高等代数环的定义与性质

1、一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义：1、 定义1：交换群称为加群（Abel群），其运算叫做加法，记为“+”。2、 定义2：代数系统称为环，若1）（A，+）是加群；2）代数系统适合结合律；3）乘法对加法+的分配律成立。3、 例子（1）、都是环，均称为数环。（2）Zi =a+bi | a、bZ，i2=1 ，则也是数环，称之为高斯整环。（3）设F是任一数环，则Fx关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。（4）Zn=所有模n剩余类，则是模n剩余类环，这里ab = a+b， = ab.（5）设（A，）是加群，规定乘法如下：ab=0，则作成一个环，称之为零环。（二）环的基本性质：（1）。（2）。（3）

2、。（4）。（n为整数）（5）。（m、n为整数）（6）。（m、n为整数）（7） 。（8）。（9）。（10）。（11） 。 （12）。 (n为整数)。（13）若环中元、满足，则 （14）。（m、n为整数）（三）交换律与单位元：1、定义3：环叫做交换环，若有定义4：环的元称为单位元，若有 约定：环若有单位元，则记其单位元为1，并称为有1的环。性质：设是有1环，则（1）若；（2）若R不仅含一个元，则10.2、 定义5：为有1环，、则称为的逆元，记为。性质：有1环的所有可逆元关于乘法构成群。二、 整环、除环、域（一）整环1、 定义：设为环，、，若 但，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。定理

3、1：在一个无左零因子的环里，两个消去律都成立；反之，若一个环里有一个消去律成立，则该环无零因子。推论：环中，若有一消去律成立，则另一消去律也成立。2、定义：无零因子的有1交换环称为整环。3、例子(1)A=、B=分别是全阵环M2(R)的左右零因子。(2)整数环Z是整环；(3)实数域R上的多项式环Rx是整环；(4)证明左逆元不是零因子。（二）除环与域1、定义：一个至少包含一个非零元的有1环中，若的任一非零元都有逆元，则称为除环（或体）。交换除环称为域。2、 基本性质：1）除环无零因子。2）为除环有1，且都可逆。3）为除环，则关于乘法作成一 个群，反之也然。 4） 为除环，则，方程ax=b, ya=

4、b在R中各有唯一解。5）为域，a、b,则方程ax=b,ya=b在R中各有唯一解，且解相同，记为商的形式。在域中，商有如下性质：（1）；（2）；（3）。3、 环、整环、除环、域的隶属关系：无零因子环域有1环交换环整环除环环 三、 无零因子环的特征定理1：无零因子环的非零元对于加群而言阶一致。定义：无零因子环的非零元在加群中的阶叫做该环的特征。 环R的特征记为Char(R)定理2：无零因子环的特征或为无限大，或为素数。推论：整环、除环、域的特征或无限大，或是素数。四、 子环、环的同态（一）子环1、子环的概念与例子定义1：设S是环R的一个非空子集，若S对于R的两个运算也作成环，则称S为R的子环，而R

5、为S的扩环。特别，可相仿得到子体、子域的概念。2、子环的判别定理定理1：S为环R的非空子集，以下四条等价：（1） S为R的子环；（2） ； （3） ； （4） 。定理2：设0K是体（域）F的非空子集，以下四款等价：（1） K是F有子体（域）；（2） 且； （3） ； （4） 。3、环与子环关于交换律、零因子、单位元的情形：1） 关于交换律： 交换环的子环必是交换环； 非交换环的子环可能是交换环，也可能是非交换环。2） 关于零因子： 无零因子环的子环无零因子； 有零因子环的子环可能有零因子，也可能无。3） 关于单位元的例： Q、Z的单位元都为1，这里ZQ. 为M2（R）的单位元，而的单位元为.

6、Z的单位元为1，但Z的子环偶数环却无单位元. 对运算， 作成环，但R无单位元，而为R的子环，S有单位元. R为偶数环，为R的子环，R与S都无单位元.（二）环的同态 以下总设、是代数系统。1、环的同态基本性质：定理1：设 R是环，R，则也是环，而且（1）；（2）；（3）若R为交换环，则也是交换环；（4）若R有1，则为的单位元。定理2：设R、都是环，R，则R是整环（体、域）是整环（体、域）。1、 关于零因子与特征的例：（1）n为合数，则,而z无零因子，有零因子；（2）规定 则是环，且有零因子.令，则RZ，但Z无零因子。（3） p为素数，同（1），则Z ZP，且Char（Z），但Char（ZP）=P

7、。 3、挖补定理：引理：若存在代数系统到集的一个双射，则可在上规定代数运算，使。定理3（挖补定理）设S是环R的子环，S是S在R中的补集，是另一环。若，且S,则存在的扩环使。五、理想定义：环R的一个非空子集Q叫做R的一个理想子环，简称理想，如果(i) a、b;(ii) a。任何一个环都至少有两个理想：环本身，称为环的单位理想；以及，称为该环的零理想。定理1：除环只有零理想与单位理想。定理2：R是一个环，则U=是R的一个理想。定义：定理2中的U称为由a生成的R的一个主理想，记为（a）。定理3：设a为环R的元，那么（1） 若R为交换环，则（2） （a）=ra+;（3） 若R为有1环，则（a）=（4）

8、 若R为有1交换环，则（a）=。定理4：为环R的元，则是R的理想。定义：定理4中的M称为由生成的理想，记为（）。六、剩余类环、同态与理想若Q为环R的理想，则（Q；+）是（R；+）的不变子群，那么商群，其中 为所在的陪集，并称为R的一个模Q剩余类。显然，定理1：R/Q对于运算a+b=a+b , ab=ab,作成一个环，且RR/Q，这里Q为环R的一个理想。定义：称R/Q为环R的模Q的剩余类环。定理2：R、都为环，且R，则ker为R的一个理想，且R/ker.定理3：环R，则（i） R的一个子环（理想）S的象是的子环（理想）；（ii） 的一个子环（理想）的逆象S是R的子环（理想）。七、最大理想定义：一个环R的一个不等于R的理想Q，若R没有其它包含Q的理想存在，则称Q为R的一个最大理想。即，若N为R之一理想，且，那么必N=R