近年难度较大压轴题

1、压轴题集锦一解答题（共19小题）1（2015枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标2（2014重庆）如图1，在ABCD中，AHDC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边EF

2、G，使EFG与ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边EFG与ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边EFG的顶点E到达点C时，如图2，将EFG绕着点C旋转一个角度（0°360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F，G的对应点为G，设直线FG与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点试问：是否存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由3（2014广州

3、）如图，梯形ABCD中，ABCD，ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5点E为线段CD上一动点（不与点C重合），BCE关于BE的轴对称图形为BFE，连接CF设CE=x，BCF的面积为S1，CEF的面积为S2（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当BFE的外接圆与AD相切时，求的值4（2014莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m0），平移抛物线y=x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a（1）如图1，

4、若m=当OC=2时，求抛物线C2的解析式；是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2m（0m）时，请直接写出到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）5（2014济南）如图1，抛物线y=x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值

5、时MAN为等腰三角形；t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少6（2014沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）过点C作射线CDAB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MNBC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n如图2，当nAC时，求证：PAMNCP；直接用含n的代数式表示线段PQ的长；若PM的长为，当二次函数y=x2+12的图象

6、经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式7（2014黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）

7、求出S与t的函数关系式8（2014成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？9（2014重庆）已知：如图，在矩形A

8、BCD中，AB=5，AD=，AEBD，垂足是E点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF（1）求AE和BE的长；（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值（3）如图，将ABF绕点B顺时针旋转一个角（0°180°），记旋转中的ABF为ABF，在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由10（2014武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线

9、y=x2交于A，B两点（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离11（2014宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯

10、一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0x1），圆的半径为y求y关于x的函数解析式；当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大12（2014福州）如图，抛物线y=（x3）21与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：AEO=ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作E

11、的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标13（2013天津）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线l，顶点为点M若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：（）求y1与x之间的函数关系式；（）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l，A为直线l上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）（1）求y2与x之间的函数关系式；（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1y2恒成立，求t的取值范围x103y1=ax2+bx+c0014（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为P（x

12、0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求的值；（）当y00恒成立时，求的最小值15、（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应

13、的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程16、（2013天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）17、（2010福州

14、）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5若抛物线过点O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由18、（2011杭州）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1

15、，h2，OEF与OGH组成的图形称为蝶形（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围19、（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，C=120°现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变

16、量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0°旋转角60°），使得M、N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由 参考答案与试题解析一解答题（共19小题）1（2015枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于

17、点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）

18、当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解【解答】解：（1）B（4，m）在直线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，解得，抛物线的解析式为y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则APC=90°由题意易知，PCy轴，APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则

19、PAC=90°如答图31，过点A（，）作ANx轴于点N，则ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，直线AM的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6 联立式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当x=3时，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则ACP=90°y=2x28x+6=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线x=2如答图32，作点A（，）关于对称轴x=

20、2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当x=时，y=x+2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识2（2014重庆）如图1，在ABCD中，AHDC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG与ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停

21、止运动，设运动时间为t秒（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边EFG与ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边EFG的顶点E到达点C时，如图2，将EFG绕着点C旋转一个角度（0°360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F，G的对应点为G，设直线FG与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点试问：是否存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】（1）利用平行四边形性质

22、、勾股定理，求出DH、CH的长度，可以判定ACD为等腰三角形，则AC=AD=7；（2）首先证明点G始终在直线AB上，然后分析运动过程，求出不同时间段内S的表达式：当0t时，如答图21所示，等边EFG在内部；当t4时，如答图22所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上；当4t7时，如答图23所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上（3）因为MCN为等腰三角形的底角，因此只可能有两种情形：若点N为等腰三角形的顶点，如答图31所示；若点M为等腰三角形的顶点，如答图32所示【解答】解：（1）ABCD，CD=AB=4在RtADH中，由勾股定理得：DH=2，CH=DHAC=AD=7（

23、2）在运动过程中，AE=t，AF=3t，等边EFG的边长EF=EG=GF=2t如答图1，过点G作GPAC于点P，则EP=EG=t，GP=EG=tAP=AE+EP=2ttanGAC=tanBAC=tanACH=，tanGAC=tanBAC，点G始终在射线AB上设BAC=ACH=，则sin=，cos=当0t时，如答图21所示，等边EFG在内部S=SEFG=EF2=（2t）2=t2；当t4时，如答图22所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上过点B作BQAF于点Q，则BQ=ABsin=4×=4，AQ=ABcos=4×=8CQ=AQAC=87=1设BC与GF交于点K，过点K作K

24、PAF于点P，设KP=x，则PF=x，CP=CFPF=3t7xPKBQ，即，解得：x=（3t7）S=SEFGSCFK=t2（3t7）（3t7）=t2+t；当4t7时，如答图23所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上过点B作BQAF于点Q，则BQ=ABsin=4×=4，AQ=ABcos=4×=8CQ=AQAC=87=1设BC与GF交于点K，过点K作KPAF于点P，设KP=x，则EP=x，CP=EPCE=x（7t）=x7+tPKBQ，即，解得：x=（7t）S=SCEK=（7t）（7t）=t2t+综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=（3）设ACH=，则ta

25、n=，cos=当点E与点C重合时，t=7，等边EFG的边长=2t=14假设存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形，若点N为等腰三角形的顶点，如答图31所示，则NMC=MCN=过点C作CPFM于点P，则CP=CF=7PM=14设CN=MN=x，则PN=PMMN=14x在RtCNP中，由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：（7）2+（14x）2=x2，解得：x=过点N作NQCM于点Q，CM=2CQ=2CNcos=2××=7；若点M为等腰三角形的顶点，如答图32所示，则MNC=MCN=过点C作CPGN于点P，则CP=CF=7PN=14设CM=MN=x，则PM=P

26、NMN=14x在RtCMP中，由勾股定理得：CP2+PM2=CM2，即：（7）2+（14x）2=x2，CM=x=综上所述，存在点M，N，使得CMN是以MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或【点评】本题是几何变换综合题，涉及平移与旋转两种几何变换第（2）问中，针对不同时间段内的几何图形，需要分类讨论；第（3）问中，根据顶点的不同，分两种情形进行分类讨论本题涉及考点众多，图形复杂，计算量偏大，难度较大；解题时需要全面分析，认真计算3（2014广州）如图，梯形ABCD中，ABCD，ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5点E为线段CD上一动点（不与点C重合），BCE关于BE的轴对称

27、图形为BFE，连接CF设CE=x，BCF的面积为S1，CEF的面积为S2（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当BFE的外接圆与AD相切时，求的值【考点】四边形综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）利用梯形中位线的性质，证明BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x的值；（2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG与BE的比，然后利用=求解；（3）依题意作出图形，当BFE的外接圆与AD相切时，线段BE的中点O成为圆心作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形OMPADH，利用比例关系列方程求出x的值，进而求出的值【解

28、答】解：（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N由题意，可知ABCD为直角梯形，则MNBC，且BN=CN=BC由轴对称性质，可知BF=BC，BN=BF，BFN=30°，FBC=60°，BFC为等边三角形CF=BC=4，FCB=60°，ECF=30°设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=CF=2，CFBE在RtCEG中，x=CE=当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为（2）如答图2，由轴对称性质，可知BECFGEC+ECG=90°，GEC+CBE=90°，GCE=

29、CBE，又CGE=ECB=90°，RtBCERtCGE，CE2=EGBE 同理可得：BC2=BGBE ÷得：=（0x5）（3）当BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示设圆心为O，半径为r，则r=BE=设切点为P，连接OP，则OPAD，OP=r=过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N，则OM为梯形ABED的中位线，OM=（AB+DE）=（3+5x）=（8x）过点A作AHCD于点H，则四边形ABCH为矩形，AH=BC=4，CH=AB=3，DH=CDCH=2在RtADH中，由勾股定理得：AD=2MNCD，ADH=OMP，又AHD=OPM=90

30、6;，OMPADH，即，化简得：162x=，两边平方后，整理得：x2+64x176=0，解得：x1=32+20，x2=3220（舍去）032+205x=32+20符合题意，=13980【点评】本题是几何综合题，考查了直角梯形、相似、勾股定理、等边三角形、矩形、中位线、圆的切线、解方程、解直角三角形等知识点，考查了轴对称变换与动点型问题，涉及考点较多，有一定的难度4（2014莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m0），平移抛物线y=x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a（1

31、）如图1，若m=当OC=2时，求抛物线C2的解析式；是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2m（0m）时，请直接写出到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OPBC画出图形，如

32、答图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即ABD形内1个（内心），形外3个不要漏解【解答】解：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，D（a，（a+）2）抛物线C2：y=（xa）2+（a+）2 OC=2，C（0，2）点C在抛物线C2上，（0a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入抛物线C2：y=（xa）2+（a+）2，得抛物线C2的解析式为：y=x2+x+2存在a使得点P，满足点B与点C到直线

33、OP的距离之和最大且AP=BP；在式中，令y=0，即：（xa）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=，B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，C（0，a+）设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，直线BC的解析式为：y=x+（a+）假设存在满足条件的a值AP=BP，点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；点B与点C到直线OP的距离之和BC，只有OPBC时等号成立，OPBC如答图1所示，设C2对称轴x=a（a0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OPBC，OE=a点P在直线BC上，P（a，a+），PE=a+tanEOP=tanBCO=2，=2，解得：a=存在a=，使得线段B

34、C上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP（2）抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，D（a，（a+m）2）抛物线C2：y=（xa）2+（a+m）2令y=0，即（xa）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=m，B（2a+m，0）OB=2m，2a+m=2m，a=mD（m，3）AB=OB+OA=2m+m=2如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OBBE=mtanABD=，ABD=60°又AD=BD，ABD为等边三角形作ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BEtan30°=1，P1（m，1）；在AB

35、D形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4在RtBEP2中，P2E=BEtan60°=3，P2（m，3）；易知ADP3、BDP4均为等边三角形，DP3=DP4=AB=2，且P3P4x轴P3（m，3）、P4（3m，3）综上所述，到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（m，1），P2（m，3），P3（m，3），P4（3m，3）【点评】本题是二次函数压轴题，以平移变换为背景，考查了二次函数、一次函数、三角函数（或相似）、等边三角形、角平分线的性质等知识点，有一定的难度函数解析式中含有未知数，增大了试题的难度第（2）问中，解题关键是理解“点B与点C到

36、直线OP的距离之和最大且AP=BP”的含义；第（3）问中，满足条件的点P有4个，不要漏解5（2014济南）如图1，抛物线y=x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值时MAN为等腰三角形；t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少【考点】二次函数综合题；根的判别式；勾股定理的应用；相似三角形的应用菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）设平移

37、后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；（2）作NQ垂直于x轴于点Q分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得MAN为等腰三角形时t的值；方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=PN，当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，此时t=3，PN取最小值为方法二：由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=x+6联立，得xN的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为【解答】解：（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，得y=，顶点B（4，3），S

38、阴影=OC×CB=4×3=12（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（8，0），B（4，3）代入得：直线AB的解析式为y=x+6，作NQ垂直于x轴于点Q，当MN=AN时，N点的横坐标为，纵坐标为，由NQM和MOP相似可知，=，解得t1=，t2=8（舍去）当AM=AN时，AN=8t，由ANQ和APO相似可知NQ=（8t），AQ=（8t），MQ=，由NQM和MOP相似可知得：=，解得：t=18（舍去）当MN=MA时，MNA=MAN45°，故AMN是钝角，显然不成立，故t=方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=PN，当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最

39、小，此时t=3，证明如下：假设t=3时M记为M0，E记为E0若M不在M0处，即M在M0左侧或右侧，若E在E0左侧或者E在E0处，则EM一定大于E0M0，而PE却小于PE0，这与EM=PE矛盾，故E在E0右侧，则PE大于PE0，相应PN也会增大，故若M不在M0处时PN大于M0处的PN的值，故当t=3时，MQ=3，NQ=，根据勾股定理可求出PM=与MN=，PN=故当t=3时，PN取最小值为方法二：由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=x+6联立，得点N的横坐标为xN=，即t2xNt+36xN=0，=x2N4（36）=0，得xN=6或xN=24，又因为0xN8，所以xN的最小值为6，此时t

40、=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度6（2014沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC（1）点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（9，0）；（2）过点C作射线CDAB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MNBC分别交AC于点Q，交射线

41、CD于点N （点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n如图2，当nAC时，求证：PAMNCP；直接用含n的代数式表示线段PQ的长；若PM的长为，当二次函数y=x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式【考点】二次函数综合题；全等三角形的应用；相似三角形的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由二次函数y=x2+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，代入y=0，即可解出B，C坐标（2）求证三角形全等易发现由平行可得对应角相等，由平行四边形对边相等及已知BM=AP，可得对应角的两个邻边对应相等，则利用SAS得证上问中以提示nAC，则

42、我们可以分nAC，n=AC，nAC三种情形讨论又已得PAMNCP，顺推易得PQ与n的关系上问中已得当nAC时，PQ=152n；当nAC时，PQ=2n15，则也要分两种情形讨论，易得两种情形的P，N由图象为二次函数y=x2+12平移后的图形，所以可设解析式为y=（x+k）2+12+h，代入即得【解答】（1）答：（9，0），（9，0）解：B、C为抛物线与x轴的交点，故代入y=0，得y=x2+12=0，解得 x=9或x=9，即B（9，0），C（9，0）（2）证明：ABCN，MAP=PCN，MNBC，四边形MBCN为平行四边形，BM=CN，AP=BM，AP=CN，BO=OC，OABC，OA垂直平分BC

43、，AB=AC，AM=ABBM=ACAP=CP在PAM和NCP中，PAMNCP（SAS）解：1当nAC时，如图1，四边形MBCN为平行四边形，MBC=QNC，AB=AC，MNBC，MBC=QCB=NQC，NQC=QNC，CN=CQ，MAPPCN，AP=CN=CQ，AP=n，AC=15，PQ=ACAPQC=152n2当n=AC时，显然P、Q重合，不符合题意3当nAC时，如图2，四边形MBCN为平行四边形，MBC=QNC，BM=CNAB=AC，MNBC，MBC=QCB=NQC，NQC=QNC，BM=CN=CQ，AP=BM，AP=CQ，AP=n，AC=15，PQ=AP+QCAC=2n15综上所述，当n

44、AC时，PQ=152n；当nAC时，PQ=2n15或分析如下：1当nAC时，如图3，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F此时PEQPFCAOC，PQ=152nPM=PN，ME=EN=MN=BC=9，PE=4，OC：OA：AC=3：4：5，PEQPFCAOC，PQ=5，152n=5，AP=n=5，PC=10，FC=6，PF=8，OF=OCFC=96=3，EN=9，EF=PFPE=84=4，P（3，8），N（12，4）设二次函数y=x2+12平移后的解析式为y=（x+k）2+12+h，解得 ，y=（x6）2+12=x2+x+42当nAC时，如图4，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F此

45、时PEQPFCAOC，PQ=2n15PM=PN，ME=EN=MN=BC=9，PE=4，OC：OA：AC=3：4：5，PEQPFCAOC，PQ=5，2n15=5，AP=n=10，PC=5，FC=3，PF=4，OF=OCFC=93=6，EN=9，EF=PF+PE=4+4=8，P（6，4），N（15，8）设二次函数y=x2+12平移后的解析式为y=（x+k）2+12+h，解得 ，y=（x12）2+12=x2+x+4【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形全等、相似的证明与性质，函数平移及待定系数法求过定点函数解析式等知识回答题目是一定注意多问综合题目问题之间的相关性，顺着题目思路递推易得思路本

46、题计算量稍大，难度适中，适合学生训练7（2014黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式

47、【考点】二次函数综合题；三角形的面积；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出AOC=45°，然后判断出POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分0t1时，重叠部

48、分的面积等于POQ的面积，1t1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，1.5t2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），把点A（1，1），B（3，1）代入得，解得，抛物线解析式为y=x2x，y=x2x=（x2）2，顶点M的坐标为（2，）；（2）点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，OP=2t，点P的坐标为（2t，0），A（1，1），AOC=45°，点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，点Q的坐标为（t，t）；（3）OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90&#

49、176;，旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，2t），（3t，t），若顶点O在抛物线上，则×（2t）2×（2t）=2t，解得t=（t=0舍去），t=时，点O（1，1）在抛物线y=x2x上，若顶点Q在抛物线上，则×（3t）2×（3t）=t，解得t=1（t=0舍去），t=1时，点Q（3，1）在抛物线y=x2x上（4）点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，t=2时，OP=2×2=4，PC=43=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：0t1时，S=S

50、OPQ=×（2t）×=t2，1t1.5时，S=SOPQSAEQ=×（2t）××（t）2=2t1；1.5t2时，S=S梯形OABCSBGF=×（2+3）×1×1（2t3）2=2（t2）2+=2t2+8t；所以，S与t的关系式为S=【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观8（2014成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且

51、k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x4），令y=0，解得x=2或x=4，A（2，0），B（4，0）直线y=x+b经过点B（4，0），×4+b=0，解得b=，直线BD解析式为：y=x+