高中数学之数形结合思想

1、美妙的的结合-高中数学之数形结合思想山东省郓城一中 梁桂梅 数学是一门研究数量关系和空间形式的科学数形结合的特点：以形助数、以数解形数学结合的优点：复杂问题简单化、抽象问题具体化著名数学家华罗庚先生曾经这样说到：数缺形时少直觉 形少数时难入微在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既

2、分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）利用对称知识解决有关问题（2）集合的运算及韦恩图（3）函数及其图象（4）不等式问题（5）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法 下面举一些例子作详细说明：一、数形结合思想在解决对称问题中的应用例1：2008·深一模 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回

3、到点，则光线所经过的路程是ABCDNMCD【解题思路】：利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度解析 设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。 二、数形结合思想在解决集合问题中的应用1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集

4、合没有公共元素利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题如： 例1：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？C（化）A（数）B（理）分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数用n表示集合的元素，则有： 即：，即同时参加数理化小组的有1人例2：设，已知 IAB3,5,72AB1,94,6,8求 分析：如图，用长方形表示全集I，用圆分别表示集合A和B，用n表示集合的元素，则有

5、：从韦恩图我们可以直观地看出：2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题 例3：设。·4。· 求 分析:分别先确定集合A，B的元素，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： (公共部分) (整个数轴都被覆盖) (除去重合部分剩下的区域) (除去覆盖部分剩下的区域) 三、利用函数图像比较函数值的大小 一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较如：0y1110.3x 例：试判断三个数间的大小顺序 分析：这三个数我们可以看成三个函数在时，所对应的函数值在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观

6、地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：302xyy=x2-x-6四、利用数形结合思想解决不等式问题1、 利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集 例1：解不等式 分析：我们可先联想对应的二次函数的图像草图从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时,即时，即故可得不等式.的解集为：.同理,根据图像，我们还可以直观地看出： 的解集为等等0xyy=-x2+2x-3 例2：求不等式的解集 分析:我们先联想对应的二次函数的图像草图，抛物线开口向下，与轴没有交点，很明显，无论取任何值时都有即,的解集为空集 而的解集为全体实数 因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应

7、的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集2、 利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题 例3：为何值时，方程的两根在之内？0xy11 分析：显然,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图，从图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个交点在之间,必须满足条件:即0xy从而可解得的取值范围为例:4：如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式分析：我们可联想对应的二次函数, 的草图 这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有200.4xyy=3x21y=2-x公共对称轴的抛物线(如图)要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标由配方方法可知与的顶点分别为：故可求出与应满足的关系式为:五 利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题例1：解方程分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标10x11为方程的近似解，可以看出方程的近似解为y例:2：设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况分析：我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点1个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直