大创答辩-地震波场高精度有限差分算子研究

1、“自主创新科研计划项目自主创新科研计划项目”结题答辩结题答辩答辩人：答辩人：xxx项目名称：地震波场高精度有限差分算子研究项目名称：地震波场高精度有限差分算子研究简介指导老师：指导老师：xx小组成员：小组成员：xxx 地震波场数值模拟在地震勘探中具有重要作用。有限差分法是地震正演模拟中应用较广的一种方法，它具有计算速度快, 占用内存小的优势,我们通过小组的共同推演，从2阶、4阶逐渐增加到12阶，最后得出递推公式的通式，并编制相应程序, 通过程序正演模拟得到波场快照，一步步的对比，一步步的优化，最终得到了比较精确的差分算子。简介 认识与结论认识与结论公式推导公式推导程序编写编写研究进程结结果分析

2、22222221uuuxzvt波动方程详尽描述了均匀各向同性完全弹性介质中各质点在不同时刻的位移位（或者相对体变）情况和纵波在该介质中的传播规律。公式推导二维均匀各向同性介质的纵波波动方程：二维均匀各向同性介质的纵波波动方程：为了利用波动方程进行数值模拟，必须将公式进行离散化，利用差分代替微分，从而方便编制程序。下面介绍如何利用差分算子来近似计算函数的微分的。232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 2211221()(2)O()jjjjuuuuxx

3、x1j j1j xxj x()juu j x令两式相加整理得到二阶差分算子的公式：公式推导二阶差分算子的推导：二阶差分算子的推导：2022-3-3232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 1j j1j x高阶差分算子的推导：2j 2j 232322311(2)(2)2()2()2()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx232322311(2)(2)2()2()2()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx公式推导（1）（2

4、）（3）（4）2022-3-312111222242244121224212()2()12jjjjjjjccucuucuuuuccxccxxx1j j1j x2j 2j 其矩阵形式为：根据待定系数法： 系数=1， 的系数=0，则可得如下方程组：22ux44ux2124122120cccc2142112012cc 或：12221112120cc 将求得系数c1和c2带回（5）式，即可得到的差分格式：2412111222221()2()jjjjjjuccucuucuuOxxx对1、2式3、4式分别相加并且整理得：公式推导公式推导 利用相同的方法，我们逐渐推出了六阶、八阶、十阶、十二阶的差分算子公式

5、，然后带入波动方程，得出递推公式：11,11,1,22,2,122022202,1,12,2,22nnnnnnnni ji ji ji jijijijijnnnnni ji ji ji ji juuuucuucuuucuucuuvtcxvtcz公式推导虽然，通过使用高阶的差分算子，数值频散现象已经明显改善，但是，仍虽然，通过使用高阶的差分算子，数值频散现象已经明显改善，但是，仍然存在比较明显的数值频散，为了进一步减少数值频散，我们又对算子进行然存在比较明显的数值频散，为了进一步减少数值频散，我们又对算子进行了一定的优化：了一定的优化：传统的二阶空间分化函数传统的二阶空间分化函数f基本上是一个在

6、基本上是一个在x=0被截断的泰勒级数，如公式被截断的泰勒级数，如公式 其中偶数其中偶数N按顺序排列，按顺序排列， 是沿是沿x均匀的时间间隔，均匀的时间间隔， 是一个二项式系是一个二项式系数公式定义的常系数数公式定义的常系数 如公式如公式 我们可以通过使用优化公式的常数系数来减小数值频散，多数以前的工我们可以通过使用优化公式的常数系数来减小数值频散，多数以前的工作希望设计一个适当的窗作希望设计一个适当的窗 得到优化差分算子，这可概况为以下形式，如得到优化差分算子，这可概况为以下形式，如公式：公式：22222/212cos()NnnnNfanfxn22222212cos()fNnnnNwnfxn

7、是我们已使用的优化的最终形式，我们下一步是确定是我们已使用的优化的最终形式，我们下一步是确定bnbn的优化方案在的优化方案在本文中，我们通过检查波数域和分析波数中优化有限差分算子的绝对误差来直本文中，我们通过检查波数域和分析波数中优化有限差分算子的绝对误差来直接优化系数。我们应用模拟退火算法优化下面的目标函数。接优化系数。我们应用模拟退火算法优化下面的目标函数。公式推导 事实上，我们可以直接搜索优化的系数的最终形式。也就是说，窗事实上，我们可以直接搜索优化的系数的最终形式。也就是说，窗与公式（与公式（3）的其他部分相结合。如公式）的其他部分相结合。如公式 222221NnnNNfbfx 222

8、max2maxcos()0NxnnnNnxkbnkTkk 程序编写 for(it=0;itNt;it+)递推公式加载震源数据替换震源子波生成记录单炮数据生成波场快照记录文件结果分析 利用不同阶数的高阶有限差分算法进行了数值模拟，得到相应的波场快利用不同阶数的高阶有限差分算法进行了数值模拟，得到相应的波场快照。图中可以看出，在阶数较低时，出现很多同相轴，说明数值频散现象严照。图中可以看出，在阶数较低时，出现很多同相轴，说明数值频散现象严重；随着算子阶数的增加，数值频散现象逐渐减弱。对于高阶差分算子来说，重；随着算子阶数的增加，数值频散现象逐渐减弱。对于高阶差分算子来说，算子阶数越高，压制数值频散

9、效果越好，精度越高。算子阶数越高，压制数值频散效果越好，精度越高。二阶 四阶 十阶 十二阶 结果分析 我们求出bn的得数后，替换程序中原有的Cn，得到优化之后的程序，同 时，得到相应的波场快照，并进行对比：优化前优化后优化前优化前优化后优化后结果分析 图中可以看出，对于相同阶数的算子，优化有限差分模拟的波场快照对比高阶差分算子的结果，优化算子压制数值频散效果更好，精优化算子压制数值频散效果更好，精度更高，度更高，说明优化算子优于高阶差分算子。我们取出两种算子模拟时，得到模型中间测线的波形曲线图如图所示，通过两个图对比可以更加清楚地看到波尾附近的数值频散明显减小。结果分析 我们建立了一个均匀介质

10、模拟，其纵波速度为v=3000m/s。模型大小为200200，空间采样间隔为dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作为震源子波，震源位于模型中心处，时间采样间隔为1ms。利用优化有限差分算子进行数值模拟，波场快照如图3-6所示。图中可以看出，波场快照中的同相轴是圆形的，说明在均匀各向同性介质中，点源激发的波前面是一个圆，这与理论也是吻合的。并且随着时间的增大，波前面的面积逐渐增大，说明地震波从震源中心向外传播。均匀介质模型均匀介质模型 x结果分析 (a)50ms （b）100ms (c)150ms(d)200ms (e)250ms (f)300ms结果分析结果分析 层状介质模型层状介质模型

11、 我们建立了一个两层介质模拟，其上层纵波速度为v=2000m/s，下层纵波速度为v=4000m/s。如图3-7所示。模型大小为200200，空间采样间隔为dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作为震源子波，震源位于模型(70,100)处，时间采样间隔为1ms。利用优化有限差分算子进行数值模拟，不同时刻波场快照如图所示。图中可以看出，在未遇到界面前，地震波在均匀介质中的波前面一个圆。当遇到地层界面之后，在界面处发生了反射、透射和折射现象。层状介质模型结果分析 (a)50 (a)50msms （b）100100msms (c)(c)150ms 150ms (d)(d)200ms 200ms (

12、e)(e)250ms 250ms (f)(f)300ms 300ms (g)(g)350ms 350ms (h)(h)400ms 400ms 结果分析 反射波反射波透射波透射波直达波直达波结果分析 层状介质模型层状介质模型 沿测线方向的单炮记录如图所示。记录中存在两条直线状的同相轴和一条近似双曲线的同相轴。由于直达波的时距曲线是直线，因此两条直线同相轴对应直达波；由于反射波的时距曲线是近似双曲线，因此近似双曲线同相轴对应的是反射波。直达波直达波反射波反射波认识与结论 本课题研究了一种高精度有限差分算子，该算子能够有效的减小数值频散。在此基础上，对建立的模型进行网格化，用该差分算子按时间步长迭代计算波场，获得地震波