杨辉与纵横图

1、精选优质文档-倾情为你奉上杨辉与纵横图 杨辉(约13世纪)，字谦光，是南宋时期的数学家、数学教育家，他生活在钱塘(现杭州)一带，他的著作有详解九章算法。 纵横图最早起源于中国纵横图在国外译为奇平方(MagicSquares)或幻方(或魔方阵)，日本人称为方阵，杨辉称为纵横图一般是指将连续的若干个自然数按一定规则进行“安排”，形成满足某种要求的图形将n²(n>3)个连续的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列以及两对角线上的n个数字之和均相等，这样的正方形图叫做n阶纵横图，也叫做n阶幻方 世界上最古老的幻方是我国著名的“九宫图”它是由1到9这九个连续的自然数排列成的每行

2、、每列以及两对角线上的三个数字之和均等于15的三阶幻方九宫图是我国有着悠久历史的一种数字组合游戏，据传说，伏羲氏得了天下，黄河龙马驮了一张图，作为礼物献给他，称为“河图”公元前2200年左右大禹治水时、洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”“洛书”所画的图中共有黑、白小圆圈45个把这些连在一起的小圆圈用数目表示出来，得到l，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数人们把由九个数组成3行3列的数字方阵，如用现代的数字来书写，这个方阵表示的的确就是一个九宫图，称为3阶幻方(如图13)周易·系辞传说：“河出图，洛出书，圣人则之”这是说黄河出现河图，洛水出现洛书，圣人把它们

3、当作天赐作为治理天下的准则，关于河图，洛书这些简单的数字排列，最早可考查的资料是大戴记(公元80年)，历代学者在著书中都把这些图形描写成神秘哲学的一个重要部分反映出中国文化的特色，同时对后世哲学、占卜、音乐和数学等都有深远影响 美妙的九宫图作为数学游戏，引起了一代又一代人的兴趣在参与游戏的过程中，人们通过认真的思考，不断地提出巧妙的对策与方法，同时在九宫图的基础上，逐渐地刨造出一批类似的、但更为复杂的数字组合游戏 在早期的幻方爱好者中，我国13世纪的宋朝数学家杨辉成绩最大，他利用数学方法寻找规律，巧妙地构造出许多别具风格的幻方来，杨辉构造的九宫图，方法简单又巧妙例如，他将1到9这九个数字斜着排

4、列（如图14），然后将上、下两个数字对调，左右两个数字对调，最后将对调后的四个数字填人相邻的空格中，就得到一个九宫图 杨辉构造的四阶幻方，方法也十分简便，他先将1到16这16个连续的自然数按顺序排列在四行四列上（如图15），然后把两条对角线上关于正方形中心对称的四对数分别对调，这样就得到一个行、列以及对角线上数字之和都是34的一个四阶幻方 (a)依次排四行 (b)外四角对换 (c)内四角对换 杨辉在构造了三、四阶幻方的基础上，继续对幻方进行系统研究，陆续地构造出五阶、六阶、七阶、八阶、九阶、十阶幻方后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为： N。=-

5、 n(n²+1) 其中n为幻方的阶数，所求的数为N。 此外，他还突破了幻方为正方形的限制，将它扩大到不同的形状，杨辉对幻方的研究和推广，大大丰富了这种数字游戏的内容，直到今天，在国际上一些科学家利用幻方这种变化无穷的特点，把它作为智力测验的工具和智力玩具提高了它在训练人们机智方面的层次 对幻方的深入研究也为人们带来了新的启示，将幻方中的自然数换成一般的物体，也对它们按一定规则进行安排”，并进一步讨论这种“安排”的存在性问题、计数问题、构造问题和优化问题，就构成了今天的数学分支组合数学研究的主要内容古老的幻方作为历史上最早的组合结构，开创了组合数学的先河，显示了中华民族的聪明才智，近代它还被现在计算机程序设计、人工智能等许多方面都有着广泛的应用。幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中，这说明我国人民在2500年前就已经知道了幻方的排列规律，而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方，我国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家，公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3-10阶幻方，记载在他1275年写的续古摘奇