342相似三角形的性质

1、相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.43.4.2 相似三角形的性质相似三角形的性质 一、知识与能力目标 1、掌握相似三角形的性质及它的证明； 2、掌握相似三角形的相似比与周长、面积、高、中线、角平分线的关系； 3、会用相似三角形的性质解决问题； 二、过程与方法 让学生经历启发、探究、讨论等过程，弄清相似三角形的性质是研究什么问题，给出相似三角形研究的方向，从而得出相似三角形的性质，并对它们证明。 三、情感态度与价值观 通过对本节课内容的学习，让学生知道相似三角形在实际生活中的作用，体现学习数学的一种生活美。 四、法制教育渗透 学生通过交流、归纳、总结相似三角形的周长

2、比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处；并能应用相似三角形的周长比、面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识。 两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢？为了研究相似三角形的更多性质，请先思考下面问题为了研究相似三角形的更多性质，请先思考下面问题动脑筋动脑筋 如图，已知如图，已知ABC ， AH、 分分别为对应边别为对应边BC， 上的高，那么上的高，那么 吗吗？AHABA HA B A B C A HB C . AHABA HA B ABC ，解解

3、A B C B =B .又又 AHB = = 90，A H B ABH. A B H 类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比比也等于相似比. .结论结论相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比. .由此得到：由此得到：举举例例举举例例例例9 9 如图，如图，CD是是RtABC斜边斜边AB上的高，上的高，DEAC ，垂足为点垂足为点E. 已知已知CD=2，AB= ，AC=4，求，求DE的长的长.例例9 9举举例例例例9 98 33 A=A， ACB=ADC=90，在在RtABC与与RtACD中，中，解解 ABCACD

4、.又又 CD，DE分别为它们的斜边上的高，分别为它们的斜边上的高，.CDABDEAC DE=. 3又又 CD=2，AB= ，AC=4，8 33. ATABATA B求证：求证：举举例例 如图，已知如图，已知ABC ， AT、 分别为分别为对应角对应角BAC， 的角平分线的角平分线. .A B C AT B A C例例1010 B= ， BAC= .B A C B解解ABC A B T,又又AT、 分别为对应角分别为对应角BAC，的角平分线，的角平分线， B A CAT B A T,=B A C = BAT= BAC1212A B T.ABT . ATABATA B 类似地，我们可以得到另外两组

5、对应角平分线类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比的比也等于相似比. .结论结论相似三角形对应的角平分线的比等于相似比相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. .由此得到，由此得到， 已知已知ABC ， 若若AD、 分别为分别为 ， 的中线，那么的中线，那么 成立吗成立吗？由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论？ ADABA DA BA B C A D ABCA B C 相似三角形对应边上相似三角形对应边上的中线的比等于相似比的中线的比等于相似比. .议一议议一议议一议议一议议一议议一议练习练习已知已知ABCDEF， AM，DN 分别分别ABC， DEF 的一条中线，且的一

6、条中线，且AM= 6cm， AB= 8cm，DE= 4cm，求，求DN的长的长. 1. DN=3(cm).又又 AM，DN分别为它们的斜边上的高，分别为它们的斜边上的高，DNDEAMAB， ABCDEF，解解即即.468DN如图，如图， ，AD，BE 分别是分别是ABC 的高和中线，的高和中线， ， 分别是分别是的高和中线的高和中线 ，且，且 AD = 4， = 3，BE= 6，求求 的长的长 2.ABC A B C B E A B C A D A D B E 解解ABC A B C，即即. 364B E ，B EA DBEAD =4.5. B E动脑筋动脑筋 如图，已知如图，已知 ，相似比为

7、，相似比为k，则，则SABC S 的值是多少呢的值是多少呢？ABC A B C A B C 因此，因此， ADA D BCB C = ABCABCSS 1212BC ADB C A D=2k .k k分别作分别作BC， 边上的高边上的高AD， ， 则则 AD=k.A DA D B C结论结论相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方. .由此得到，由此得到，举举例例例例11 11 如图，在如图，在ABC中，中， EFBC，S 四边形四边形BCFE= 8， 求求SABCAEEB12，EFBC，解解 AEFABC.1,2AEEB又又1.3AEAB.1=9四四边边形形AEF

8、AEFBCFESSS即即. 8四四边边形形BCFES=.=1AEFS. 9ABCS=.211=( )39ABCAEFSS举举例例例例12 12 已知已知ABC 与与 的相似比为的相似比为 ， 且且 + = 91，求，求 的面积的面积. .A B C ABCS ABC23ABCS即即 4=9ABCABC.SS + = 91， ABCSABCS 又又 .4+=919ABCABCSS.=63ABCS解解的相似比为的相似比为 ，23ABC 和和A B C 224=( ) =39，ABCABCSS1. 证明：相似三角形的周长比等于相似比证明：相似三角形的周长比等于相似比.练习练习证明：设证明：设 ABC

9、，相似比为，相似比为k. . A B C 因为因为 ， 所以所以 从而从而 A BB CC AABBCCAk . A B CA BB CC AABC AB BC CAk AB BC CAAB BC CAk ()() 的周长的周长的周长的周长 A BkAB B CkBC C AkCA , , ., , .2. 已知已知 ，它们的周长分别为，它们的周长分别为 60cm和和72cm，且，且AB=15cm， =24cm，求，求 BC，AC， ， 的长的长. .ABC A B C B C A C A B 解解 ABC A B C , 它们的相似比为它们的相似比为605726, .5=6ABBCAC=A

10、BB CA C即即在在ABC中，中，AC=60- -15- -20=25( (cm).).20=30 cm5566ACAC5524=20 cm66BC= BC=.15=18 cm5566ABAB有一个直角三角形的边长分别为有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少直角三角形的周长和面积分别是多少？3.解解由已知可得由已知可得这两个直角三角形的相似比为这两个直角三角形的相似比为37. . 另一个直角三角形的两条边分别为另一个直角三角形的两条边分别为 和和428337535=337. .另一个直角三角形的周长为另一个直角三角形的周长为 另一个直角三角形的周长为另一个直角三角形的周长为.35 28+7=2833另一个直角三角形的面积为另一个直角三角形的面积为.1 28987=233中考