非线性方程数值解法计算物理学

1、第四讲：（2）非线性方程数值解法在实际物理问题中，例如如何知道热平衡时的温度，力平衡时的力的大小等平衡量，需要求解平衡方程。对于不能解析求解的代数方程就需要数值求解。本讲只讨论单变量的代数方程 （4.2-1）为了求解满足方程的变量，即方程的根，有时需要用图示的方法大体了解解的位置。下面介绍几种求方程（4.2.1）根的方法。4.2.1二分法（Bisection Method）方程根附近的性质是要改变符号，一般来说，如果在区间是连续的实函数，并且和有相反的符号，即 （4.2-2）那么在区间内至少有一个实根。一般采用增量搜寻的方法来确定函数变号的间隔，例如；然后将这个间隔分成更小的许多子间隔来确定函

2、数变号的位置（即根）。怎样再细分间隔，通常采用的一种方法是对分区间套的方法，即二分法。二分法求根步骤： 通过满足条件，确定有根区间 估算根：，如果, 则为解 做下面的计算，确定根在那个子区间(a) 如果，则根在区间，设，返回到(b)否则，则根在区间，设，返回到二分法求根示意图=例题4.2-1用二分法计算方程的在区间（1，2）的根。解：计算程序见BISECTION.f90结果为：=4.2-2弦截法弦截法的基本思想同二分法相同，所不同的是二分法取中点做为试探根，而弦截法用连接点和的弦与轴的交点做为试探根。由图可见，由此可得试探根为（4.2-3）然后将，重复计算（3）式，当相继两次计算的之差满足一定

3、精度时，则得到解。弦截法求根示意图=例题4.2-2用弦截法计算方程的在区间（1，2）的根。解：计算程序见SECANT.f90结果为：istep=5, x=1.69460106, dx=-0.00000012=4.2-3 不动点迭代法设给定一个非线性方程，在用迭代方法求其实根时，先将它转换成等价方程： (4.2-4)然后构造迭代格式： (4.2-5)对于给定的初始值，若由此生成的迭代序列有极限，记为,则显然是方程(4.2-4)的解，从而也是方程的解。称为迭代函数；由于收敛点满足，故将称为函数的不动点；迭代格式(4.2-4)称为不动点迭代法（或基本迭代法）。在迭代格式(4.2-5)中，仅由前一个迭

4、代值决定，也称该迭代格式为单步法。可以有多种构造迭代函数的方法。迭代函数的不同选择对应不同的迭代法，它们的收敛性有很大的差异。=例题4.2-3用迭代法求方程的一个实根解:可以有两种方法构造迭代函数和它们对应的不动点迭代法分别为：,由于,即函数在区间1,2上改变符号，且连续，所以区间1,2是有根区间。取其中点为初值，进行迭代，程序为结果为：取迭代公式收敛，不动点，而取迭代公式发散。=判断收敛还是发散的一种方法是做两个曲线的图示方法。例如，迭代公式是：，将方程分成两部分：作图从(a)和(b)图可以看出：从初始点出发（纵向交曲线，横向交的直线）,可见迭代点向两曲线交点靠近，即估计值接近解，迭代是收敛

5、的；图(c)和(d)结果正相反，迭代是发散的。这里不加证明给出判别方法，当，即曲线的斜率的绝对值小于的斜率时迭代是收敛的。4.2-4 非线性方程的牛顿（Newton）迭代Newton迭代法的实质是在方程解的附近，将非线性方程线性化的一种近似方法。设非线性函数是连续可微，是方程的实根，是迭代方法中的某个迭代值。将在根的近似点附近展开成Taylor级数：取其线性部分作为非线性方程的近似方程，即： (4.2-6)若，则记线性方程(4.2-6)的解为，将 （4.2-7） 作为根的新近似值的迭代格式。这种方法称为Newton迭代法。Newton迭代法的几何意义是：在迭代过程中，用函数过点的切线作为的近似

6、，并以此切线与x轴的交点作为新的迭代点，见上图。因此牛顿迭代法也称为切线法。=例题4.2-4用Newton迭代法求函数在1,2的根解：求解的程序是NEWTON.f90结果为：=作业:HW4.2-1用Newton迭代法求方程在附近的一个实根。解：参考计算程序denwt0.c,子程序dnewt.c,结果：x = 1.4655712e+000在 Newton迭代法的计算过程中，每一步都要计算导数值，往往计算量很大；另一方面，如果函数不可导，就无法使用Newton迭代法。为了克服这些困难，同时利用Newton法收敛快的特点，可以用两点处的差商代替，得到的迭代格式 （4.2-8）称为割线法（或离散New

7、ton法,就是前面讲的弦截法）。它的几何意义是通过曲线上点和作割线，用该割线与轴的交点作为新的迭代点，见上图。用割线法计算时，要计算并保留；所以割线法不属于不动点迭代法，而是一种两步迭代法。这种方法的缺点是：需要两点开始迭代过程。4.2-5 非线性方程组的解 求解非线性方程组： （4.2-9）通常采用两种方法：一种是迭代方法，另一种是求函数极小值的方法。（1） 牛顿迭代法不妨以两个方程组为例：设是试探解，在的邻域做泰勒展开，保留线性项 （4.2-10）得到关系： （4.2-11）其中： ，如果，求解方程（4.2-11）得解，则得迭代公式，或 （4.2-12）计算步骤如下： 给定初始近似根和允许

8、误差：，并假定已得到第k次近似 计算： 计算：若则计算结束，作为满足精度要求的近似解；否则，执行 求解代数方程组，得到 计算： 及若则计算结束，作为满足精度要求的近似解；否则，将在计算中有时用差分代替微分计算系数矩阵。=例题4.2-5：用牛顿迭代法求下列非线性方程组的一组实根：解：精确解是：，选初始迭代值，计算程序：NETN0.for,子程序：NETN.for,AGAUS.for=作业：HW4.2-2求下列非线性方程组的一组实根：解：参考程序：dnetn0.c,dnetn.c,agaus.cx = 7.8519693e-001, y = 4.9661139e-001,z = 3.6992283

9、e-001（2） 最速下降法也称梯度下降法，是求函数极小值最常用的方法之一。为了简单，我们以两个方程组为例：构造一个指标函数，通过求F的零极小值点来得到方程的解。通常从某一点出发，沿著F下降的方向逐步接近F的零极小值。通常梯度的反方向是最陡下降方向。函数在点的梯度方向就是该点等值线过切点的法线方向，梯度为设是方程组得一个近似解，计算在该点的梯度值从出发，沿负梯度方向前进一适当步长得新点如何选择，才能使新点是在方向上的相对极小值。将在附近作展开，略去的2阶以上项得到：推广到n个联立方程组 （4.2-13）定义指标函数： （4.2-14）下降法的迭代公式为： （4.2-15）于是得下降法的计算步骤： 选取试探解：，假设已经计算到第k步，得 计算指标函数： 若，则认为，为所求的解，否则计算偏导数，其中：，为控制收敛常数，一般选取，为控制精度常数一般选取 再计算新的迭代值：（4.2-15