收入效应和替代效应

1、.1第第 5 讲讲收入效应和替代效应 .2需求函数需求函数 x1,x2,xn 的最优水平可以表示为所有商品价格和收入的函数。 可以表示为 n 个这种形式的需求函数:x1* = d1(p1,p2,pn,I)x2* = d2(p1,p2,pn,I)xn* = dn(p1,p2,pn,I).3需求函数需求函数 如果仅仅存在两种商品 (x 和 y), 我们可以简化表达式x* = x(px,py,I)y* = y(px,py,I) 价格和收入是外生的 消费者无法控制这些参数.4齐次性齐次性 如果我们将价格和收入同时增加一倍, 最优需求数量不会改变 预算约束没有变xi* = di(p1,p2,pn,I)

2、= di(tp1,tp2,tpn,tI) 单个消费者的需求函数对于所有价格和收入是 零次齐次的.5齐次性齐次性 考虑柯布道格拉斯效用函数效用 = U(x,y) = x0.3y0.7 需求函数是可以观察到价格和收入全部翻番不会影响 x* 和 y*xpxI3.0* ypyI7.0* .6齐次性齐次性 考虑 CES 效用函数效用 = U(x,y) = x0.5 + y0.5 需求函数是可以观察到价格和收入全部翻番不会影响 x* 和 y*xyxpppxI/11*yxypppyI/11*.7收入变化收入变化 收入增加会引起预算约束线向外平移。 因为 px/py 没有改变, 当消费者获得更高满足水平的时候

3、 MRS 保持不变。.8收入增加收入增加 如果随着收入的增加，x 和 y 的消费量增加, x 和 y 为正常商品x的数量y的数量CU3BU2AU1随着收入增加, 消费者选择消费更多的x和y.9收入增加收入增加 如果随着收入增加，x 的消费量下降， x 为劣等品x的数量y的数量CU3随着收入上升，消费者选择消费更少的 x 和更多的 y。注意，无差异曲线没有展示 “奇怪的” 形状。递减的MRS 仍然成立。BU2AU1.10正常和劣等品正常和劣等品 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I 0，这种商品是在这个区间的正常品。 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I 0 总收入效应是负的 如果x 是

4、劣等品, 那么 x/I 0 总收入效应是正的xxUxxxxpp常数I.51斯卢茨基分解斯卢茨基分解 我们可以利用柯布道格拉斯效用函数来说明价格效应的分解 商品 x 的马歇尔需求函数是xyxpppxII5.0),(.52斯卢茨基分解斯卢茨基分解 商品x 的希克斯 (补偿) 需求函数 5.05.0),(xyyxcpVpVppx价格变化对于 x 需求的总效应是s25.0 xxppxI.53斯卢茨基分解斯卢茨基分解 总效应是斯卢茨基识别的两种效应的总和 通过对补偿需求函数求导可以获得替代效应0.51.50.5 cyxxVpxpp替代效应.54斯卢茨基分解斯卢茨基分解 我们可以带入间接效用函数 (V)0

5、.50.50.51.520.5(0.5)0.25 xyyxxppppp替代效应II.55斯卢茨基分解斯卢茨基分解 收入效应的计算比较容易20.50.50.25 xxxxxppp 收入效应III有趣的是, 替代效应和收入效应相同.56马歇尔需求弹性马歇尔需求弹性 大多数经常使用的需求弹性来自于马歇尔需求函数 x(px,py,I) 需求的价格弹性 (ex,px)xppxppxxexxxxpxx/,.57马歇尔需求弹性马歇尔需求弹性 需求的收入弹性 (ex,I)xxxxexIIIII/,需求的交叉价格弹性 (ex,py)xppxppxxeyyyypxy/,.58需求的价格弹性需求的价格弹性 需求的自

6、身价格弹性总是负的 唯一的例外是吉芬悖论 弹性的大小很重要 如果ex,px -1, 需求无弹性 如果 ex,px = -1, 需求就有单位弹性.59价格弹性和总支出价格弹性和总支出 在商品 x 上的总支出等于总支出 =pxx 利用弹性, 我们可以确定商品x价格发生变化之后，总支出怎么变化 1)(,xpxxxxxexxpxppxp.60价格弹性和总支出价格弹性和总支出 这个导数的符号取决于ex,px 大于还是小于 -1 如果ex,px -1, 需求缺乏弹性，价格和总支出变化方向相同 如果ex,px -1, 需求富有弹性，价格和总支出变化方向相反 1)(,xpxxxxxexxpxppxp.61补偿

7、价格弹性补偿价格弹性 基于补偿需求函数定义弹性有时候也是有用的.62补偿价格弹性补偿价格弹性 如果补偿需求函数是xc = xc(px,py,U) 我们可以计算 补偿需求的自身价格弹性 (exc,px) 补偿需求的交叉价格弹性 (exc,py).63补偿价格弹性补偿价格弹性 补偿需求的自身价格弹性 (exc,px)是cxxcxxcccpxxppxppxxex/,补偿需求的交叉价格弹性 (exc,py) 是cyycyycccpxxppxppxxey/,.64补偿价格弹性补偿价格弹性 马歇尔价格弹性和补偿价格弹性之间的关系可以利用斯卢茨基方程来说明Ixxxppxxpepxxpxxccxpxxxx,I

8、 ,xxcpxpxeseexx如果sx = pxx/I, 那么.65补偿价格弹性补偿价格弹性 斯卢茨基方程表明补偿的和未补偿的价格弹性将会很接近，如果 投入到 x 的收入份额很小 x 的收入弹性很小.66齐次齐次 需求函数对于所有价格和收入是零次齐次的 齐次函数的欧拉定理表明IIxpxppxpyyxx 0.67齐次齐次 两边同时除以 x, 得到I ,0 xpxpxeeeyx所有价格和收入的任意比例变化不改变x 的需求数量.68恩格尔加总恩格尔加总 通过将预算约束对收入（将价格看作常数）微分，我们可以看到IIypxpyx1IIIIIIII,1yyxxyxesesyyypxxxp.69恩格尔加总恩

9、格尔加总 恩格尔定律表明食品的需求收入弹性小于1 这意味着所有非食品的需求收入弹性必须大于1.70古诺加总古诺加总 因为预算约束的存在，商品 x 价格变化对于商品 y 消费量的交叉价格效应受到限制 为了看到这一点，我们可以将预算约束对 px 微分.71古诺加总古诺加总xyxxxpypxpxpp0IyyppyppxxxppxpxxyxxxxIII0 xxpyyxpxxesses,0 xpyypxxsesesxx,.72需求弹性需求弹性 柯布道格拉斯效用函数U(x,y) = xy(+=1) x 和 y 的需求函数xpxIypyI.73需求弹性需求弹性 计算弹性1 2,xxxxxpxpppxppxe

10、xII00 ,xpxppxeyyypxy1 ,xxxppxxeIIIII.74需求弹性需求弹性 我们可以看到 齐次性0101,Ixpxpxeeeyx恩格尔加总111,IIyyxxeses古诺加总xpyypxxsesesxx0) 1(,.75需求弹性需求弹性 我们也可以利用斯卢茨基方程获得补偿价格弹性1) 1(1,Ixxpxcpxeseexx补偿价格弹性取决于其他商品(y)在效用函数中有多重要.76需求弹性需求弹性 CES 效用函数 (其中 = 2, = 5)U(x,y) = x0.5 + y0.5 x 和 y 的需求函数)1(1yxxpppxI)1(1yxypppyI.77需求弹性需求弹性 我

11、们利用 “份额弹性” 来获得自身价格弹性xxxpxxxxxpsesppse,1在这个例子中,111yxxxppxpsI.78需求弹性需求弹性 因此, 份额弹性为1111211,1)1()1(yxyxyxxyxyxxxxpsppppppppppsppsexx所以, 如果我们令 px = py5.111111,xxxpspxee.79需求弹性需求弹性 CES 效用函数 (其中 = 0.5, = -1)U(x,y) = -x -1 - y -1 商品 x 的份额5.05.011xyxxppxpsI.80需求弹性需求弹性 因此, 份额弹性为5.05.05.05.015.05.025.05.05.15.

12、0,15.0 )1()1(5.0 xyxyxyxxyxyxxxxpspppppppppppsppsexx如果我们再一次令 px = py75.0125.01,xxxpspxee.81消费者福利消费者福利 福利经济学中一个重要问题是找到当价格变化后消费者福利变化的货币测量.82消费者福利消费者福利 评价价格上升(从px0 到 px1) 福利成本的一种方法是比较在两种情况下获得效用U0 所需要的花费px0 的花费= E0 = E(px0,py,U0)px1 的花费= E1 = E(px1,py,U0).83消费者福利消费者福利 为了补偿价格上升, 消费者要求一个补偿变化 (CV)CV = E(px

13、1,py,U0) - E(px0,py,U0).84消费者福利消费者福利x的数量y的数量U1A假定消费者在A点获得最大效用U2B如果商品 x 的价格上升, 消费者 会在B点获得最大效用消费者的效用从 U1 下降到 U2.85消费者福利消费者福利x的数量y的数量U1AU2BCV 就是需要补偿的数量可以补偿消费者，使得其还可以获得效用 U1C.86消费者福利消费者福利 支出函数对于 px 的导数就是补偿需求函数),(),(00UppxpUppEyxcxyx.87消费者福利消费者福利 CV 的数量等于从 px0 到 px1的积分1010),(0 xxxxppppxyxcdpUppxdECV这个积分是

14、补偿需求曲线从 px0 到 px1的面积.88福利损失福利损失消费者福利消费者福利x的数量pxxc(pxU0)px1x1px0 x0当价格从 px0 上升到 px1,消费者遭受福利损失.89消费者福利消费者福利 因为一般来说价格变化包含收入效应和替代效应, 所以采用哪条补偿需求曲线不是很清楚 我们利用来自原效用 (U0)的补偿需求曲线还是价格变化后新效用(U1) 的补偿需求曲线? .90消费者剩余概念消费者剩余概念 思考这个问题的另外一种方式是考虑消费者愿意付多少钱来获得在px0 交易的权利.91消费者剩余概念消费者剩余概念 补偿需求曲线之下，市场价格之上的面积称为消费者剩余 消费者在当前的市

15、场价格下交易所获得的额外好处.92消费者福利消费者福利x的数量pxxc(.U0)px1x1当价格从 px0 上升到 px1, 市场的真实反应是从 A 移动到 Cxc(.U1)x(px)ACpx0 x0消费者的效用从U0降到U1.93消费者福利消费者福利x的数量pxxc(.U0)px1x1区域 px1BApx0 利用xc(.U0) 还是 px1CDpx0 利用 xc(.U1) 最好地描述了消费者的福利损失?xc(.U1)ABCDpx0 x0U0 还是U1 是合适的效用目标?.94消费者福利消费者福利x的数量pxxc(.U0)px1x1我们可以利用马歇尔需求曲线作为一个折衷xc(.U1)x(px)

16、ABCDpx0 x0区域 px1CApx0 的面积介于xc(.U0)和xc(.U1)定义的福利损失之间.95消费者剩余消费者剩余 我们将把 消费者剩余 定义为马歇尔需求以下，价格以上的部分 表示了消费者愿意为获得在这个价格上进行交易的权利支付多少 消费者剩余的变化测量了价格变化的福利效果.96价格上升的福利损失价格上升的福利损失 假定的x补偿需求函数是5.05.0),(xyyxcpVpVppx价格从 px = 1上升到 px = 4 的福利损失是415.05.0415.05.02xXppxyxypVppVpCV.97价格上升的福利损失价格上升的福利损失 如果我们假定 V = 2，py = 2,

17、CV = 222(4)0.5 222(1)0.5 = 8 如果我们假定效用水平 (V)在价格上升后下降到1 (并且利用这个福利水平计算福利损失), CV = 122(4)0.5 122(1)0.5 = 4.98价格上升的福利损失价格上升的福利损失 假定我们利用马歇尔需求函数15.0),(-xyxpppxII 价格从 px = 1上升到 px = 4 的福利损失是441110.50.5 lnxxp-xxxpp dpp损失II.99价格上升的福利损失价格上升的福利损失 如果收入 (I) 等于 8, 损失 = 4 ln(4) - 4 ln(1) = 4 ln(4) = 4(1.39) = 5.55

18、利用马歇尔需求函数计算的损失介于利用补偿需求函数计算的两个损失量.100显示偏好和替代效应显示偏好和替代效应 显示偏好理论由保罗萨缪而森在1940s末期提出 这个理论利用观察到的行为定义了理性的原理，并用这个原理近似效用函数.101显示偏好和替代效应显示偏好和替代效应 考虑两个商品束: A 和 B 如果消费者能够负担这两个商品束，但是选择了 A, 我们说 A 显示偏好于B 在任何一个价格收入条件下, B 不能显示偏好于 A.102显示偏好和替代效应显示偏好和替代效应x的数量y的数量AI1假定, 当预算约束为 I1, 选择ABI3当收入是I3的时候，A 还应该偏好于 B ， (因为 A 和B 都

19、是可以负担的)I2如果选择B, 预算约束一定类似于 I2 ，此时无法负担 A.103替代效应为负替代效应为负 假定消费者在两个商品束之间无差异: C 和 D 令pxC,pyC 为选择消费束 C 时候的商品价格 令pxD,pyD 为选择消费束 D 时候的商品价格.104替代效应为负替代效应为负 因为消费者在 C 和 D 之间无差异 当选择 C 的时候, D 的花费至少和C一样多pxCxC + pyCyC pxCxD + pyCyD 当选择 D 的时候, C 的花费至少和D一样多pxDxD + pyDyD pxDxC + pyDyC.105替代效应为负替代效应为负 移项, 得到pxC(xC - x

20、D) + pyC(yC -yD) 0pxD(xD - xC) + pyD(yD -yC) 0 两式相加(pxC pxD)(xC - xD) + (pyC pyD)(yC - yD) 0.106替代效应为负替代效应为负 假定仅仅有商品 x 的价格变化 (pyC = pyD)(pxC pxD)(xC - xD) 0 这意味着当效用水平不变的时候价格和数量运动方向相反 替代效应为负.107数学推广数学推广 如果, 在价格 pi0 选择商品束xi0 而不是 xi1 (此时，可以负担 xi1), 那么niniiiiixpxp111000消费束 0 “显示偏好” 于消费束 1.108数学推广数学推广 因此, 在消费者选择消费束 1 的价格 (pi1), 有niniiiiixpxp111101消费束 0 一定贵于消费束 1.109显示偏好强公理显示偏好强公理 如果商品束 0 显示偏好于商品束 1, 并且如果商品束 1 显示偏好于商品束 2, 并且商品束 2 显示偏好于商品束 3,并且如果商品束 K-1 显示偏好于商品束 K, 那么商品束 K 不能 显示偏好于商品束 0.110要点回顾要点回顾: 所有价格和收入等比例变化不改变消费者预算约束，因此不改变最优消费量 需求函数是所有价格和收入的零次齐次函数.111要点回顾要点回顾: 当购买力变化后 (