选修11圆锥曲线的共同性质教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点圆锥曲线的第二定义及其应用教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念教学重点理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题(难点)教学难点理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题(难点)【教学建议】本次课主要是对第二定义的理解。注意椭圆双曲线和抛物线的离心率的取值范围和最值问题。【知识导图】圆锥曲线的共同性统一定义椭圆抛物线双曲线焦点在x轴上的准线方程焦点在y轴上的准线方程椭圆双曲线抛物线椭圆双曲线抛物线教学过程一、导入【教

2、学建议】教材整理圆锥曲线的统一定义阅读教材P56“思考”以上的部分，完成问题探究1圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？【提示】椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的探究2在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？【提示】在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点，则定直线是左准线，

3、若定点是右焦点，则定直线是右准线而抛物线只有一个焦点对应一条准线也就是说，定点F和定直线是“相对应”的探究3利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？【提示】根据定义e，则PFed(e为离心率)(1)椭圆的焦半径设P(x0，y0)是椭圆1(a>b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1aex0，PF2aex0.(2)双曲线的焦半径设P(x0，y0)是双曲线1(a>0，b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1|ex0a|，PF2|ex0a|.(3)抛物线的焦半径设P(x0，y0)是抛物线y22px的一点，F是焦点，则PFx0.二、知识讲解考点1 第

4、二定义1平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线考点2 准线方程2椭圆1(ab0)的准线方程为x±，1(ab0)的准线方程为y±.双曲线1(a0，b0)的准线方程为x±，双曲线1(a0，b0)的准线方程为y±.类型一 已知焦点和准线求圆锥曲线的方程例题1已知某圆锥曲线的准线是x1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：(1)e；(2)e1；(

5、3)e.【解析】(1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由1，解得c，a，b2，所求方程为1.(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，1，可得y24x.(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，1，解得c，a，b2.所求方程为1.【教学建议】1本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式2已知焦点、准线及离心率，也可直接由e求出M点的轨迹方程类型二 用圆锥曲线的统一定义求轨迹例题2已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y9的距离之比为，求动点P的轨迹解析法一：由圆锥曲线

6、的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c3，9，则a227，a3，e，与已知条件相符椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y±9.b218，其方程为1.法二：由题意得整理得1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y±9为准线的椭圆【教学建议】解决此类题目有两种方法：一是定义法，二是直译法（1）是直接列方程，代入后化简整理即得方程.（2）是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.类型三 圆锥曲线统一定义的应用例题1已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点(1)求MAMB的最大值和最小值；(2)求MBMA的最小值及

7、此时点M的坐标【解析】(1)如图所示，由1，得a5，b3，c4.所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(4，0)为椭圆的左焦点因为MAMF2a10，所以MAMB10MFMB.因为|MBMF|BF2，所以2MBMF2.故102MAMB102，即MAMB的最大值为102，最小值为102.(2)由题意得，椭圆的右准线l的方程为x.由图可知，点M到右准线的距离为MM，由圆锥曲线的统一定义，得e，所以MAMM.所以MBMAMBMM.由图可知，当B，M，M三点共线时，MBMM最小，即BM2.当y2时，有1，解得x(舍去负值)，即点M的坐标为故MBMA的最小值为，此时点M的坐标为【总结与反思】 1解答此类题目时

8、，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义2圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程.类型四 圆锥曲线的统一定义例题椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x8，离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长【教学建议】(1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解【解析】(1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得.两边同时平方，得4(x2)2y2(8x)2，化简得1.(2)设椭圆的另一个焦点为F2(2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为yx2，与椭圆1

9、联立消去y，得7x216x320.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，ABAF2BF2aex1aex22ae(x1x2)2×4(x1x2).四 、课堂运用基础1.1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线()(2)椭圆y21的准线方程是x±.()(3)双曲线离心率的取值范围是(1，)()(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直()2.双曲线y21的准线方程为_3.焦点坐标为F1(2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x±的椭圆的标准方程为_. 4.双曲线1(a0，b0)的离

10、心率为2，右准线为x，则右焦点的坐标为_答案与解析1.【答案】(1)×(2)(3)(4)×2. 【答案】x±【解析】易知a215，b21，c2a2b216，即c4，则双曲线的准线方程为x±.3. 【答案】y21.【解析】由题意知c2，则，故a25，所以b2a2c21，则椭圆的方程为y21.4. 【答案】(2,0)【解析】据题意知解得a1，c2，则右焦点的坐标为(2,0)巩固1.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程2.方程对应点P(x，y)的轨迹为_. 3.已知双曲线

11、1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PAPF的最小值4.过双曲线1的右焦点F，且倾斜角为45°的直线与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长答案与解析1.【答案】【解析】设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知|AF|3，y03，|AM|，x8，代入方程得，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为或2. 【答案】双曲线【解析】由,得.可看作动点P(x，y)到定点(1,0)的距离与到定直线xy10的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线3. 【答案】3【解析】由双曲线的方程，知a2，b2，c4，离心率e2

12、，右准线的方程为x1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有2，即PFd，如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D，则PAPFPAdPAPD，所以当P，A，D三点共线时，PAPD的值最小，为413.4. 【答案】.【解析】易知F(5,0)，则直线的方程yx5.由得7x2160x5440.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由圆锥曲线的统一定义，知AFe·dex1a，同理BFx2a，ABAFBF2a×8.即AB的长为.拔高1.(2019·福建卷改编)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=

13、0交椭圆E于A，B两点.若AF+BF=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是.2.在平面直角坐标系中，向量，向量，且.若，则动点的轨迹为.3.(2019·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：-=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p>0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则双曲线C1的离心率为.4(2019·湖南卷)设F是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一个焦点，若双曲线C上存在一点P，使线段PF的中点恰好为双曲线C的虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为.答案与解析1【解析】设左

14、焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形BF1AF是平行四边形，故AF1=BF，所以AF+AF1=4=，所以设M(0，b)，则，故b1，从而，所以0<c23，即0<c，所以椭圆E的离心率的取值范围是.2圆或椭圆【解析】因为向量，向量，且，所以当时，方程表示的是椭圆；当时，方程表示的是圆3【解析】双曲线C1：-=1的渐近线方程为y=±x，则A，B.抛物线C2：的焦点F，则kAF=，即=，所以=e=.4【解析】根据对称性不妨设，虚轴端点为，从而可知点在双曲线上，所以-=1e=.五 、课堂小结六 、课后作业基础1.已知A(2,0)，B(2,0)，点P(x，y)满足,则PAPB_

15、.2.已知椭圆y21，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为_3.到点F(2,0)与直线x的距离的比等于2的曲线方程为_. 4.椭圆1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为_答案与解析1.【答案】2.【解析】点P到A(2,0)的距离与它到直线x3的距离之比为，点P的轨迹是椭圆，且，c2，a，故PAPB2a2.2. 【答案】y2x【解析】由椭圆的方程，知a24，b21，所以c23，即c，故椭圆的左准线方程为x，故所求抛物线的方程为y2x.3. 【答案】x21【解析】由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c2，即a21，故b23，则双曲线的方程为x21.4. 【答案

16、】5【解析】由1，得a5，b4，c3，e.根据椭圆的第二定义得e.又PF13，d3×5，点P到左准线的距离为5.巩固1.过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求ABF2的周长(F2为双曲线的右焦点)2.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.3.若椭圆的左焦点到右准线的距离等于3a，则双曲线的离心率为_4.设双曲线的右焦点为F(3,0)，P(4，2)是双曲线上一点，若双曲线的右准线为，则实数m的值是_答案与解析1.【答案】66.【解析】根据题意，得F1(2,0)，F2(2,0)，直线AB的方

17、程为yx2.令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2x24x70，x1x22，x1x2.×6.由x1x2<0知，弦AB与双曲线左、右两支均相交，由焦半径公式，得AF2aex112x1，BF2ex2a2x21，AF2BF212x12x212(x2x1)26.ABF2的周长为ABAF2BF266.2. 【答案】6【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.3. 【答案】【解析】由题意知，c3a，即a2c23ac，e2

18、3e10，解得e,4. 【答案】【解析】法一：由题意可知解得b2，a2，故右准线x，即m.法二：由题意PF3，根据椭圆的第二定义得e.又m，.c3，e2，m211m160，m，m<c3，m.拔高 1.已知椭圆1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为13，则点P到两准线的距离分别为_2.已知点P在双曲线1上，并且P到双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是_3.已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程4.已知定点A(2，)，点F为椭圆1的右焦点，点M在椭圆上

19、运动，求AM2MF的最小值，并求此时点M的坐标5.设椭圆C：1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为_答案与解析1.【答案】，【解析】设P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆方程，可得a10，b6，c8，e，则PF1PF22a20.又3PF1PF2，PF15，PF215.设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1，d2.故点P到两准线的距离分别为，.2. 【答案】【解析】记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a4，b3，c5，e，右准线l的方程为x.如果P在双曲线右支上，则PF1PF22aed2a.从而，PF1PF2(ed2a)e