭圆、双曲线三种曲线的前提下，从一道探究题入手探求其解法并对其进行变式引申。通过变式，从特殊到一般，改变背景将其推广，让学生真正感受到“源于课本，而高于课本”的深刻含义，也真正使学生品尝到探究性问题中“探究”的滋味。课内例题的方法与资料题目很自然地结合，使学生知道了知识的来龙去脉，使他们的认知产生了飞跃。通过不同的思路，提供多种解题方法既拓宽了学生的解题思路，又从不同的角度将已学过的知识加以复习。解题方法的多样化，活跃了学生的思维，使学生增强了解决问题的信心，进而又深化了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学思想。这样将知识、能力和思想方法在更多的新情景、更高的层次中，不断地反复地渗透，达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果。通过一题多变、一题多