暑期数学讲座六

1、1、三角形四心的坐标(,),33ABCABCxxxyyy则重心, , ,(,), (,), (,),AABBCCABCa b cA B Cxyxyxy设三边的长分别为三个顶点的坐标分别记为(,),ABCABCaxbxcxaybycyabcabc内心sin2sin2sin2sin2sin2sin2(,),sin2sin2sin2sin2sin2sin2ABCABCxAxBxC yAyByCABCABC外心coscoscoscoscoscos(,).coscoscoscoscoscosABCABCaxbxcxaybycyABCABCabcabcABCABC垂心2、直线系11112222:0:0,l

2、a xb ycla xb ycP若直线与直线相交于111222()0()a xb yca xb ycP则为非零常数 表示过点.的直线系121,.lll若则上述方程表示所有与 平行的直线3、圆锥曲线和直线的参数方程222cos,;sinxrxyryr圆的参数方程是其中 为参数2222cos1,;sinxaxyybab椭圆的参数方程是参数 称为离心角2222sec1,;tanxaxyybab双曲线的参数方程是其中 为参数2222,;2xptypxtypt 抛物线的参数方程是其中 为参数3、圆锥曲线和直线的参数方程0000cos(,),sinxxtxyyyt过定点倾斜角为 的直线的参数方程是:t其中

3、参数 的几何意义是00( , )(,);tx yxy表示直线上的点到定点的距离0000( , )(,),0;( , )(,),0;x yxytx yxyt点在点的上方点在点的下方00( , )(,),0.x yxyt 点与点重合(以圆锥曲线的焦点 椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线),的焦点 为极点 焦点所在的轴为极轴 则圆锥曲线的统一极坐标4、圆锥曲线的统一极坐标方程方程为,1cosepe,1;1; 01.eeeep其中 为离心率称为双曲线称为抛物线称为椭圆是焦点到相应准线的距离125()P xyFF、圆锥曲线的焦半径 曲线上任意一点，到焦点或的距离2222(1)1(0 )xyabab椭圆

4、12|,|().cPFaexPFaexea为离心率2222(2)1xyab双曲线12|,|;xaPFexaPFexa当时,12|(),|().xaPFexaPFexa 当时,2(3)2ypx抛物线|.2pPFx焦半径为1、选择题(5cos ,4sin ),(0,6),PQ设椭圆上的点圆心则.A选2222(1)1(6)12516().( )11( ) 74( )5 5()9xyxyABCD椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是解解22(5cos )(4sin6)PQ29sin48sin61289(sin)1253289( 1)12510,3 11.故所求距离的最大值是1,lOP最短的弦.D选222

5、212122122122122(2):,( , )(0).,().( ),( ),( ),(),O xyrP a babOPOllbxayrA lllOB lllOC lllOD lllO设圆点是圆 内一点 过点 的圆 的最短的弦在直线 上 直线 的方程是则且 与圆 相切且 与圆 相切且 与圆 相离且 与圆 相离解解221:0laxbyab的方程为12.ll2222222,rOldabrab圆心到 的距离222,rdrab2.l故与圆相离22:22 35,A xyxy.D选2222(3)().( )2 (cos3sin )5 ( )6 cos4 sin0( )cos1( )cos22 (cos

6、sin )1ABCD极坐标表示的下列曲线中不是圆的是解解22:640,B xyxy22:1,C xyx;它们都表示圆222:(cossin)2 (cossin )1D22221.xyxy 表示双曲线2221.22 cos11cos1kkkkkkk.D选2(3)(0)().2 cos1( )( )( )( )kkkkABCD极坐标方程常数表示的曲线是圆或直线抛物线或双曲线双曲线或椭圆抛物线或椭圆解解2201,1kek(1).k曲线为椭圆或抛物线时为抛物线2212221(1)(1),: ()1,xyCak a由题意1212121212122212122212(4)0,1.(1)1(1)1().1+

7、1+( )( )( )1()1+1+kkkkk kCCyk xykxCCkkkABCDkkk 已知常数 、满足设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线,则和的离心率之比等于解解2221222211()1.11()1ak abk b所以2222222(1)(1): ()1,xyCbk b121 20,1,kkk k.C选1212121212122212122212(4)0,1.(1)1(1)1().1+1+( )( )( )1()1+1+kkkkk kCCyk xykxCCkkkABCDkkk 已知常数 、满足设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线,则和的离心率之比等于解解222111,ak

8、a1201kk 222211,bk b222222121122,(1),(1)C CCkaCkb故由方程 得2111111,akcek ak a22221bkcebb211221211.1keekk2(2sin(2 )(sin )2,ttxxa tta tta.C选(sin )(5)(0)( )().(1cos )( )( )( )2()2xa ttayf xyatABxCaD参数方程所表示的函数是图像关于原点对称图像关于直线对称周期为的周期函数周期为的周期函数解解2(1 cos(2 )(1 cos )0,ttyyatat( )(2)yf xf xa( )2yf xa故是以为周期的周期函数.,

9、图中的直线围成的部分为可行域.C选(6):20, 2360,61001(0)( , ),( , ),().( )1( )2( )2( )1xkyxyxyykx yDxx ykA kB kC kD k将同时满足不等式的点组成的集合称为可行域 将函数称为目标函数 所谓规划问题就是求解可行域中的点使目标函数达到最小值 若这个规划问题有无穷多个解 则 的取值为解解1(0, 1).yx中的点与点的连线的斜率为,若规划问题有无穷多个解20 xky在直线上可行域2.k(0, 1)则点20 xky2360 xy6100 xy*2*2222*224422222224422222(7),1( , ):1().(

10、)( )()( )2()()2()COrPPOOPOPrPPCxyP x yC xyPA xyxyB xyxyC xyxyD xyxy已知是以为圆心、 为半径的圆周两点 、在以为起点的射线上， 且满足则称 、关于圆周对称 那么 双曲线上的点关于圆周的对称点所满足的方程是解解22001(,),xyxy在双曲线上任取点222 22 200001xyx ty t则00(,),Cx t y t设其关于圆周 的对称点为22001.txy00,xx tyy t令*2*2222*224422222224422222(7),1( , ):1().( )( )()( )2()()2()COrPPOOPOPrPP

11、CxyP x yC xyPA xyxyB xyxyC xyxyD xyxy已知是以为圆心、 为半径的圆周两点 、在以为起点的射线上， 且满足则称 、关于圆周对称 那么 双曲线上的点关于圆周的对称点所满足的方程是解解222 20022200,()xxx txy则22220022222200001,()()xyxyxyxy222 20022200()yyy txy.B选*2*2222*224422222224422222(7),1( , ):1().( )( )()( )2()()2()COrPPOOPOPrPPCxyP x yC xyPA xyxyB xyxyC xyxyD xyxy已知是以为圆

12、心、 为半径的圆周两点 、在以为起点的射线上， 且满足则称 、关于圆周对称 那么 双曲线上的点关于圆周的对称点所满足的方程是解解2222002222200001,()xyxyxyxy22222() ,xyxy故*22222() .Pxyxy即的方程是222222cossin(8)32 3sincos5601,().( ),()( ),()626( ),()(),()626xxyxxyyxyxyyabkAkkZBkZkCkkZDkZ 经过坐标变换将二次曲线转化为形如的标准方程 则二次曲线为椭圆椭圆双曲线双曲线解解cossin,sincosxxyyxy由条件代入二次曲线方程,得23(cossin

13、)2 3(cossin )(sincos )xyxyxy25(sincos )60 xy222222cossin(8)32 3sincos5601,().xxyxxyyxyxyyab 经过坐标变换将二次曲线转化为形如的标准方程 则二次曲线为解解,xy 由项的系数为零 得sin23cos202sin(2)0,3()26kkZ得31sin2, cos2,22222222(32sin)(32cos)3sin2 ()xyxy222sin23(cossin)60.(*)x y 31sin2, cos2.22 或.B选222222cossin(8)32 3sincos5601,().( ),()( ),(

14、)626( ),()(),()626xxyxxyyxyxyyabkAkkZBkZkCkkZDkZ 经过坐标变换将二次曲线转化为形如的标准方程 则二次曲线为椭圆椭圆双曲线双曲线解解31sin2, cos2(*),22将代入221;3xy得椭圆31sin2, cos2(*),22 将代入22511.62xy得椭圆.B选22222222222(9),( ,(1)1(),().( )(1)1( )(1)1( )(1)1()(1)1xt ymtb m btxyamaabA abB abC abD ab设直线族和椭圆族分别为为实数为参数 和是非零常数若对于所有的直线都与椭圆相交 则 、 应满足解解,(0,

15、 ).ymxbb由题意 直线恒过定点,(0, )mRb若对所有直线都与椭圆相交 则当且仅当点在椭圆内222(0 1)1,ba221)1.ab即 （.A选(10),().( )( )( )()ABCD以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相离 则此曲线是椭圆双曲线抛物线圆解解, e设圆锥曲线的离心率为,AB焦点弦为12,ABpp、 到相应焦点的距离分别为 、12ppee则它们到相应准线的距离分别为、121(),2ppdee圆心到准线的距离12.2ppR圆的半径圆和相应准线相离,dR01.e 2、填空题22(2)(2)18xy圆22(1)44100:02 2,_.xyxyl axbyl若圆上至少有

16、三个不同的点到直线的距离为则直线 的斜率的取值范围是解解(2,2),3 2.圆心半径为2 2,ll分别作两条与直线 平行且与 的距离都是的平行线:,l ykx设直线22221kdk则23,23.k,则这两条平行线与圆都有交点 才符合题意2ld 于圆心到直线 的距离时才有符合题意的交点.问题等价23,2322(1)(3)4,1xyxy且221(2)0,2_.2660 xxyxyxyxy设则的最大值为解解.可行域如图2,22xtxyty 令则162,5t72 5,t 解得2,xytt当直线与圆相切时 最大272 5.xy故的最大值为2xyt72 522:241(23)0,xyxyxy 设所求圆22

17、(3)2302410_.xyxyxy 过直线和圆的交点且面积最小的圆方程为解解222(1)(4)1 30 xyxy 222244(1)()(1)()1 30.22xy 2,5 223919()().555xy故所求圆方程为,显然 以两个交点的连线为直径的圆的面积最小( 1,2)2302xy 即圆心在直线上223919()()555xy22:241(23)0,xyxyxy 设所求圆22(3)2302410_.xyxyxy 过直线和圆的交点且面积最小的圆方程为解解222(1)(4)1 30 xyxy 222244(1)()(1)()1 30.22xy 223919()().555xy故所求圆方程为

18、224(1)()1 3 2S 或2219,55r 即时 圆的面积最小25219 ()455223919()()555xy2222(4)1(0),2,_.xyabcyxabc若椭圆的半焦距为直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为则该椭圆的离心率为解解222212xyabyx222222(4)()ababa b即42( )4( )40,bbaa22222(4)abxa b22222(4),ab ca b2( )2 22ba即22( )1( )32 2,cbaa 32 221.e 故离心率21,1xmyyx由题意 直线垂直于直线22(5)1:0,_.xmyC xymxnypyxp若直线与圆相交 且两个交点

19、关于直线对称 则实数的取值范围为解解1.m ,ABABC设两个交点分别为 、则的中垂线必过圆心22111()()222xyp即212220yxxxp 将代入圆的方程,得,Cyxmn圆心在直线上 得220,xyxyp故圆的方程为1.2p48(2)0,p 33,(,).22pp 解得即3(,)2 2223.(0,1)1(1),?,?,.xAyaAa是椭圆的一个顶点 是否存在以 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形 若存在 则有几个若不存在 请说明理由解解2221,xya代入得2122220,.1kaxxk a ,BCAC设另两个顶点为 、则斜率存在:1(0),AC ykxk故可设2222(1)2

20、0k axka x221ACxk故222221,1kakk a22222,1.aABkka同理2223.(0,1)1(1),?,?,.xAyaAa是椭圆的一个顶点 是否存在以 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形 若存在 则有几个若不存在 请说明理由解解222211kk akaACAB222222222211,1kaakkk aka322210,ka ka k 22(1)(1)10.kkak22(1)10,kak 对于22(1)4.a 0,3.a 当时2121210,10,kkak k 120,0,kk22(1)(1)10kkak方程有三个不同的解.12,1k k 且2223.(0,1)1(

21、1),?,?,.xAyaAa是椭圆的一个顶点 是否存在以 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形 若存在 则有几个若不存在 请说明理由解解0,3a 当时221,2(1)101,kakk 方程的解22(1)(1)10kkak故方程只有一个解.220,(1)(1)10kkak 当时 显然方程只有一个解.,3,3a 综上 当时 所述的等腰直角三角形有 个;13,1.a当时 所述的等腰直角三角形只有 个224.,1tan,(,),4 22cos1.:(,),4 2,?OABAyxOABxyOABOAB 在直角坐标系中是原点、 是第一象限内的点 且在直线上 其中是双曲线上使面积最小的点 求 当 在中取何

22、值时面积最大 最大值是多少解解22222:,()()(),.abcdRabcdacbdadbc引理 设 、 、 、则当且仅当等号成立2:()0adbc证明22222abcda db c 2222222222222a babcdc da ba db cc d22222()()(),abcdacbd.adbc当时取等号224.,1tan,(,),4 22cos1.:(,),4 2,?OABAyxOABxyOABOAB 在直角坐标系中是原点、 是第一象限内的点 且在直线上 其中是双曲线上使面积最小的点 求 当 在中取何值时面积最大 最大值是多少解解00(,),B xyBOAd设点 到的距离为1=.2

23、OABSOA dd则最小最小002tantan1xyd222220000,(sincos )()(sincos),xyxy由引理220000sincos,1,xyxy且224.,1tan,(,),4 22cos1.:(,),4 2,?OABAyxOABxyOABOAB 在直角坐标系中是原点、 是第一象限内的点 且在直线上 其中是双曲线上使面积最小的点 求 当 在中取何值时面积最大 最大值是多少解解2211=sincos.22cosOABS2200sincossincos,xy即2cos ,t令cos2, t222sincos12cos 则212( 2) t 224.,1tan,(,),4 22

24、cos1.:(,),4 2,?OABAyxOABxyOABOAB 在直角坐标系中是原点、 是第一象限内的点 且在直线上 其中是双曲线上使面积最小的点 求 当 在中取何值时面积最大 最大值是多少解解222sincos12cos 212( 2) t 224 23tt 21 1=24 232OABSttt214 23=22tt 2112263(2),2336t224.,1tan,(,),4 22cos1.:(,),4 2,?OABAyxOABxyOABOAB 在直角坐标系中是原点、 是第一象限内的点 且在直线上 其中是双曲线上使面积最小的点 求 当 在中取何值时面积最大 最大值是多少解解211226

25、3(2),2336OABSt3 2,4t 当且仅当22cos,arccos(,),444 2 即时取等号6 / 6.OAB故面积的最大值是212125.4,.,2.(1):?(2)240,.ABCDyxADDBCDABACddddADABCABCABC、 、 、在抛物线上、 关于抛物线对称轴对称 过点作切线切线 点到、距离分别为 、试问是锐角、钝角还是直角三角形若的面积为求 的坐标和的方程212125.4,.,2.(1):?ABCDyxADDBCDABACddddADABC、 、 、在抛物线上、 关于抛物线对称轴对称 过点作切线切线 点到、距离分别为 、试问是锐角、钝角还是直角三角形解解221

26、12211( ,),(,),44B xxC xx设2221211144BCxxkxx则121().4xx1,2yx 2001(,),4D xx设01,2BCkx由题意1202,xxx202021(2,(2) ).4Bxxxx故2001(,).4Axx则212125.4,.,2.(1):?ABCDyxADDBCDABACddddADABC、 、 、在抛物线上、 关于抛物线对称轴对称 过点作切线切线 点到、距离分别为 、试问是锐角、钝角还是直角三角形解解220200201(2)42ABxxxkxxx021(),4xx222020201()14()4ACxxkxxxx12.dd,ABACkk 122

27、ddAD122,2ddAD45 ,BADCAD oBADCAD .ABCRt故是212125.4,.,2.(2)240,.ABCDyxADDBCDABACddddADABCABC、 、 、在抛物线上、 关于抛物线对称轴对称 过点作切线切线 点到、距离分别为 、若的面积为求的坐标和的方程解解(1),CAD由不妨设在上方2001:().4AB yxxx 则220041()4yxyxxx 2001:4AC yxxx2200414yxyxxx2001(4,(4) ).4B xx2001(4,(4) ).4C xx212125.4,.,2.(2)240,.ABCDyxADDBCDABACddddADAB

28、CABC、 、 、在抛物线上、 关于抛物线对称轴对称 过点作切线切线 点到、距离分别为 、若的面积为求的坐标和的方程解解222 200011(24) (4)44ABxxx02 24 ,x222 200011(24) (4)44ACxxx02 24 ,x00124 242402ABCSAB ACxx08,x 212125.4,.,2.(2)240,.ABCDyxADDBCDABACddddADABCABC、 、 、在抛物线上、 关于抛物线对称轴对称 过点作切线切线 点到、距离分别为 、若的面积为求的坐标和的方程解解( 8,16).A 故08,(4,4),(12,36),xBC当时:412;BC yx08,( 12,36),( 4,4),xBC 当时:412.BC yx 26.2.(1),;(2),?,.ypxkABABABABCDCDk已知抛物线过焦点的直线斜率为交抛物线于 、求对于上述 、是否存在正方形使在抛物线上,在抛物线内 若存在 求上述的 满足的方程26.2.(1),;ypxkABAB已知抛物线过焦点的直线斜率为交抛物线于 、求解解(,0),:.22ppFx 焦点准线:(),2pAB yk x设则1212.22ppABxxxxp22()2ypxpyk x又22222