怎样用Matlab求解差分方程题

1、用用Matlab求解差分方程问题求解差分方程问题一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然演变和人工孵化濒危物种的自然演变和人工孵化问题问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中，而在中等和较差环境下年均增长率分别为等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有，如果在某自

2、然保护区内开始有100只鹤，只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。数值计算。模型建立模型建立记第记第k年沙丘鹤的数量为年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为年均增长率为r，则第，则第k+1年鹤的数量为年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然在较好，中等和较差的自然环境下环境下 r=0.0194, -0.0324,和和-0.0382 我们利用我们利用Matlab编程，递推编程，递推20年后观察沙丘鹤的年后观察沙丘鹤的数量变化情况数量变化情况Matlab实现实现首先建立一个关于变量首先建立一个

3、关于变量n ，r的函数的函数function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:n x(k+1)=a*x(k);end在在command窗口里调用窗口里调用sqh函数函数 k=(0:20); y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3)利用plot 绘图观察数量变化趋势可以用不同线型和颜色绘图可以用不同线型和颜色绘图r g b c m y k w 分别表示分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色红绿兰兰绿洋红黄黑白色： + o * . X s d 表示不同的线型表示不同

4、的线型 plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图在同一坐标系下画图 plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化自

5、然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk +5 ,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk +b ,a=1+rfunction x=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;For k=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20) ; %一个行向量一个行向量y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量也是一个行向量round( k , y 1 ) 对对k,y1四舍五入，但四舍五入，但 是是 不改变变量的值不改变变量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以是行向量列向量都可以也可以观察也可以观察200年的发展

6、趋势，以及在较差年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。化数量变化的影响。一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性自然环境下自然环境下,b=0人工孵化条件下人工孵化条件下令令xk=xk+1=x得得 差分方程的平衡点差分方程的平衡点k时，时，xkx,称平衡点是稳定的称平衡点是稳定的0kkxax10(1)kkkxa xbaa011kkaaxba1bxa1kkxa xb高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 如果第如果第k+1时段变量时段变量Xk+1不仅取决不仅取决于第于第k时

7、段变量时段变量Xk，而且与以前时段变，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述量有关，就要用高阶差分方程来描述一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第在第2年春季发芽，然后开花，产种，其年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，春季

8、发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活一年生植物只能活1年，而近似的认为，年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。及它能一直繁殖下去的条件。模型及其求解模型及其求解记一棵植物春季产种的平均数为记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能种子能活过一个冬天的活过一个冬天的(1岁种子岁种子)比例为比例为b,活过活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率岁种子发芽率a1，2岁种

9、子发芽率岁种子发芽率a2。设设c,a1,a2固定，固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件是变量，考察能一直繁殖的条件记第记第k年植物数量为年植物数量为Xk，显然，显然Xk与与Xk-1,Xk-2有关，由有关，由 Xk-1决定的部分是决定的部分是 a1bcXk-1,由由Xk-2决定的部分是决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2实际上，就是实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需我们需要知道要知道x0,a1,a2,c, 考察考察b不同时，种子繁不同时，种子繁殖

10、的情况。在这里假设殖的情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这样可以用这样可以用matlab计算了计算了Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2Function x=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);for k=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);endK=(0:20);Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20)

11、;Round(k,y1,y2,y3)Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),Gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20)结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2 (1) x1+px0=0 (2) 对高阶差分方程可以寻求形如对高阶差分方程可以寻求形如的解。代入的解。代入(1)式得式得称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程方程(1)的解可以表为的解可以表为C1,c2 由初始条件由初始条件x0,x1确定。确定。kkx20pq21 , 242ppq1122kkkxcc1,21,0()kxk 本例中，用

12、待定系数的方法可以求出本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时时,c1=95.64, c2=4.36 ， 这样这样实际上，实际上，植物能一直繁殖下去的条件是植物能一直繁殖下去的条件是b0.19112( ,)(0.9430, 0.0430) 95.64(0.9430)4.36( 0.0430)kkkx 1,21,()kxk 1 , 251 02b线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经承诺，

13、在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，验估计和市场调查，一个租赁期内在一个租赁期内在A市租赁的汽车市租赁的汽车在在A,B,C市归还的比例分别为市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在在B市市租赁的汽车归还比例租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还市租赁的归还比例分别为比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将。若公司开业时将600辆辆汽车平均分配到汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽个城市，建立运营过程中汽车数量在车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。充分长以后的变化趋势。0.6

14、0.3A B CA B CA B C假设在假设在每个租每个租赁期开赁期开始能把始能把汽车都汽车都租出去，租出去，并都在并都在租赁期租赁期末归还末归还0.10.70.20.10.60.30.1模型及其求解模型及其求解记第记第k个租赁期末公司在个租赁期末公司在ABC市的汽车数量市的汽车数量分别为分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第（也是第k+1个租赁个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第容易写出第k+1个租赁期末公司在个租赁期末公司在ABC市的市的汽车数量为汽车数量为(k=0,1,2,3)112321233123(1)0.6 ( )0.

15、2( )0.1 ( )(1)0.3 ( )0.7( )0.3( )(1)0.1 ( )0.1( )0.6( )x kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx k用矩阵表示用矩阵表示用用matlab编程，计算编程，计算x(k),观察观察n年以后的年以后的3个城市的个城市的汽车数量变化情况汽车数量变化情况112233(1)0.60.20.1( )(1)0.30.70.3( )(1)0.10.10.6( )x kx kx kx kx kx kfunction x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,20

16、0,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看如果直接看10年或者年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗年发展趋势，可以直接在命令窗口（口（commond window）作，而不是必须编一个函数）作，而不是必须编一个函数112233(1)0.60.20.1()(1)0.30.70.3()(1)0.10.10.6()xkxkxkxkxkxk A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; n=10; for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end round(x)作图观察数量变

17、化趋势012345678910120140160180200220240260280300 x1(k)x2(k)x3(k) k=0:10; plot(k,x) ，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)可以看到时间充分长以后可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量个城市汽车数量趋于趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始若最开始600辆汽车都在辆汽车都在A市，可以看到变市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关稳定，与初始值无关直接输入

18、x（:,1）的值即可x(:,1)=600,0,0; round(x);plot(k,x),grid0123456789100100200300400500600按年龄分组的种群增长野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各

19、年龄组种群的繁殖间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。分长以后的变化趋势。模型及其求解模型及其求解设种群按年龄等间隔的分成设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作时段记作k=0,1,2,且年龄组区间与且年龄组区间与时段长度相等时段长度相等(若若5岁为一个年龄组，则岁为一个年龄组，则5年为一年为一个时段个时段)。以雌性个体为研究对象。以雌性个体为研究对象记在时段记在时段k第第i

20、年龄组的数量为年龄组的数量为xi(k);第第i年龄组的年龄组的繁殖率为繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第的数量；第i年龄组死亡率为年龄组死亡率为di，表示一个时段，表示一个时段内死亡数与总数的比，内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。是存活率。注意：第注意：第k时段的第时段的第i年龄组活过来的，是第年龄组活过来的，是第k+1时时段的第段的第i+1年龄组年龄组Xi+1(k+1)=sixi(k) i=1，2,n-1, k=0,1,各年龄组在第各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第时段繁殖的数量和是第k+1时段的时段的第第1年龄组年龄组X1(k+1)= k=0,1,记在时段记在时段k种群各年龄组的数量为种群各年龄组的数量为X(k)=x1(k),