广东省2016届高三3月适应性考试数学理试题(版)

1、 2016年适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D【答案】B【解析】，2若为纯虚数，其中R，则（ ）A B C D【答案】C【解析】为纯虚数，3设为数列的前项的和，且，则（ ）A B C D【答案】C【解析】，经代入选项检验，只有C符合4执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A B C D【答案】C【解析】5三角函数的振幅和最小正周期分别是（）ABCD【答案】B【解析】，故选B6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】D【解析】7设、是两

2、个命题，若是真命题，那么（ ）A是真命题且是假命题 B是真命题且是真命题 C是假命题且是真命题 D是假命题且是假命题 【答案】D8从一个边长为的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这个点中任取两个点，则这两点间的距离小于的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】两点间的距离小于共有3种情况，分别为中心到三个中点的情况，故两点间的距离小于的概率9已知平面向量、满足，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】，10的展开式中，常数项是（ ）A B C D【答案】D【解析】，令，解得常数项为11已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是（ ）A

3、B C D【答案】D【解析】椭圆的端点为，离心率为，双曲线的离心率为，依题意双曲线的实半轴，故选D12如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”给出下列函数：；，其中“函数”的个数是（ ）A B C D【答案】C【解析】，在上单调递增， ，不符合条件；，符合条件；，符合条件；在单调递减，不符合条件；综上所述，其中“函数”是 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是 【答案】【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,，解得14已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 【答案】【解析】，15已知数列的

4、各项均为正数，为其前项和，且对任意N，均有、成等差数列，则 【答案】【解析】，成等差数列，当时， 又 当时， 又，是等差数列，其公差为1，16已知函数的定义域R，直线和是曲线的对称轴，且，则 【答案】2【解析】直线和是曲线的对称轴，的周期三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中，角、的对边分别为、，且（1）的值；（2）若，求的面积【解析】（1），（2）由，得，由，得，18（本小题满分12分）某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪（万元）335455565775850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中

5、位数；（2）从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为万元、万元、万元、万元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程中系数计算公式分别为： ，其中、为样本均值【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；取值为0，1，2 ，的分布列为012（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，由线性回归方程为可预测该员工年后的年薪收入为万元19（本小题满分12分）如图，在直二面角中，四边形是矩形，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的

6、一点，（1）证明：面；（2）求异面直线与所成角的余弦值【解析】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面（2），记与夹角为，则 【方法2】（1）,， ， 平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面（2）过作，分别交于，的补角为与所成的角连接，异面直线与所成的角的余弦值为20（本小题满分12分）已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、（1）求面积的最小值；（2）求线段的中点满足的方程【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，联立，得（*） 设，则 设，则 类似地，设，则 ， ， 因此 ， 当且仅当，即时，取到最

7、小值4（2）设线段的中点，由（1）得 ，消去后得线段的中点满足的方程为21（本小题满分12分）设函数（）（1）求的单调区间；（2）求的零点个数；（3）证明：曲线没有经过原点的切线【解析】（1）的定义域为，令，得当，即时，在内单调递增当，即时，由解得，且，在区间及内,，在内，在区间及内单调递增，在内单调递减（2）由（1）可知，当时，在内单调递增， 最多只有一个零点又，当且时，；当且时，故有且仅有一个零点当时，在及内单调递增，在内单调递减，且，而，（），由此知，又当且时，故在内有且仅有一个零点综上所述，当时，有且仅有一个零点（3）假设曲线在点（）处的切线经过原点，则有，即，化简得：（）（*）记（）

8、，则，令，解得当时，当时，是的最小值，即当时，由此说明方程（*）无解，曲线没有经过原点的切线请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清楚题号22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，是半圆的直径，垂足为，与、分别交于点、（1）证明：； （2）证明：【解析】（1）连接，点是的中点，是的直径，（2）在与中，由（1）知，又，于是在与中，由于，23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为（1）求直线的参数方程；（2）求【解析】（1）直线过点，且倾斜角为直线的参数方程为（为参数），即直线的参数方程为