高考数学抛物线的性质重点题型

1、抛物线的性质适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版课时时长（分钟）60知识点1、抛物线的简单性质2抛物线性质的应用3直线与抛物线问题教学目标1知识与技能(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题2过程与方法(1)通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力(2)通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力3情感、态度与价值观通过数与形

2、的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求教学重点掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用教学难点抛物线各个知识点的灵活应用教学过程 课堂导入太阳能是最清洁的能源太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据师：抛物线有几个焦点？【提示】一个师：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点师：抛物线有对称中

3、心吗？【提示】没有师：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条一、复习预习1、 复习抛物线的定义及标准方程的内容2、 提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质） 二、知识讲解类型y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)性质准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下考点1 抛物线性质考点2 直线与抛物线1、通径：过抛物线的焦点且垂直于抛物线的轴

4、的弦AB，叫做抛物线的通径，其长为叫做抛物线的2、抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p0上任意一点，F为焦点，则；3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=; 三、例题精析【例题1】【题干】已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程【答案】y2±4x.【解析】由题意，设拋物线方程为y2ax

5、(a0)焦点F(，0)，直线l：x，A、B两点的坐标分别为(，)，(，)，AB|a|，OAB的面积为4，·|·|a|4，a±4，拋物线的方程为y2±4x.【例题2】【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程【答案】y220x或y220x.【解析】椭圆1的焦点在y轴上，椭圆1短轴所在的直线为x轴抛物线的对称轴为x轴设抛物线的方程为y2mx(m0)|5，m±20.所求抛物线的方程为y220x或y220x. 【例题3】【题干】已知抛物线方程为y22px(p>0)，过此抛物线

6、的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且ABp，求AB所在直线的方程【答案】y2(x)或y2(x)【解析】法一焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABOx，则AB2p<p.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk(x)，k0.由，消去x，整理得ky22pykp20.由韦达定理得，y1y2，y1y2p2.AB ·2p(1)p，解得k±2.AB所在直线方程为y2(x)或y2(x)法二如图所示，抛物线y22px(p>0)的准线为x，A(x1，y1)、B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，AFdAx1，

7、BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.当x1x2时，AB2p<p，所以直线AB与Ox不垂直设直线AB的方程为yk(x)由，得k2x2p(k22)xk2p20，x1x2p，解得k±2，所以直线AB的方程为y2(x)或y2(x)【例题4】【题干】斜率为的直线经过抛物线x28y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长 【答案】10 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x28y，焦点弦长ABp(y1y2)4(y1y2)因为抛物线x28y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程x28y，得y26y40，从

8、而y1y26，所以AB10.即线段AB的长为10.【例题5】 【题干】已知P是抛物线y24x上任意一点，点A(a,0)，试求当PA最小时P点的坐标【答案】P点的坐标为：a2时，P(0,0)；a2时，P(a2，±2)【解析】设P(x，y)，则PA.x0，aR，需分类讨论如下：(1)当a20即a2时，PA的最小值为|a|，此时P(0，0)(2)当a20即a2时，则xa2，PA取得最小值为2，此时P(a2，±2)综上所述，PA最小时，P点的坐标为：a2时，P(0,0)；a2时，P(a2，±2)【例题6】 【题干】求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离【答案】.【解

9、析】法一设抛物线yx2上一点P(x0，y0)到直线l：xy20的距离为d，则d|(x0)2|.当x0时，dmin.法二消去y得x2xm0令14m0得m，切线方程为xy0，最短距离为d.【例题7】 【题干】求过定点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程【答案】x0或y1或yx1.【解析】若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x0.由得直线x0与抛物线只有一个公共点若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为ykx1.由消去y得k2x22(k1)x10.当k0时，有即直线y1与抛物线只有一个公共点当k0时，有4(k1)24k20，k，即方程为yx1的直线与抛物线只有一个公共

10、点综上所述，所求直线的方程为x0或y1或yx1. 四、课堂运用【基础】1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是_【答案】y28x【解析】2，p4，抛物线标准方程为y28x.2经过抛物线y22px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为_【答案】2p【解析】通径长为2p.3过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_【答案】10【解析】PQx1x2210.4抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_【答案】【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐

11、近线的距离d1或d2.【巩固】1已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y26x上，O是坐标原点，则AOB的边长为_【答案】12【解析】设AOB边长为a，则A(a，)，6×a.a12.2过抛物线yax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则_.【答案】4a【解析】由焦点弦性质知，抛物线的标准方程为x2y(a>0)，2p，p，4a，即4a.3已知弦AB过拋物线y22px(p0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是_【答案】相切【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB

12、AFBFx1x2p.设A，B，M到准线l：x距离分别为d1，d2，d，则有d1x1，d2x2，d，以AB为直径的圆与拋物线的准线相切4如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米【答案】2【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，2)设抛物线方程为x22py(p>0)，则222p×(2)，得p1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，解得x0±，所以水面宽为2米【拔高】1设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x4y14

13、0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程【答案】x216y.【解析】设与l平行的切线方程为3x4ym0，由得2x23pxpm0.0即mp.又d1，p8或p(舍)，抛物线的标准方程为x216y.2过点(0,4)，斜率为1的直线与拋物线y22px(p0)交于两点A，B，如果OAOB(O为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标【答案】(1,0)【解析】直线方程为yx4.由消去y得x22(p4)x160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(p4)，x1x216，4(p4)2640.所以y1y2(x14)(x24)8p.由已知OAOB得x1x2y1y20，从而168p0，解得p2.所以，拋物线的标准方程为y24x，焦点坐标为(1,0)3在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点【答案】（1）-3；（2）(2,0)【解析】(1)设l：myx1与y24x联立，得y24my40，y1y24m，y1y24，·x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)13.(2)证明：设l：myxn与y24x联立，得y24my4n0，y1y24m，y1y24n.由