极坐标与参数方程知识讲解

1、参数方程和极坐标系一、 知识要点一曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点Mx，y都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数二常见曲线的参数方程如下：1过定点x0，y0，倾角为的直线：t为参数其中参数t是以定点Px0，y0为起点，对应于t点Mx，y为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义，有以下结论设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，那么线段AB的中点所对应的参数值等于2中心在x0，y0，半径

2、等于r的圆：为参数3中心在原点，焦点在x轴或y轴上的椭圆：为参数或中心在点x0,y0焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4中心在原点，焦点在x轴或y轴上的双曲线：为参数或5顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：t为参数，p0直线的参数方程和参数的几何意义过定点Px0，y0，倾斜角为的直线的参数方程是t为参数J1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向通常取逆时针方向。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(, )就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2

3、、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)极点除外的全部坐标为(,)或，(Z)极点的极径为0，而极角任意取假设对、的取值范围加以限制那么除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0或<0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：4、圆相

4、对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：5、极坐标与直角坐标互化公式：例题j3.1参数方程例1.讨论以下问题：1、一条直线上两点、，以分点Mx，y分所成的比为参数，写出参数方程。2、直线(t为参数)的倾斜角是 ABCD3、方程t为非零常数，为参数表示的曲线是 ( )A直线B圆C椭圆D双曲线4、椭圆的参数方程是为参数，那么椭圆上一点 P (，)的离心角可以是 A B C D例2 把弹道曲线的参数方程 化成普通方程例3. 将以下数方程化成普通方程 例4. 直线3x2y6=0，令y = tx 6t为参数求直线的参数方程（1） 假设t为参数，为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离；（

5、2） 假设为参数，t为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。例6. 在圆x22xy2=0上求一点，使它到直线2x3y5=0的距离最大例7. 在椭圆4x29y2=36上求一点P，使它到直线x2y18=0的距离最短或最长 例8.直线；l：与双曲线y-22-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。求：1|PA|.|PB|的值； 2弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。例9.A2,0,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有 求重心G的轨迹方程。例10.椭圆和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2|到达最大值，并求出此最大值。例11.直线l过定

6、点P(-2,0),与抛物线C: x2+ y-8=0相交于A、B两点。1假设P为线段AB的中点，求直线l的方程；2假设l绕P点转动，求AB的中点M的方程.例12.椭圆上是否存在点P，使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由。例题J极坐标系例1讨论以下问题：1在同一极坐标系中与极坐标M2, 40°表示同一点的极坐标是 A2, 220° B(2, 140°) C(2,140°) D(2,40°)2ABC的三个顶点的极坐标分别为A(4，0°), B(4,120°), C(2

7、2, 30°)，那么ABC为( )。 A正三角形 B等腰直角三角形 C直角非等腰三角形 D等腰非直角三角形3在直角坐标系中，点M(2，1)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，当极角在(， 内时，M点的极坐标为 A，argtg() B，argtg() C，argtg D，argtg例2.把点的极坐标化为直角坐标。例3.把点的直角坐标化为极坐标。例4.正三角形ABC中，顶点A、B的极坐标分别为，试求顶点C的极坐标。例5.化圆的直角方程x2+y2-2ax=0为极坐标方程。例6.化圆锥曲线的极坐标方程为直角坐标方程。例7.讨论以下问题：1在极坐标系里，过点M4，30°而

8、平行于极轴的直线的方程是 A2 B2 C D2在极坐标系中，两点M1(4，arcsin)，M2(6，arccos()，那么线段M1M2的中点极坐标为 A(1，arccos) B(1, arcsin) C(1，arccos() D(1,arcsin)3. P点的极坐标是(1,)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 。 A=1 Bcos Ccos=1 Dcos=14. 假设>0,那么以下极坐标方程中，表示直线的是 。 A= Bcos= (0) Ctg=1 Dsin=1(0)5. 假设点A(4, )与B关于直线=对称，在>0, <条件下，B的极坐标是 。6. 直线cos()

9、=1与极轴所成的角是 。7. 直线cos()=1与直线sin()=1的位置关系是 。8. 直线y=kx1 (k<0且k)与曲线2sinsin20的公共点的个数是 。 A0 B1 C2 D3例8.讨论以下问题；1. 圆的半径是1，圆心的极坐标是(1, 0)，那么这个圆的极坐标方程是 。 Acos Bsin C2cos D2sin2. 极坐标方程分别是cos和sin的两个圆的圆心距是 。 A2 B C1 D3. 在极坐标系中和圆=4sin相切的一条直线方程是 Asin=2 Bcos=2 Csin=4 Dcos=44圆DcosEsin与极轴相切的充分必要条件是 AD·E0 BD2E20 CD0，E0 DD0，E05圆2sin2cos的圆心的极坐标为 。6. 假设圆的极坐标方程为=6cos，那么这个圆的面积是 。7. 假设圆的极坐标方程为=4sin，那么这个圆的直角坐标方程为 。8. 设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(4, 0)，那么这个圆的极坐标方程为 。例9.当a、b、c满足什么条件时，直线与圆相切？例10.试把极坐标方程 化为直角坐标方程，并就m值的变化讨论曲线的形状。2=2px的焦点F且倾角为的弦长|AB|，并证明：